第6章反比例函数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

第6章 反比例函数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、反比例函数的概念 1）反比例函数的概念 一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 2）反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围 反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数． 知识点二、反比例函数的图象和性质 1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 表达式 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 知识点三、反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点． 注： 1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点． 2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0． 3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 知识点四、反比例函数解析式的确定 1．待定系数：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 1）设反比例函数解析式为（k≠0）； 2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解这个方程求出待定系数k； 4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 知识点五、反比例函数中|k|的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． 1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； 2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； 3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 知识点六、反比例函数与一次函数的综合 1．涉及自变量取值范围型 当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。 针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或 2．求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点； 2） 从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况 知识点七、反比例函数的实际应用 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围． 考点1：一个概念——反比例函数的概念 【例题1】（24-25九年级上·湖南永州·期中）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）下列函数中，属于反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·全国·单元测试）下列函数中，是的反比例函数的有 （填序号） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）（为常数，）． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知与x成反比例，且当时，，求y与x的函数表达式． 考点2：两个方法 方法1：画反比例函数图象的方法 【例题2】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，画出反比例函数的图象，并写出当时，y的取值范围. 【变式1】（22-23九年级上·广东佛山·期末）反比例函数． (1)画出反比例函数的图象； (2)观察图象，当时，写出的取值范围． 【变式2】（20-21九年级·全国·课后作业）画出反比例函数与的图象． 【变式3】（22-23九年级上·北京西城·阶段练习）已知反比例函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； … 1 2 4 … … 2 4 … (2)根据图象回答：当时，的取值范围是_______________； (3)根据图象回答：当且时，的取值范围是__________________． 方法2：求反比例函数的表达式的方法 【例题3】（20-21九年级上·江苏南通·期中）将函数 的图象沿轴向右平移个单位长度，得到的图象所相应的函数表达式是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22九年级上·全国·单元测试）已知反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22九年级上·山西太原·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴的负半轴上，y轴的正半轴上，y轴平分AB边，点A的坐标（﹣2，0），AB＝5．过点B的反比例函数的表达式是 ． 【变式3】（24-25九年级上·江西宜春·期中）已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时， (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求的值． 考点3：两个应用 应用1：反比例函数图象与性质的应用 【例题4】（2024九年级上·全国·专题练习）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知点，，在反比例函数（k为常数）的图象上，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级上·北京·专题练习）若点，在反比例函数y的图象上，且，则m的取值范围是 ． 【变式3】（23-24九年级上·甘肃张掖·期末）如图已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，求的面积； (3)已知点，过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数的图象于点M，交反比例函数上的图象于点N．若，结合函数图象直接写出m的取值范围． 应用2：反比例函数的应用 【例题5】（2024九年级上·全国·专题练习）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，x轴表示糖水质量，y轴表示含糖浓度（瓶中固体糖质量与糖水质量的比值），其中描述甲、丙的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含固体糖质量最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】（24-25九年级上·广西·期中）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度V（单位：）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时的速度为25，则所受阻力F为 N． 【变式3】（24-25九年级上·山东济南·期中）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数． (1)求t的值； (2)若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？ 考点4：一个技巧——用反比例函数的比例系数 k 的几何性质巧解面积问题 【例题6】（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知函数的图象经过直角三角形的斜边的中点，且与直角边相交于点．若的坐标为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，的边与反比例函数 的图象分别相交于点 A，C，连接，若，且的面积为6，则k的值为      【变式3】（21-22九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 考点5：两种思想 思想1：数形结合思想 【例题7】（24-25九年级上·广西贺州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与轴相交于点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与轴平行，、两点的纵坐标分别为10，6，且，点，点在反比例函数上，平行四边形的面积为12，则的值为（   ） A．27 B．36 C．45 D．56 【变式2】（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，反比例函数的图象与等边的边，分别交于点（点不与点重合）．若于点，则的边长为 ． 【变式3】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标是2，点B的纵坐标是．    (1)求反比例函数的表达式； (2)根据图象写出x取何值时，； (3)求的面积． 思想2：建模思想 【例题8】（23-24九年级上·福建龙岩·期末）小明同学利用如图所示的电路探究电流I与电阻R的关系．已知电源电压保持不变，实验用到的电阻阻值和测得的电流如下表所示： 电阻R（单位：Ω） 5 10 15 20 25 电流I（单位：A） 实验结束后，小明同学发现电流I和电阻R之间是一种数学函数模型，请写出I和R之间函数关系式： ． 【变式1】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具，对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： (1)建立函数模型： 设矩形相邻两边的长分别为，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图像在第__________象限内的交点的坐标． (2)画出函数图像： 函数的图像如图所示，而函数的图像可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线． (3)平移直线，观察函数图像： 当直线平移到与函数的图像有唯一交点时，写出周长的值__________； (4)得出结论： 若能生产出面积为4的矩形模具，求出周长的取值范围__________．（直接写出结论） 【变式2】（20-21八年级下·河南南阳·期中）小强用竹篱笆围一个面积为4平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你补充完善他的思考过程． （1）建立函数模型 设矩形小花园的一边长为x米，总篱笆长为y米请你用含x的代数式表示小花园的另一边长，并求y关于x的函数表达式； （2）列表（相关数据保留一位小数）： 根据函数的表达式，得到了x与y的几组值，如表： x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y 17 10 8.3 a 8.2 8.7 9.3 b 10.8 11.6 表中a＝　 　，b＝； （3）描点、画函数图象： ①如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象． ②根据以上信息可得，当x＝　 　时，y有最小值． ③由此，小强确定篱笆长至少为　 　米． 【变式3】（23-24九年级上·广东佛山·期末）综合与实践 课题：小空间检测视力问题 具体情境：对某班学生视力进行检测的任务． 现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为米，宽为米的空书房． (1)如图，若将视力表挂在墙上，在墙上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离墙________米处； 位置 视力值 的值 第1行 70 第5行 28 第8行 14 第14行 (2)小明选择按比例制作视力表完成该任务．在制作过程中发现视力表上视力值和该行字母的宽度之间的关系是已经学过的一类函数模型，字母的宽度如上中图所示，视力表上部分视力值和字母的宽度的部分对应数据如右上表所示： ①请你根据表格数据判断（说明理由）并求出视力值与字母宽度之间的函数关系式； ②小明在制作过程中发现某行字母的宽度的值，请问该行对应的视力值是多少？ 一、单选题 1．（2023·海南·中考真题）若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（    ） A．2 B． C． D． 2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山西·中考真题）已知都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 二、填空题 5．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知反比例函数的图像经过点，则a的值为 ． 6．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 7．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ． 8．（2021·四川甘孜·中考真题）如图，点A，B在反比例函数（）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为 ． 三、解答题 9．（2022·湖北襄阳·中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． (1)绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝　 　． x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 …… y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣1 ﹣2.5 ﹣3.8 …… ②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象； (2)探究函数性质，请写出函数y＝-|x|的一条性质：　 　； (3)运用函数图象及性质 ①写出方程-|x|＝5的解　 　； ②写出不等式-|x|≤1的解集　 　． 10．（2024·西藏·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出满足的x取值范围． 11．（2023·湖北十堰·中考真题）函数的图象可以由函数的图象左右平移得到． (1)将函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，则____； (2)下列关于函数的性质：①图象关于点对称；②随的增大而减小；③图象关于直线对称；④的取值范围为．其中说法正确的是________（填写序号）； (3)根据（1）中的值，写出不等式的解集：_________． 12．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． (2)当电阻R为时，求此时的电流I． 一、单选题 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）某函数图象如图所示，则该函数的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）在下列函数中，是关于的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·全国·期中）已知反比例函数，下列说法错误的是（ ） A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大 B．是轴对称图形，也是中心对称图形 C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点 D．图象分别位于第二、四象限内 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降，则的范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，是反比例函数的图象上两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·山东泰安·期中）已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D． 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，则关于、的大小关系描述正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作x轴、轴的垂线，与反比例函数的图象交于两点，则四边形的面积为（   ） A．14 B．15 C．18 D．20 10．（24-25九年级上·陕西西安·期中）小丽要把一篇文章录入电䐱，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（   ） A．这篇文章一共1500字 B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟 C．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务 D．小丽在开始录入，要求完成录入时不超过，则小丽每分钟至少应录入90字 二、填空题 11．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）反比例函数的图象在第 象限． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）已知点在反比例函数的图象上，则的值是 ． 13．（23-24九年级上·全国·单元测试）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是 ． 14．（24-25九年级上·山东泰安·期中）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则k的取值范围是 ． 15．（22-23九年级上·广东佛山·期末）一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，当 时，（写出的取值范围） 16．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数 图象相交于A，B两点，已知A，则B的坐标为 ． 17．（24-25九年级上·全国·期末）如图，中，，点在轴的正半轴，点在第一象限，函数（）的图象与边，分别交于点，若，，则的值为 ． 18．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，点，分别在函数与函数的图象上，线段的中点在轴上，的面积为，则 ． 三、解答题 19．（2024九年级上·全国·专题练习）已知函数是关于的反比例函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 20．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 21．（24-25九年级上·海南·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)当时，求的面积． 22．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，、分别在坐标轴上，点的坐标为，直线分别交，于点，，反比例函数的图象经过点，． (1)求反比例函数的表达式及点、的坐标； (2)观察图象，当时，写出关于的不等式的解集； (3)若点在第一象限内的反比例函数图象上，且的面积是四边形面积的3倍，求点的坐标． 23．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求v关于t的函数表达式（不要求写自变量t的取值范围）； (2)若汽车从上午从A市出发，如果汽车在当天到之间（包含端点时间）到达B市，求汽车行驶速度v的范围． 24．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，已知，是反比例函数图象上的两点，轴于点，交于点，若的面积是的面积的2倍，求的面积． 25．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C．     (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，点B在反比例函数的图象上且在点A的右侧，过点B作轴于点D，连接交于点F，若点C是的中点，求的面积； (3)点N在反比例函数的图象上，点M坐标为，若是等边三角形，求m的值． 26．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数在第一象限的图象交于点，其中a，b满足． (1)直接写出k，n的值及点A的坐标； (2)点D在反比例函数的图象上，其横坐标为m，且，过点D的正比例函数图象与反比例函数的图象的另一个交点为C，连接，四边形的面积可以为12吗？若可以，求出m的值；若不可以，请说明理由； (3)点P是x轴负半轴上一点，以为边向线段右侧作等边，若点F在双曲线关于x轴对称的图象上，求点P的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 反比例函数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、反比例函数的概念 1）反比例函数的概念 一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 2）反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围 反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数． 知识点二、反比例函数的图象和性质 1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 表达式 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 知识点三、反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点． 注： 1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点． 2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0． 3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 知识点四、反比例函数解析式的确定 1．待定系数：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 1）设反比例函数解析式为（k≠0）； 2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解这个方程求出待定系数k； 4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 知识点五、反比例函数中|k|的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． 1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； 2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； 3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 知识点六、反比例函数与一次函数的综合 1．涉及自变量取值范围型 当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。 针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或 2．求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点； 2） 从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况 知识点七、反比例函数的实际应用 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围． 考点1：一个概念——反比例函数的概念 【例题1】（24-25九年级上·湖南永州·期中）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的识别，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、是正比例函数，不符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，符合题意； 故选D． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）下列函数中，属于反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的识别，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，不符合题意； B、是反比例函数，符合题意； C、是一次函数，不是反比例函数，不符合题意； D、是二次函数，不是反比例函数，不符合题意； 故选B． 【变式2】（22-23九年级上·全国·单元测试）下列函数中，是的反比例函数的有 （填序号） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）（为常数，）． 【答案】（2）（3）（4）（6）（9） 【分析】根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】由题意可得（2）（3）（4）（6）（9）是反比例函数． 故答案为：（2）（3）（4）（6）（9）． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为（k为常数，）或（k为常数，）．也考查了一次函数的定义． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知与x成反比例，且当时，，求y与x的函数表达式． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 根据与x成反比例，设，代入当时，，求解即可． 【详解】解：设． 根据题意，得， 解得：， ∴， ∴y与x的函数表达式为． 考点2：两个方法 方法1：画反比例函数图象的方法 【例题2】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，画出反比例函数的图象，并写出当时，y的取值范围. 【答案】图象见解析，或. 【分析】本题考查了反比例函数的图像及性质及画函数图像，描点画出图形，进而即可写出当时，y的取值范围． 【详解】解：列表如下： x … 1 2 3 6 … y … 6 3 2 1 … 函数图象如下： . 当时，或.    . 【变式1】（22-23九年级上·广东佛山·期末）反比例函数． (1)画出反比例函数的图象； (2)观察图象，当时，写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或． 【分析】（1）列表、描点、连线画出函数图象即可； （2）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数． 列表： x 1 2 4 y 4 2 1 描点、连线，反比例函数的图象如图， ； （2）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围是或． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 【变式2】（20-21九年级·全国·课后作业）画出反比例函数与的图象． 【答案】见解析 【分析】先列表、描点，再画图象． 【详解】解  列表表示几组x与y的对应值（填空）： x … 1 2 3 4 6 12 … … 6 2 … … 12 4 3 1 … 描点连线：以表中各对对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，就得到函数与的图象． 【点睛】此题考查画反比例函数的图象，掌握画函数图象的步骤：列表、描点、连线是解题的关键． 【变式3】（22-23九年级上·北京西城·阶段练习）已知反比例函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； … 1 2 4 … … 2 4 … (2)根据图象回答：当时，的取值范围是_______________； (3)根据图象回答：当且时，的取值范围是__________________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据函数解析式可以将表格补充完整，然后描点、连接作图象即可； （2）根据函数图象，写出的取值范围即可； （3）根据函数图象，写出的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 列表如下： … 1 2 4 … … 1 2 4 … 描点、连线画出函数图象如图： （2）解：当时，， 当时，的取值范围是； 故答案为： （3）解：当时，， 解得：， 当且时，的取值范围是或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数的作图方法是解本题的关键． 方法2：求反比例函数的表达式的方法 【例题3】（20-21九年级上·江苏南通·期中）将函数 的图象沿轴向右平移个单位长度，得到的图象所相应的函数表达式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于把双曲线平移，k值不变，利用“左加右减，上加下减”的规律即可求解． 【详解】解：将函数的图象沿x轴向右平移1个单位长度，得到的图象所相应的函数表达式是， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象，注意：平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”． 【变式1】（21-22九年级上·全国·单元测试）已知反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，会用待定系数法求解析式是解题关键．将此点坐标代入函数解析式即可求得k的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， ∵函数的图象经过点， ∴ ∴， ∴反比例函数解析式为． 故选：D． 【变式2】（21-22九年级上·山西太原·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴的负半轴上，y轴的正半轴上，y轴平分AB边，点A的坐标（﹣2，0），AB＝5．过点B的反比例函数的表达式是 ． 【答案】/ 【分析】设AB与y轴交于点E，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，然后利用A字模型相似三角形进行计算即可解答． 【详解】解：过点B作BF⊥x轴，垂足为F，设AB与y轴交于点E， ∵点A的坐标（-2，0）， ∴OA=2， ∵y轴平分AB边，AB=5， ∴AE=BE=AB=， ∵BF∥y轴， ∴∠AOE=∠AFB，∠AEO=∠ABF， ∴△AOE∽△AFB， ∴， ∴AF=2AO=4， ∴OF=AF-OA=4-2=2， ∴BF==3， ∴B（2，3）， 设过点B的反比例函数的表达式是y=， 把B（2，3）代入y=中得： 3=， ∴k=6， ∴过点B的反比例函数的表达式是：y=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练利用A字型模型的相似三角形是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·江西宜春·期中）已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时， (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．解决本题的关键把相应的点的坐标代入函数解析式中得到关于、的方程组，解方程组确定函数关系式． 根据正比例和反比例函数的定义设表达式分别为设，，根据可得，再利用待定系数法求、的值即可得出函数表达式； 将代入中所得的函数表达式求值即可． 【详解】（1）解：设，， ， ， 根据题意可得：， 解得：， ； （2）解：当时， ． 考点3：两个应用 应用1：反比例函数图象与性质的应用 【例题4】（2024九年级上·全国·专题练习）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的增减性，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上，且当时，有， ∴反比例函数的图象经过第四象限， ∴， ∴； 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知点，，在反比例函数（k为常数）的图象上，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的增减性比较大小，根据反比例函数的性质得到函数（k为常数）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则，． 【详解】解：∵， ∴函数（k为常数）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小， ∵， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式2】（2024九年级上·北京·专题练习）若点，在反比例函数y的图象上，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，由于的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：由可知图象位于一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 点，在反比例函数的图象上，且， 点、不在同一象限， ∴点在第三象限，点在第一象限， ， 解得． 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·甘肃张掖·期末）如图已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，求的面积； (3)已知点，过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数的图象于点M，交反比例函数上的图象于点N．若，结合函数图象直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）本题考查了一次函数和反比例函数的求法，解题的关键是求出B点坐标，利用待定系数法即可求得； （2）本题考查了三角形面积的求法，解题的关键是求出直线与x轴的交点； （3）本题考查了函数的性质，解题的关键是利用函数图象的性质． 【详解】（1）解：将代入得，， ， 当时，， ， 将，代入得，， 解得：， ； （2）如下图，直线与x轴相交与点C， 把代入得，，解得：， ， ； （3）如下图，由图象可得：当时，． 应用2：反比例函数的应用 【例题5】（2024九年级上·全国·专题练习）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，利用待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：设函数解析式为：， 由图象可知：图象过点， ∴， ∴； 故选A． 【变式1】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，x轴表示糖水质量，y轴表示含糖浓度（瓶中固体糖质量与糖水质量的比值），其中描述甲、丙的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含固体糖质量最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，根据题意可知，的值即为糖水中含糖固体质量，再根据图象即可确定乙瓶糖水中含糖固体质量最少，丁瓶糖水中含糖固体质量最多，甲、丙两瓶糖水中含糖固体质量相同解题即可． 【详解】解：根据题意，可知的值即为糖水中含糖固体质量， ∵描述甲、丙两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴甲、丙两瓶糖水中含糖固体质量相同， ∵点乙在反比例函数图象下面，点丁在反比例函数图象上面， ∴乙瓶的的值最小，即糖水中含糖固体质量最少，丁瓶的的值最大，即糖水中含糖固体质量最多， 故选: D． 【变式2】（24-25九年级上·广西·期中）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度V（单位：）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时的速度为25，则所受阻力F为 N． 【答案】2400 【分析】本题考查反比例函数，熟练掌握将自变量代入解析式求得函数值是解题的关键． 根据题意得知函数成反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式，再将代入求的值． 【详解】解：设功率为，由题可知，即， 将，代入得， 解得， ∴反比例函数为：， 将代入得 得， 故答案为：2400． 【变式3】（24-25九年级上·山东济南·期中）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数． (1)求t的值； (2)若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？ 【答案】(1)20 (2)分钟 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的的值即可； （2）先求解一次函数的解析式，再分别求得时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为． 把代入，得：． ∴． ∴． 当时，， ∴． （2）解：设一次函数函数的关系式为． 把代入，得：，解得：， ∴， 当在温度下降过程中，， 解得：， 当在温度上升过程中，， 解得：， ∴， ∴一次循环过程中有属于有效制冷时间． 考点4：一个技巧——用反比例函数的比例系数 k 的几何性质巧解面积问题 【例题6】（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知函数的图象经过直角三角形的斜边的中点，且与直角边相交于点．若的坐标为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k值的几何意义是关键．根据中点求出点D坐标，得到反比例函数解析式，根据k值的几何意义解答即可． 【详解】解：∵D是的中点，且的坐标为， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，连接、，得，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解．解题的关键是掌握反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为． 【详解】解：如图所示，连接、，设交轴于点， ∵轴，且与反比例函数与的图象分别交于点和点， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，的边与反比例函数 的图象分别相交于点 A，C，连接，若，且的面积为6，则k的值为      【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，根据值的几何意义，得到，证明，进而求出，再根据的面积，列出方程进行求解即可. 【详解】解：过点作轴于点，则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点 A，C在反比例函数 的图象上，轴， ∴， ∴， ∴的面积， ∴； 故答案为：. 【变式3】（21-22九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 【答案】(1)；1 (2) 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离公式， （1）由和的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出的长度，由点B在反比例函数图像上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出的面积； （2）根据反比例函数图像上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出、的长度，由即可得出关于的方程，解之即可求出值，再根据即可确定值． 【详解】（1）解：∵，， ∴点， ∴， ． ∵点B在反比例函数的图像上， ∴． 故答案为；1． （2）解：∵A，B两点在函数的图像上， ∴，， ∴，． ∵， ∴， 解得：或． ∵， ∴． 考点5：两种思想 思想1：数形结合思想 【例题7】（24-25九年级上·广西贺州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与轴相交于点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的关系式，先将点B的坐标代入反比例函数关系式求出m，再求出点A的坐标，然后根据待定系数法求出直线解析式，最后令，求出答案即可． 【详解】∵点在反比例函数的图像上， ∴， 解得， ∴反比例函数关系式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点． ∵点，点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为， 当时，， ∴点C的坐标为． 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与轴平行，、两点的纵坐标分别为10，6，且，点，点在反比例函数上，平行四边形的面积为12，则的值为（   ） A．27 B．36 C．45 D．56 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合，通过平行四边形的面积得出点C和点E重合是解题的关键． 过点作的垂线于点，根据题意得出，利用勾股定理得出，，再由平行四边形的面积得出点C和点E重合，设点A的横坐标为x，则点B的横坐标为，确定，然后代入反比例函数解析式求解即可 【详解】解：过点作的垂线交于点， ∵、两点的纵坐标分别为10，6， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形的面积为12， ∴， ∴， ∴点C和点E重合， 设点A的横坐标为x，则点B的横坐标为， ∴， ∵点，点在反比例函数上， ∴， 解得：， ∴， 故选：C 【变式2】（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，反比例函数的图象与等边的边，分别交于点（点不与点重合）．若于点，则的边长为 ． 【答案】 【分析】分别过点作的垂线，垂足分别为，设，由正三角形的性质求出和的坐标，进而得到的解析式，联合反比例函数解析式求出点的坐标，进而得到的长度，得到的长度，再利用含角的直角三角形的性质得到，进而得到，再用含角的直角三角形的性质得，进而求出的横坐标，根据点的坐标求出解析式，结合反比例函数的图象，交于点，得到，将点的横坐标代入解方程即可求解． 【详解】解：分别过点作的垂线，垂足分别为，如下图 设， 是正三角形， ，， ，， ， ． 设的解析式为， ， ， 的解析式为：. 反比例函数的图象交于点， ， 解得， ， ， ． 在中，， ， ， ． 在中，， ， ， ， 即点的横坐标为． 设的解析式为， 将点两点坐标代入得， 解得， 的解析式为：。 反比例函数的图象，交于点， ， 整理得， 将点的横坐标代入得 ， 整理得， 解得，（与矛盾，舍去）， 的边长为． 故答案为：． 【点晴】本题主要考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形性质，一次函数解析式的求法，勾股定理，一次函数与反比例函数交点坐标的求法，作出辅助线，构建含角的直角三角形是解答关键． 【变式3】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标是2，点B的纵坐标是．    (1)求反比例函数的表达式； (2)根据图象写出x取何值时，； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)6 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式，求出A、B、C三点的坐标是解此题的关键． （1）先根据点A的横坐标是2，点B的纵坐标是，求出，，再利用待定系数法进行计算即可得出反比例函数的表达式； （2）由，，结合函数图象即可得出答案； （3）先求出点C的坐标，从而得出，再根据进行计算即可． 【详解】（1）解：在中令，则；令，则， ∴， 将代入，得， 即反比例函数的表达式为. （2）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，， ∴由图象可得：当或时，； （3）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 思想2：建模思想 【例题8】（23-24九年级上·福建龙岩·期末）小明同学利用如图所示的电路探究电流I与电阻R的关系．已知电源电压保持不变，实验用到的电阻阻值和测得的电流如下表所示： 电阻R（单位：Ω） 5 10 15 20 25 电流I（单位：A） 实验结束后，小明同学发现电流I和电阻R之间是一种数学函数模型，请写出I和R之间函数关系式： ． 【答案】// 【分析】本题主要考查了实际问题与反比例函数，根据电阻R和电流I的值的乘积为6恒定不变，且当电阻R不断增大时，电流I不断减小，则可以判断R和I符合反比例函数． 【详解】解：根据表格可知：， 即电阻R和电流I的值的乘积为6恒定不变， 且当电阻R不断增大时，电流I不断减小 故电阻R和电流I符合反比例函数． ∴或或 故答案为：或或 【变式1】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具，对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： (1)建立函数模型： 设矩形相邻两边的长分别为，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图像在第__________象限内的交点的坐标． (2)画出函数图像： 函数的图像如图所示，而函数的图像可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线． (3)平移直线，观察函数图像： 当直线平移到与函数的图像有唯一交点时，写出周长的值__________； (4)得出结论： 若能生产出面积为4的矩形模具，求出周长的取值范围__________．（直接写出结论） 【答案】(1)一 (2)见详解 (3)8 (4) 【分析】（1）根据题意可知都是正数，即可获得答案； （2）结合题意作出图形即可； （3）将点代入，求解即可； （4）在直线平移过程中，可知交点个数有0个、1个、2个三种情况，满足题意的是交点个数为1个或2个，然后联立和并整理，由一元二次方程的根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，都是边长， ∴都是正数， ∴点在第一象限． 故答案为：一； （2）图像如下所示； （3）将点代入， 可得， 解得． 故答案为：8； （4）在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况， 联立和并整理， 可得， 当时，两个函数有交点， 解得或（不合题意，舍去）， ∴周长的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、绘制一次函数图像、反比例函数与一次函数综合应用、一元二次方程的根的判别式等知识，解题关键是理解题意，运用数形结合的思想分析问题． 【变式2】（20-21八年级下·河南南阳·期中）小强用竹篱笆围一个面积为4平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你补充完善他的思考过程． （1）建立函数模型 设矩形小花园的一边长为x米，总篱笆长为y米请你用含x的代数式表示小花园的另一边长，并求y关于x的函数表达式； （2）列表（相关数据保留一位小数）： 根据函数的表达式，得到了x与y的几组值，如表： x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y 17 10 8.3 a 8.2 8.7 9.3 b 10.8 11.6 表中a＝　 　，b＝； （3）描点、画函数图象： ①如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象． ②根据以上信息可得，当x＝　 　时，y有最小值． ③由此，小强确定篱笆长至少为　 　米． 【答案】（1）；（2）a=8，b=10；（3）①见解析；②2；③8 【分析】（1）依题意设矩形小花园的一边长为x米，则另一边的长为，根据长方形周长公式即可；得解析式； （2）将分别代入（1）中的解析式中即可求得的值； （3）①用光滑的曲线，连接各个点，即可；②观察表格和函数图像即可求解；③将②中的的值代入解析式即可求得答案． 【详解】（1）依题意设矩形小花园的一边长为x米，则另一边的长为，则 即； 故答案为：； （2） 当时，， 当时，， 故答案为：8；10； （3）①根据已知图像，用平滑的线将各点连线，画出该函数图象，如图； ②观察函数图像可知当x=2时，y有最小值， 故答案为：2， ③当时，8， 故答案为：8 【点睛】本题考查了函数的实际应用，掌握函数的作图，数形结合是解题的关键． 【变式3】（23-24九年级上·广东佛山·期末）综合与实践 课题：小空间检测视力问题 具体情境：对某班学生视力进行检测的任务． 现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为米，宽为米的空书房． (1)如图，若将视力表挂在墙上，在墙上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离墙________米处； 位置 视力值 的值 第1行 70 第5行 28 第8行 14 第14行 (2)小明选择按比例制作视力表完成该任务．在制作过程中发现视力表上视力值和该行字母的宽度之间的关系是已经学过的一类函数模型，字母的宽度如上中图所示，视力表上部分视力值和字母的宽度的部分对应数据如右上表所示： ①请你根据表格数据判断（说明理由）并求出视力值与字母宽度之间的函数关系式； ②小明在制作过程中发现某行字母的宽度的值，请问该行对应的视力值是多少？ 【答案】(1) (2)①视力值与字母宽度之间成反比函数关系，关系式为；②对应的视力值是 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的特征，以及用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤是解题的关键． （1）根据平面镜成像的原理即可解答； （2）①由表可知，视力值随字母宽度的值的减小而增大，且视力值与字母宽度的值的乘积为定值，得出视力值与字母宽度之间成反比函数关系，设，把代入，求出k的值即可；②把代入①中得出的函数关系式，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得： （米）， 故答案为：； （2）解：①由表可知，视力值随字母宽度的值的减小而增大，且视力值与字母宽度的值的乘积为定值， 故视力值与字母宽度之间成反比函数关系， 设， 把代入得：， 解得：， ∴视力值与字母宽度之间的函数关系式为； ②把代入得： ， 解得：， 即对应的视力值是． 一、单选题 1．（2023·海南·中考真题）若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】把点代入反比例函数解析式即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点， ∴， 解得， 故选：B 【点睛】此题考查了反比例函数，把点的坐标代入函数解析式准确计算是解题的关键． 2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 3．（2023·山西·中考真题）已知都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，先求出反比例函数的图象两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，再进行判断求解即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴反比例函数的图象两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， ∵点都在第三象限， ∵， ∴， 又∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：A． 4．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解． 本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 【详解】当时，， ∴与y轴的交点为； 由于是分式，且当时，，即， ∴与x轴没有交点． ∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个， 故选：B． 二、填空题 5．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知反比例函数的图像经过点，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】将点的坐标代入函数解析式即可． 【详解】解：将代入得： ， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数值求自变量是解题的关键． 6．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 7．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的值即可． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小， ∴ 故答案为：1（答案不唯一）． 8．（2021·四川甘孜·中考真题）如图，点A，B在反比例函数（）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为 ． 【答案】8 【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，通过证得△AOM∽△BAN，即可得到关于k的方程，解方程即可求得． 【详解】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N， ∵∠OAB=90°， ∴∠OAM+∠BAN=90°， ∵∠AOM+∠OAM=90°， ∴∠BAN=∠AOM， ∴△AOM∽△BAN， ∴， ∵点A，B在反比例函数（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1， ∴A（2，），B（k，1）， ∴OM=2，AM=，AN=-1，BN=k-2， ∴， 解得k1=2（舍去），k2=8， ∴k的值为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键 三、解答题 9．（2022·湖北襄阳·中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． (1)绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝　 　． x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 …… y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣1 ﹣2.5 ﹣3.8 …… ②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象； (2)探究函数性质，请写出函数y＝-|x|的一条性质：　 　； (3)运用函数图象及性质 ①写出方程-|x|＝5的解　 　； ②写出不等式-|x|≤1的解集　 　． 【答案】(1)①1；②见解析，③见解析 (2)的图象关于轴对称轴（答案不唯一） (3)①或；②或 【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描点，连线即可； （2）观察函数图象，可得函数性质； （3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案． 【详解】（1）①列表：当x=2时，， 故答案为：1； ②描点，③连线如下： （2）观察函数图象可得：的图象关于y轴对称， 故答案为：的图象关于y轴对称； （3）①观察函数图象可得：当y=5时，x=1或x=-1， 的解是x=1或x=-1， 故答案为：x=1或x=-1， ②观察函数图象可得，当x≤-2或x≥2时，y≤1， ∴的解集是x≤-2或x≥2， 故答案为：x≤-2或x≥2． 【点睛】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键． 10．（2024·西藏·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出满足的x取值范围． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：依题意，点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点， ． ∵，两点均在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数的解析式为． 综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴当时，x的取值范围为或． 11．（2023·湖北十堰·中考真题）函数的图象可以由函数的图象左右平移得到． (1)将函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，则____； (2)下列关于函数的性质：①图象关于点对称；②随的增大而减小；③图象关于直线对称；④的取值范围为．其中说法正确的是________（填写序号）； (3)根据（1）中的值，写出不等式的解集：_________． 【答案】(1) (2)①④ (3)或 【分析】（1）根据“左加右减”的规律即可求解； （2）根据平移的性质得出①正确；类比反比例函数图象的性质即可判断②④，根据平移的性质将向左平移个单位，得出，即可判断③； （3）根据题意，画出两个函数图象，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：∵函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象， ∴； 故答案为：． （2）解：∵可以看作是由向左平移个单位得到的， ∵函数图象的对称中心为，将其对称中心向左平移个单位， 则对称中心为，故①正确， ②类比反比例函数图象，可得，故函数图象不是连续的， 在直线两侧， 随的增大而减小；故②错误； ③∵关于对称， 同①可得，向左平移个单位得到： ∴图象关于直线对称；故③不正确； ④∵平移后的对称中心为，左右平移图象后，与轴没有交点， ∴的取值范围为．故④正确， 故答案为：①④． （3）∵， ∴不等式 如图所示，在第三象限内和第一象限内，， ∴或， 故答案为：或．      【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的平移，平移的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 12．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． (2)当电阻R为时，求此时的电流I． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴这个反比例函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴此时的电流I为． 一、单选题 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）某函数图象如图所示，则该函数的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，观察函数图象利用反比例函数图象上点的坐标特征找出k的取值范围是解题的关键． 根据反比例函数的图象求解即可． 【详解】∵函数图象是双曲线，且在第一，三象限 ∴该函数的表达式可能是． 故选：C． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据纵横坐标的乘积为的点在反比例函数上，即可作答． 【详解】解：A、，该点不在反比例函数上，故该选项不符合题意； B、，该点不在反比例函数上，故该选项不符合题意； C、，该点在反比例函数上，故该选项符合题意； D、，该点不在反比例函数上，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）在下列函数中，是关于的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的识别，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是关于的反比例函数，不符合题意； B、是关于的反比例函数，不符合题意； C、是关于的反比例函数，不符合题意； D、是关于的反比例函数，符合题意； 故选D． 4．（24-25九年级上·全国·期中）已知反比例函数，下列说法错误的是（ ） A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大 B．是轴对称图形，也是中心对称图形 C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点 D．图象分别位于第二、四象限内 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大，故A选项正确； B、反比例函数图象，是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确； C、过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点，故C选项错误； D、图象分别位于第二、四象限内，故D选项正确 故选：C． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（为常数，）的图象为双曲线，当>，图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当，图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质解题关键．根据反比例函数的性质得到，然后解不等式即可． 【详解】反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降， ， ， 故选：． 6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，是反比例函数的图象上两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．将根据题意可得：，求出，即可求． 【详解】解：，是反比例函数的图象上两点， 或 解得：或或， ， ， ， 故选：C． 7．（24-25九年级上·山东泰安·期中）已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，掌握函数与不等式的关系是解答关键． 根据图象确定出它们的交点，利用交点坐标来确定出不等式的解集． 【详解】解：由图象可知，一次函数与反比例函数的交点是和， 所以当或时，． 故选：C． 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，则关于、的大小关系描述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，反比例函数的性质；先根据题意得出的值，进而根据反比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴ 解得： ∴反比例数解析式为 ∵点、均在反比例函数的图象上， ∴ ∴， ∴， 故选：D． 9．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作x轴、轴的垂线，与反比例函数的图象交于两点，则四边形的面积为（   ） A．14 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，反比例函数比例系数k的几何意义．掌握反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是解题关键．设与x轴交于点A，与y轴交于点B，根据点P坐标可求出，根据反比例函数比例系数k的几何意义可求出，最后根据求解即可． 【详解】解：设与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∵， ∴． ∵过点分别作x轴、轴的垂线，与反比例函数的图象交于两点， ∴， ∴． 故选B． 10．（24-25九年级上·陕西西安·期中）小丽要把一篇文章录入电䐱，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（   ） A．这篇文章一共1500字 B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟 C．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务 D．小丽在开始录入，要求完成录入时不超过，则小丽每分钟至少应录入90字 【答案】D 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的应用，有理数混合运算的应用，掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例解析式，根据反比例函数的定义，即可判断A 选项；求出时的函数值，即可判断B选项；分别求出和时的函数值，作差即可判断C选项； 求出时的值，再结合反比例函数的增减性，即可判断D选项． 【详解】解：设反比例函数解析式为，将点代入得：， 解得：， 即反比例函数解析式为， A、录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）的乘积恒为，即这篇文章一共1500字，说法正确，不符合题意； B、当录字速度为时，录入时间，说法正确，不符合题意； C、当时，， 当时，， （分钟）， 即比原计划提前2分钟完成任务，说法正确，不符合题意； D、当录入时间时，， ，在第一象限内，随的增大而减小， 即录入时间不超过分钟时，每分钟至少应录入100字，说法错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）反比例函数的图象在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了判断反比例函数所在象限，根据反比例函数的性质即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴反比例函数图象在第二、四象限， ∵， ∴反比例函数的图象在第四象限， 故答案为：四． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）已知点在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义可得：、，由可得：，由可得或，所以可得，从而可得反比例函数的解析式为，把点代入即可求出的值． 【详解】解：是反比例函数， ，， 由可得：， 解得：， 由可得：或， ， ， 反比例函数的解析式为， 把点代入， 可得：． 故答案为： ． 13．（23-24九年级上·全国·单元测试）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性，根据解析式可得反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再由即可得到答案． 【详解】解；∵在中，， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·山东泰安·期中）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质．首先根据当时，有则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断的取值范围． 【详解】解：时，， 反比例函数图象在第一，三象限， ， 解得：． 故答案为：． 15．（22-23九年级上·广东佛山·期末）一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，当 时，（写出的取值范围） 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，不等式的解集等知识点，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 利用数形结合思想，观察函数图象即可发现，一次函数图象在反比例函数图象上方时的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：观察函数图象即可发现，在直线左侧以及轴和直线之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 当或时，， 故答案为：或． 16．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数 图象相交于A，B两点，已知A，则B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数图象的交点问题，根据两个函数的图象均关于原点对称，进而得到两点关于原点对称，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：两点关于原点对称， ∵A， ∴B的坐标为； 故答案为：． 17．（24-25九年级上·全国·期末）如图，中，，点在轴的正半轴，点在第一象限，函数（）的图象与边，分别交于点，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握几何面积计算反比例系数的方法是解题的关键． 根据题意，连接，过点作于点，过点作于点，可得，可证，得到，设，则，点，根据，可得，则有，再根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴， ∵， ∴，且点三点共线， ∴点三点的横坐标都相同， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点在反比函数图象上， ∴，即， ∵点三点的横坐标都相同， ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点， ∴ ， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 18．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，点，分别在函数与函数的图象上，线段的中点在轴上，的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，过点作轴交于，过点作轴交于，证明则，根据的几何意义可得，进而结合已知条件，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴交于，过点作轴交于 ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∵点，分别在函数与函数的图象上， ∴， ∴ ∵的面积为，则 故答案为：． 三、解答题 19．（2024九年级上·全国·专题练习）已知函数是关于的反比例函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求反比例函数的函数值： （1）根据反比例函数的定义，得到，且，进行求解即可； （2）把代入函数解析式，求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：且， ． （2） ∴反比例函数的表达式为， ∴当时，． 20．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，即可求解； （2）当时，y随x的值增大而减小，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， ∴a的取值范围是：； （2）解：∵当时，y随x的值增大而减小， ， 解得：， ∴a的取值范围是：． 21．（24-25九年级上·海南·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)反比例函数为：，一次函数的解析式为： (2)14 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）分别将点坐标代入两个函数解析式求出、值即可得到两个函数解析式； （2）将分别代入两个函数解析式得到点、的坐标求出长，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2）∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为8．点D的横坐标为8． ∴，， ∴，， ∴， 过点A作轴交于点E，则， ∴， ∴ 22．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，、分别在坐标轴上，点的坐标为，直线分别交，于点，，反比例函数的图象经过点，． (1)求反比例函数的表达式及点、的坐标； (2)观察图象，当时，写出关于的不等式的解集； (3)若点在第一象限内的反比例函数图象上，且的面积是四边形面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据点B的坐标，矩形的性质可求点M的纵坐标，点N的横坐标，把点M的纵坐标、点N的横坐标代入直线解析式可求点M的横坐标、点N的纵坐标，把点M的坐标代入反比例函数解析式即可求出k，即可求解； （2）结合函数图象求解即可； （3）根据割补法求出四边形面积，然后根据“的面积是四边形面积的3倍”可求点P的纵坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形， ∴， 将代入得：， 解得， ∴， 把的坐标代入得： 解得， ∴反比例函数的表达式是． 将代入得：， ∴． （2）解：当时，的解集为或． （3）解：由题意可得： ， ∵的面积是四边形面积的3倍， ∴， 即，解得， ∴． 23．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求v关于t的函数表达式（不要求写自变量t的取值范围）； (2)若汽车从上午从A市出发，如果汽车在当天到之间（包含端点时间）到达B市，求汽车行驶速度v的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）分别算出至时间长为小时，至时间长为6小时，再代入，且结合反比例函数的图象性质，得出汽车行驶速度v的范围为．即可作答． 【详解】（1）解：依题意，得， ∴． （2）解：依题意，（小时），（小时） ∴至时间长为小时，至时间长为6小时， 则将代入得；将代入得． ∴汽车行驶速度v的范围为． 24．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，已知，是反比例函数图象上的两点，轴于点，交于点，若的面积是的面积的2倍，求的面积． 【答案】2.5 【分析】本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义、相似三角形的判定与性质等知识点．过点作轴于，根据反比例函数的几何意义可得，根据的面积是的面积的2倍，可得，进而可得，然后证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得出的面积，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点作轴于， 已知，是反比例函数图象上的两点， ， 的面积是的面积的2倍， ， ， 轴，轴， ， 又 ， ， ， ． 25．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C．     (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，点B在反比例函数的图象上且在点A的右侧，过点B作轴于点D，连接交于点F，若点C是的中点，求的面积； (3)点N在反比例函数的图象上，点M坐标为，若是等边三角形，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将代入，求得,即得； （2）根据，点C是的中点，得，求得，求出的解析式 ，得点F坐标，得，即得； （3）①当M在y轴正半轴时， 在延长线上取点G，使得，在延长线上取点H使得，过点N作轴于点I，根据为等边三角形，得，求得，，，证明，得，得，，得，得，，得，得点N坐标，得，解得；②当M在y轴负半轴时，在延长线上取点P，使得，在延长线上取点Q，使得，过点N作轴于点R，根据为等边三角形，得，求得，，得，根据， 得，．求出，，得，得N点坐标为，得，解得． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得, ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵轴，, ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∵轴于点D， ∴将代入得， ∴点B坐标为， 设的解析式为， 将代入得， 解得， ∴的解析式为， 将代入，得， ∴点F坐标为， ∴， ∴； （3）解：①当M在y轴正半轴时，如图1， 在延长线上取点G，使得，在延长线上取点H使得，过点N作轴于点I， ∵为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得（负值舍去）， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴点N坐标为， ∵N为反比例上的点， ∴， 解得， ∵m在y轴正半轴上， ∴； ②当M在y轴负半轴时，如图2． 在延长线上取点P，使得，在延长线上取点Q，使得，过点N作轴于点R， ∵为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得（负值舍去）， ∴，，， 同理可证：， ，． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴N点坐标为， ∵N为反比例上的点， ∴， 解得， ∵m在y轴负半轴上， ∴． ∴综上所述，m的值为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数综合．熟练掌握反比例函数图象和性质，待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，三角形面积公式，等边三角形性质，含30度的直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 26．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数在第一象限的图象交于点，其中a，b满足． (1)直接写出k，n的值及点A的坐标； (2)点D在反比例函数的图象上，其横坐标为m，且，过点D的正比例函数图象与反比例函数的图象的另一个交点为C，连接，四边形的面积可以为12吗？若可以，求出m的值；若不可以，请说明理由； (3)点P是x轴负半轴上一点，以为边向线段右侧作等边，若点F在双曲线关于x轴对称的图象上，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)可以， (3) 【分析】本题主要考查了求函数解析式、一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的就。 （1）由非负数的性质可得：，可得出一次函数的解析式为，进而求得A，再运用待定系数法即可求得k的值； （2）如图：过点A作轴交于F，过点B作轴交于G，可得，再根据题意列方程求解即可； （3）如图：过点P作轴，过点B作轴，过点F作，过点P作于点H，过点H作轴于点K，设，则，可得，，设，则，可得，，利用等边三角形性质可证得，运用相似三角形性质即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴一次函数的解析式为， 当时，，解得：， ∴， 把点代入，得：，解得：， ∴， 把代入得：，解得：； ∴； （2）解：四边形的面积可以为12． 如图：过点A作轴交CD于F，过点B作轴交于G， 由题意得：，直线的解析式为， 设直线直线的解析式为，即，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， 当时，点D在的左侧， 则 ， ∵， ∴，解得：或， ∵， ∴此时无解； 当时，点D在的右侧， 则 ， ∵， ∴，解得：或， ∵， ∴； （3）解：如图：过点P作轴，过点B作轴，过点F作，过点P作于点H，过点H作轴于点K， ∵点F在双曲线关于x轴对称的图象上， ∴设，则， ∴，， 设，则， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$