北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷

北京师大附中2024-2025学年（上）高三数学月考试卷 班级______ 姓名______ 学号______ 考生须知： 1.本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分. 2.考生务必将答案填写在答题纸（共8页）上，在试卷上作答无效. 3.考试结束后，考生应将答题纸交回. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合.若，则的最小值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 9. 设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知是无穷等比数列，其前项和为.若对任意正整数，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是______. 12. 已知为等比数列，为其前项和，若，则______；______. 13. 若向量满足，则的最小值是______. 14. 已知函数，直线与曲线的两个交点如图所示.若，且在区间上单调递减，则______；______. 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①存在实数和，使函数没有零点； ②存在实数，对任意实数，函数恰有1个零点； ③存在实数，对任意实数，函数不会恰有2个零点； ④对任意实数和，函数不会恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数，且. （1）求的值和的最小正周期； （2）求在上的单调递增区间. 17. 在中，. （1）求的大小； （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积. 条件①：边上中线的长为； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 某医学小组为了比较白鼠注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验．将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A，第2组注射药物B．试验结果如下表所示． 疱疹面积（单位：） 第1组（只） 3 4 1 2 0 第2组（只） 1 3 2 3 1 （1）现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于的概率； （2）从两组皮肤疱疹面积在区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望； （3）用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内（），写出方差，的大小关系．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，直线的方程为. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）是椭圆上一点，且在第一象限内，是点关于轴的对称点.过作垂直于轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点.证明：直线的斜率为定值. 20. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程. （2）若在处取得极值，求的极值. （3）若在上的最小值为，求的取值范围. 21. 对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d（S（A））．定义变换T，变换T将集合A变换为集合T（A）=A∪S（A）． （1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）； （2）若集合A有n个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”； （3）若A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素个数最少的集合A． 北京师大附中2024-2025学年（上）高三数学月考试卷 班级______ 姓名______ 学号______ 考生须知： 1.本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分. 2.考生务必将答案填写在答题纸（共8页）上，在试卷上作答无效. 3.考试结束后，考生应将答题纸交回. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】D 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 ①. 2 ②. 【15题答案】 【答案】① ② ③ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1）， （2）， 【17题答案】 【答案】（1） （2） 选条件①：.选条件③，或；选条件②，不存在这样的. 【18题答案】 【答案】（1） （2）的分布列为： （3） 【19题答案】 【答案】（1）的方程；离心率为； （2）依题意可设，则由对称性可知，如下图所示： 易知两点纵坐标相同，可得， 又点在直线上，解得，即； 又两点横坐标相同，可得； 因为点在直线上，所以，即，解得； 又点在椭圆上可得，因此，所以； 即 所以直线的斜率为， 即可得直线的斜率为定值. 【20题答案】 【答案】（1） （2）极大值，极小值； （3） 【21题答案】 【答案】（1）； （2）令．不妨设． 充分性：设是公差为的等差数列． 则 且．所以共有2n-1个不同的值．即d（S（A））=2n-1． 必要性：若d（S（A））=2n-1． 因为． 所以S（A）中有2n-1个不同的元素： 任意（1≤i，j≤n） 的值都与上述某一项相等． 又，且． 所以，所以是等差数列，且公差不为0． （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $