精品解析： 期中 试题 2024-2025学年 苏科版数学九年级下册

期中综合素质评价 一、选择题(每小题3分，共24分) 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （5，﹣1） B. （﹣5，1） C. （5，1） D. （﹣5，﹣1） 2. 如图，下列条件中不能判定是（ ） A. B. C. D. 3. 设A(-2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=-x2-2x+2上三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ） A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y3＞y1＞y2 4. 如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为，当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或 D. 1或2 8. 已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共30分) 9. 若，则的值为______． 10. 在同一时刻，直立在地上的6米高的大树的影长是4.5米。附近有一幢大楼的影长是18米，则这栋大楼的高是__________米． 11. 二次函数的图象经过点，则_____． 12. 将函数图像先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得图像的函数表达式为________． 13. 已知点P是线段的黄金分割点，且，，那么_______． 14. 二次函数与一次函数的图象交于 ，两点，如图，则不等式的解集是______． 15. 在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，2），以原点O为位似中心，把△OAB按相似比1∶2缩小，则点B的对应点B′的坐标是__________． 16. 若二次函数的图像上有且只有三个点到轴的距离等于4，则的值为______． 17. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是___________． 18. 如图，为的直径，C为上一点，过B点的切线交的延长线于点D，E为弦的中点，，若点P为直径上的一个动点，连接，若与相似，则的长为_______． 三、解答题(共66分) 19. 如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B． （1）求证：△AED∽△ADC； （2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 20. 如图，二次函数的图像交轴正半轴于，两点（点在点的左边），交轴于点，连接，，已知． （1）求二次函数的表达式； （2）求的面积． 21. 为加强劳动教育，各校纷纷落实劳动实践基地．某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现：①当每平方米种植2株番茄时，平均单株产量为8.4千克；②在每平方米种植的株数不超过10的前提下，以同样的栽培条件，株数每增加1株，平均单株产量减少0.8千克． （1）求平均单株产量（千克）与每平方米种植的株数（为整数，且）之间的函数关系式； （2）已知学校劳动基地共有10平方米的空地用于种植这种番茄．问：当每平方米种植多少株时，该学校劳动基地能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点． （2）如图2，在边上找一点，使得． 23. 如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． （1）求证：； （2）若的半径，，，求的长． 24. 如图，在中，，，M为上一点，，D为边上一点（不与A，B重合），作，使交的边于点N． （1）如图1，点N在上时， ①求证：； ②若，求长； （2）若，请直接写出的长． 25. 在平面直角坐标系中，拋物线经过点，且． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线经过点，设点A与点横坐标的差为，点A与点纵坐标的差为，求的值； （3）在（2）条件下，连接，若线段交抛物线对称轴于点（点不与重合），在直线的同侧作矩形，且．当抛物线在矩形内部的部分始终在轴下方时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中综合素质评价 一、选择题(每小题3分，共24分) 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （5，﹣1） B. （﹣5，1） C. （5，1） D. （﹣5，﹣1） 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是（5，1）． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为(，) ． 2. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相关判定定理即可求解； 【详解】解：由图可知：， 若，或，则根据“如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似‌”可判定， 故B、C正确，不符合题意； 若，即，则根据“如果两个三角形的两边对应成比例，并且这两边的夹角相等，则这两个三角形相似‌” 可判定， 故D正确，不符合题意； 不可判定，故A错误，不符合题意； 故选：A． 3. 设A(-2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=-x2-2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ） A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y3＞y1＞y2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意直接将点A，点B，点C横坐标代入解析式求解纵坐标进行大小比较即可． 【详解】解：∵A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物y=-x2-2x+2上的三点， ∴y1=2，y2=-1，y3=-6， ∴y1＞y2＞y3. 故答案为：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，注意掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 4. 如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为，当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似的性质和判定，设长边，短边，O离地面的距离为h，由相似的性质得到、和之间的关系并求解，即可解题． 【详解】解：设长边，短边，O离地面的距离为h， 根据相似得： ， 由得：，解得， 故选：A． 5. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 6. 二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与 y 轴的交点可以对 A 进行判断；根据抛物线与y 轴的交点情况可对 B 进行判断；根据对称轴的位置，可对 C 进行判断；根据，对称轴为直线，可对 D 进行判断． 【详解】解：A．抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， ， 故A正确；不符合题意； B．当时，得到，由图象可知，当时，． 故B正确；不符合题意； C．对称轴为直线， ， ， 故C正确；不符合题意； D．，对称轴为直线， ， ， 故D错误．符合题意． 故选：D． 7. 如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或 D. 1或2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意易得，然后根据题意可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ①当点E为的中点时，如图， ∴， ②当点E为的四等分点时，如图所示： ∴， 综上所述：或2； 故选D． 【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键． 8. 已知抛物线对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称轴计算公式求出，再根据题意可得二次函数与直线在的范围内有交点，据此求出时，二次函数的函数值的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解， ∴二次函数与直线在的范围内有交点， ∵二次函数的对称轴为直线且开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点， 故选：D． 二、填空题(每小题3分，共30分) 9. 若，则值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，先根据题意得到，然后代入约分是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 在同一时刻，直立在地上的6米高的大树的影长是4.5米。附近有一幢大楼的影长是18米，则这栋大楼的高是__________米． 【答案】24 【解析】 【分析】先设建筑物的高为x米，根据同一时刻物高与影长成正比，即可求出答案. 【详解】解：设这栋大楼高为x米 得到 6:4.5=x：18 解得x=24 故答案为：24 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟记同一时刻物高与影长成正比是解题的关键. 11. 二次函数的图象经过点，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可得二次函数的对称轴为直线，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图象经过点， ∴A、B关于对称轴对称， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，熟练掌握的图象和性质是解题的关键． 12. 将函数的图像先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得图像的函数表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：将函数 的图象先向上平移1个单位长度，再向右平移2 个单位长度，所得图象的函数表达式为，即， 故答案为：． 13. 已知点P是线段的黄金分割点，且，，那么_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟记黄金分割点分成的两线段和原线段之间关系是解决问题的关键，根据黄金分割可得，即可得解． 【详解】解：点P是线段的黄金分割点，且， ． 故答案为：． 14. 二次函数与一次函数的图象交于 ，两点，如图，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键． 由得，结合图象，当一次函数在二次函数上方，此时二次函数值小于一次函数值，将不等式变形，确定x的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】， ， 设，， 即二次函数值小于一次函数值， 抛物线与直线交点为，， 当时，一次函数在二次函数上方，此时二次函数值小于一次函数值， 即的解集为， 的解集为， 故答案为： 15. 在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，2），以原点O为位似中心，把△OAB按相似比1∶2缩小，则点B的对应点B′的坐标是__________． 【答案】（2，1）或（－2，－1） 【解析】 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，把△OAB按相似比1∶2缩小，点B坐标为（4，2）， ∴点B的对应点B′的坐标是或，即（2，1）或（－2，－1）， 故答案为：（2，1）或（－2，－1）． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，熟知位似变换的性质（在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或－k）是解题关键． 16. 若二次函数的图像上有且只有三个点到轴的距离等于4，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线顶点为，由图象上有且只有三个点到x轴的距离为4可得．能够理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，抛物线顶点为， ∵图像上有且只有三个点到轴的距离等于4， ∴顶点到x轴的距离为， ∴， 故答案为：． 17. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】作交于点，不妨设，设，通过四边形是正方形，推出，得到，然后证明，利用相似三角形对应边成比例，得到，从而表示出，的长度，最后利用和表示出正方形和的面积，从而得到． 【详解】解：作交于点，不妨设，设 四边形是正方形 在和中，， 由题意可知， 正方形的面积， 正方形的面积 ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了弦图，正方形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的面积，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能画出合适的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 18. 如图，为的直径，C为上一点，过B点的切线交的延长线于点D，E为弦的中点，，若点P为直径上的一个动点，连接，若与相似，则的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，由圆周角定理和切线的性质证明，根据相似三角形的性质可求，则，由勾股定理可求直径，当P与O重合时，可证，即可求出，当时，可证，再由相似三角形的性质可求． 【详解】解：连接， 为的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， E为弦的中点， ， ， ， ， 当P与O重合时， E为弦的中点， ， ， ， ， ， 当时，则， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是分类讨论，综合运用以上知识求解． 三、解答题(共66分) 19. 如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B． （1）求证：△AED∽△ADC； （2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【解析】 【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，结合∠DAE=∠CAD即可证出△AED∽△ADC； （2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD=AB即可得出AB的长． 【详解】解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB， ∴∠ADE=∠C． 又∵∠DAE=∠CAD， ∴△AED∽△ADC． （2）∵△AED∽△ADC， ∴，即， ∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）． 又∵AD＝AB， ∴AB＝2 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长． 20. 如图，二次函数的图像交轴正半轴于，两点（点在点的左边），交轴于点，连接，，已知． （1）求二次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求解二次函数表达式，二次函数与x轴交点坐标，求三角形面积； （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先由求出，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∵二次函数的图像经过点 ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式是； 【小问2详解】 ∵二次函数的图像与轴交于A，B两点， ∴， 解得，， ∴二次函数与轴的两个交点的坐标为，． ∴的面积． 21. 为加强劳动教育，各校纷纷落实劳动实践基地．某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现：①当每平方米种植2株番茄时，平均单株产量为8.4千克；②在每平方米种植的株数不超过10的前提下，以同样的栽培条件，株数每增加1株，平均单株产量减少0.8千克． （1）求平均单株产量（千克）与每平方米种植株数（为整数，且）之间的函数关系式； （2）已知学校劳动基地共有10平方米的空地用于种植这种番茄．问：当每平方米种植多少株时，该学校劳动基地能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 【答案】（1）（，且为整数） （2）6株，312千克 【解析】 【分析】（1）根据题意，找出数量关系式，即可求出平均单株产量（千克）与每平方米种植的株数之间的函数关系式； （2）利用总产量平均的产量种植的株数，列关于的一元二次方程，将其转化为顶点式，根据为整数，即可求出种多少株最大产量，以及最大产量多少. 【小问1详解】 解：每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.8千克， ， 关于的函数表达式为（，且为整数）； 故答案为：（，且为整数）. 【小问2详解】 解：设每平方米番茄产量为千克， 根据题意得： ，为整数， 当时，取最大值，最大值为， （千克）， 答：每平方米种植6株时，该学校劳动基地能获得最大的产量，最大产量为312千克． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的综合运用，解题的关键需要找出和存在的关系，以及熟练掌握顶点式二次函数表达式． 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点． （2）如图2，在边上找一点，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）在延长线上取格点D，在延长线上取格点E，使，，连接，，，根据位似图形的判定和性质可知即为所求作； （2）在点A的下方取格点G，使，，连接交于点F，根据相似三角形的判定和性质可知F即为所求． 本题主要考查了网格作图——位似变换，相似变换，熟练掌握位似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，是解题的关键． 【小问1详解】 如图所示，在延长线上取格点D，在延长线上取格点E，使，，连接，，， 则， ∵， ∴， 故即为所求； 【小问2详解】 如图所示，在点A的下方取格点G，使，，连接交于点F， 则， ∵， ∴， 故点F即为所求作． 23. 如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． （1）求证：； （2）若的半径，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明； （2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵直线l与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 24. 如图，在中，，，M为上一点，，D为边上一点（不与A，B重合），作，使交的边于点N． （1）如图1，点N在上时， ①求证：； ②若，求的长； （2）若，请直接写出的长． 【答案】（1）①见解析；②10 （2）3 【解析】 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质证明即可； ②先由已知和勾股定理分别求解，，，再根据相似三角形的性质得到，进而求解即可； （2）设交射线于点E，先求解，，再求得，点E在的延长线上，设与交于点N，过D作交于F，证明，，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①∵在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②∵在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，即， 解得； 【小问2详解】 解：如图，设交射线于点E， ∵， ∴，， ∵，， ∴，又， ∴， ∴，即， 解得， ∴点E在的延长线上， 设与交于点N，过D作交于F， 则，， ∴，， ∴，则， ∵， ∴， 即的长为3． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 25. 在平面直角坐标系中，拋物线经过点，且． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线经过点，设点A与点横坐标的差为，点A与点纵坐标的差为，求的值； （3）在（2）的条件下，连接，若线段交抛物线对称轴于点（点不与重合），在直线的同侧作矩形，且．当抛物线在矩形内部的部分始终在轴下方时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接由对称轴为直线求解； （2）先求出函数解析式，将A、B两点横纵坐标代入后作差即可； （3）分类讨论：①或，则或，则点A、B在对称轴右侧，线段交抛物线对称轴不相交，不满足题意；②时，则，点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧，当经过点M时，此时正好符合题意，求出，则，过点B作y轴的垂线，过点A作y轴的平行线，两直线交于点G，可证，则，则，临界状态可得，解方程即可；③当时，，则A在对称轴右侧，B在对称轴左侧，当点B经过抛物线与x轴侧交点时，正好满足题意，求出直线：，联立得，解得或，则，故或． 【小问1详解】 解：， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由抛物线经过点， ∴ ， 解得， 即抛物线解析式为， 将A、B两点横纵坐标代入后作差，可得， ； 【小问3详解】 ∵点不与重合， ∴，而， ①或，则或， 则点A、B在对称轴右侧， 线段交抛物线对称轴不相交，不满足题意； ②时，则，点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧， 当经过点M时，此时正好符合题意， ∵ ， 设， 则， 解得， ∴， ∴， 过点B作y轴的垂线，过点A作y轴的平行线，两直线交于点G， 对于，令，记抛物线与x轴右侧交点为M，则 ，解得或，则与x轴交于和， 则由（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：或（舍）， ∴满足当抛物线在矩形内部的部分始终在轴下方时， ∴； ③当时，，则A在对称轴右侧，B在对称轴左侧， 当点B经过抛物线与x轴侧交点时，正好满足题意， 将代入直线：得， ∴此时直线：， 联立得，解得或， ∴， ∴满足当抛物线在矩形内部的部分始终在轴下方时，， 综上：或． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数几何的综合题，抛物线的对称轴，与矩形的存在性问题，锐角三角函数，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$