精品解析：河南省南阳华龙高级中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

华龙高中2024年12月月考高二年级数学试卷 一、单选题 1. 向量，，，且，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 2. 已知，，，若，，共面，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1 3. 已知空间三点，则下列命题正确的是（ ） A. 若为的中点，则点的坐标为 B. 若四边形为平行四边形，则点的坐标为 C. 向量与向量夹角为 D. 以为邻边的平行四边形面积为 4. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（ ） A. B. C. D. 或 6. 设向量是平面的法向量，向量是直线的方向向量，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，若E为DD1的中点，F在BD上，且BF＝2FD，则等于（　　） A. B. C. D. 8. 棱长为的正四面体中，点是的中点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（    ） A. B. C. D. 10. 下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ） A. 点与点关于轴对称 B. 点与点关于轴对称 C. 点与点关于平面对称 D. 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 11. 已知空间中三点，则（ ） A. B. 方向上的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 三、填空题 12. 已知向量，，则_____，_____. 13. 设直线，的方向向量分别为，，若，则__________. 14. 如图，在正六棱柱中. （1）化简：______； （2）化简：______. 四、解答题 15. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 16. 如图，在棱长为6的正四面体中，，点E为AD的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量： （2）求OE的长. 17. 如图，在正方体中，分别是棱的中点. （1）证明：； （2）证明：； 18. 如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 19. 如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． （1）设平面平面，若P为的中点，求证：； （2）设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华龙高中2024年12月月考高二年级数学试卷 一、单选题 1. 向量，，，且，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的平行和垂直求出，再根据模长公式求解. 【详解】因为//，所以，所以，所以, 因为，所以，所以. 所以，所以， 所以. 故选：C. 2. 已知，，，若，，共面，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算结合空间向量共面定理可设存在实数使得：，列方程组求解的值即可. 【详解】因为，，， 若，，共面，则存在实数使得：， 则，解得. 故选：D. 3. 已知空间三点，则下列命题正确的是（ ） A. 若为的中点，则点的坐标为 B. 若四边形为平行四边形，则点的坐标为 C. 向量与向量夹角为 D. 以为邻边的平行四边形面积为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据中点坐标公式求解判断即可；对于B，由四边形为平行四边形，可得，设，进而结合空间向量的坐标表示列出方程组求解判断即可；对于C，直接根据空间向量夹角余弦的坐标表示求解判断即可；对于D，结合三角形的面积公式求解判断即可. 【详解】对于A，因为为的中点，所以， 即，故A错误； 对于B，因为四边形为平行四边形，所以， 由，设，则， 所以，解得，即，故B错误； 对于C，由，， 则，，， 所以， 所以向量与向量夹角为，故C错误； 对于D，由C知，，，， 所以以为邻边的平行四边形面积为： ，故D正确. 故选：D. 4. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，，根据空间向量共线的坐标表示可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为是直线的方向向量，是平面的法向量，且， 则，则，所以，，解得，， 因此，. 故选：D. 5. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方向向量与平面法向量垂直得出结论. 【详解】因为， 所以，则或. 故选：D 6. 设向量是平面的法向量，向量是直线的方向向量，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量判断线面位置关系的方法，分别研究当时能否推出以及当时能否推出，再根据推导关系选出答案即可. 【详解】因为， 由“”可以推出“”， 由“”也可以推出“”， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 7. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，若E为DD1的中点，F在BD上，且BF＝2FD，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的加减法、数乘运算推导即可. 【详解】. 故选：B. 8. 棱长为的正四面体中，点是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算法则和数量积的性质可得，结合数量积定义可得结论． 【详解】因为， 所以， 又，，，， 所以． 故选：A． 二、多选题 9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间基底的定义以及空间向量共面定理依次判断可得结论. 【详解】由于是空间的一个基底，所以不共面， 对于A，向量分别与共线，所以不共面，能构成空间一个基底； 对于B，不存在实数满足，因此不共面，能构成空间一个基底； 对于C，由于，因此这三个向量是共面的，不能构成基底. 对于D，不存在实数满足，因此不共面，能构成空间一个基底. 故选：ABD 10. 下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ） A. 点与点关于轴对称 B. 点与点关于轴对称 C. 点与点关于平面对称 D. 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 【答案】AD 【解析】 【分析】结合空间直角坐标系点的坐标特征对选项逐一分析即可. 【详解】点关于轴对称的点是，所以A选项正确； 点关于轴对称的点是，所以B选项错误； 点关于平面对称的点是，所以C选项错误； 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，所以D选项正确． 故选：AD. 11. 已知空间中三点，则（ ） A. B. 方向上的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据向量的模及单位向量的定义求解选项AB，根据法向量定义求解选项C，根据投影向量概念求解选项D. 【详解】对于选项A，，，故A错误； 对于选项B，,方向上的单位向量是，故B错误； 对于选项C，，由于共面且不共线， , 所以，是平面的一个法向量，故C正确； 对于选项D, , 在上的投影向量的模为,故D正确. 三、填空题 12. 已知向量，，则_____，_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算求解即可. 【详解】空1，因为向量，所以； 空2，因为向量，， 所以. 故答案为：；. 13. 设直线，的方向向量分别为，，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示可得方程，解方程即可. 【详解】由已知，即， 则， 解得， 故答案为：. 14. 如图，在正六棱柱中. （1）化简：______； （2）化简：______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意，根据空间向量的线性运算分别计算即可求解. 【详解】（1） . （2） 故答案为： 四、解答题 15. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 【答案】（1） （2）2或 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求出，再利用向量夹角的坐标表示计算即得. （2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律，结合（1）中信息列出方程求解即可. 【小问1详解】 由点，得， 所以，所以和夹角的余弦值为 【小问2详解】 由（1）可得， 因为向量与互相垂直， 则， 整理可得，解得或， 所以的值为2或. 16. 如图，在棱长为6的正四面体中，，点E为AD的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量： （2）求OE的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用空间向量的线性运算求解即可； （2）应用数量积运算律求出，再求即可. 【小问1详解】 解：依题意， ， 即. 【小问2详解】 解：因为 ， 所以，即OE的长. 17. 如图，在正方体中，分别是棱的中点. （1）证明：； （2）证明：； 【答案】（1） 证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 ， 故， 由于，故，显然，不重合，故； （2） 证明： 故， 因此，故 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，根据共线即可求解， （2）根据向量垂直满足的坐标关系即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【答案】（1） 证明：∵为正方形，∴， ∵二面角为直二面角，∴平面， 以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 过点平行于的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， AI 则，，，， 设()， ∵为上的点，， ∴设，∴， ∴，，， ∵平面，、平面，∴， 且，解得，，∴，， 所以 ，，∴，∴， ∵平面，平面，∴， 又，、平面，∴平面 （2） 证明：由题意可知，平面的法向量为， 设面的法向量为，，， ∴且，取，则，， ∴，∴，∴平面平面. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系得出的坐标，要证平面，只需证明和即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面法向量和平面的一个法向量，利用向量夹角公式可求得余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． （1）设平面平面，若P为的中点，求证：； （2）设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2） 在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 【解析】 【分析】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $