精品解析：2024-2025学年人教版数学九年级上册期末检测卷-

期末检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1. 在三张卡片上分别标上数字，2，，先从这三张卡片中随机抽出一张记所标数字为a，然后放回打乱，再从中随机抽出一张记所标数字为b，则一次函数的图象经过第二象限和第三象限的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小明正确地代入了，，得到，则他求解的一元二次方程是（ ） A. B. C D. 4. 如图，是的直径，，分别与相交于点E，F，则下列计算结果错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 两个相邻奇数积是195，则这两个奇数的和为（ ） A. 26 B. 28 C. 或26 D. 或28 6. 如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到，若，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，则当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用超7200元，求2020年到2022年这两年买书资金的平均增长率．设2020年到2022年这两年买书资金的平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A B. C. D. 9. 如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，，则阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1），，；（2）；（3）；（4）若点，点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. 已知实数a，b（）满足，，则的值为______． 12. 为了估计暗箱里黑球的数量（箱内只有黑球），将6个白球放进去，这些球与黑球除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回；搅匀后再从中随机摸出一个球，记下颜色后放回……多次重复后发现摸出黑球的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里黑球的个数为______个． 13. 如图，在中，，，，，，为内心，则______． 14. 在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知抛物线与x轴的交点为A，B． （1） 线段AB上的整点个数为_________； （2） 抛物线在点A，B之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）整点个数为__________． 15. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，该门洞的半径为_____． 16. 如图，在水池中心点处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形的水柱，当喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试时发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点，那么喷头高______时，水柱落点距O点． 三、解答题 17. 按要求解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 18. 如图所示，是的直径，切于，交于点，连接，若，求的度数． 19. 如图，有一面长的墙，现要用长的篱笆围成一面靠墙且中间隔有一道篱笆（）的矩形花圃，设花圃的宽为．若围成的花圃的面积为，求的长． 20. 在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了公顷． （1）求该农户这两年种植核桃公顷数年均增长率； （2）某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/时，每天能售出，售价每降低1元、每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 21. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则称这样的方程为“伴根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，且，则方程是“伴根方程”， （1）方程______“伴根方程”；（填“是”或“不是”） （2）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“伴根方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程是“伴根方程”，证明：． 22. 某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A：篮球 B：乒乓球C：羽毛球 D：足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　 　人； （2）请你将条形统计图（2）补充完整； （3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答） 23. 在平面直角坐标系中，点为坐标的原点，抛物线交轴于、两点，点的坐标为，点的坐标为． （1）求、的值； （2）如图1，点为该抛物线顶点，连接，点在的延长线上，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，过点作，，交轴于点，连接、，过点作交的延长线于点，连接，过点作于点，连接，若，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1. 在三张卡片上分别标上数字，2，，先从这三张卡片中随机抽出一张记所标数字为a，然后放回打乱，再从中随机抽出一张记所标数字为b，则一次函数的图象经过第二象限和第三象限的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，列举法求概率．熟练掌握一次函数的图象与性质，列举法求概率是解题的关键． 由题意知，当或时，一次函数的图象经过第二象限和第三象限，然后列举所有的情况，进行求解作答即可． 【详解】解：由题意知，当或时，一次函数的图象经过第二象限和第三象限， 由题意知，有，，，，，，，，共9种等可能的结果， 其中使一次函数的图象经过第二象限和第三象限，有，，，，共5种等可能的结果， ∴一次函数的图象经过第二象限和第三象限的概率为， 故选：D． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程定义判断作答即可． 【详解】解：中，有两个未知数，不是一元二次方程，故A不符合要求； ，不整式方程，不是一元二次方程，故B不符合要求； ，是一元二次方程，故C符合要求； ，次数为3，不是一元二次方程，故D不符合要求； 故选：C． 3. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小明正确地代入了，，得到，则他求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知： ，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 4. 如图，是的直径，，分别与相交于点E，F，则下列计算结果错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据是的直径，得出，根据三角形内角和定理即可求出，A正确；根据，得出，即可求出，B正确；根据，得出，根据圆周角定理得出，C正确；根据三角形内角和即可求出，D错误； 【详解】解：∵是的直径， ， ∴，A正确； ∵， ∴， ∴，B正确； ∵， ∴， ∴，C正确； ∴， ∴，D错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质、平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，数量掌握圆中有关的线段、角相等的定理是解题的关键． 5. 两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（ ） A. 26 B. 28 C. 或26 D. 或28 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这两个奇数分别为，由题意得方程，求得n的值，即可求得这两个奇数的和． 【详解】解：设这两个奇数分别为， 由题意得：， 即， 解得：， 而， 故两个奇数和为：或28； 故选：D． 6. 如图，在等腰中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到，若，则点对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作轴于点，点作轴于点，设，根据等边对等角可得，根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，再根据勾股定理可得，得到，根据旋转的性质可得， ，然后在中，根据角所对的直角边等于斜边的一半和根据勾股定理可得，，据此即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，点作轴于点，设， ∴， ∵等腰中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵绕原点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转，等边对等角，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，掌握旋转的性质和直角三角形的有关性质是解题的关键． 7. 抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，则当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线的对称性，利用抛物线的图像写不等式的解集，先利用抛物线的对称性求解抛物线与轴的另一个交点的坐标为： 再利用图像得到时，函数图像在轴的下方，从而可得答案． 【详解】解：由抛物线的对称轴为： 且过 所以抛物线与轴的另一个交点的坐标为： 当时，函数图像在轴的下方， 所以： 故选：C． 8. 为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用超7200元，求2020年到2022年这两年买书资金的平均增长率．设2020年到2022年这两年买书资金的平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设2020年到2022年这两年买书资金的平均增长率为，则2021年该学校用于购买图书的费用为元，则2022年该学校用于购买图书的费用为元，据此列出方程即可． 【详解】解：设2020年到2022年这两年买书资金的平均增长率为， 由题意得，， 故选：A． 9. 如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，，则阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积公式，阴影部分的面积是一个环形，可用大圆中角所对的扇形的面积减去小圆中角所对的面积来求得． 【详解】解：， ∴阴影部分面积是． 故选：A． 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1），，；（2）；（3）；（4）若点，点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各系数符号，理解二次函数的图象和性质是解答关键． （1）根据二次函数图象的开口方向，与轴的负半轴的交点和对称轴来求解； （2）根据图象过点得，再结合对称轴得来求解； （3）利用当时，来求解； （4）利用A、B、C到对称轴的距离分别为0,1，4进行判定求解． 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，． 对称轴为直线， ， ，故（1）项符合题意； 图象过点， ． 对称轴为直线， ， 即， ，故（2）符合题意； 图象过点，对称轴为直线， 当时，， ， 即，故（3）不符合题意； 点，点、点在该函数图象上， A、B、C到对称轴的距离分别为0,1，4 ，故（4）符合题意. 综上所述，符合题意的有：（1）（2）（4）共3个. 故选：C． 二、填空题 11. 已知实数a，b（）满足，，则值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的应用．由根与系数的关系，得，，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值． 【详解】解：∵，实数a，b满足，， ∴可以把a，b看作是方程的两根． 由根与系数的关系，得，， ∴； 故答案为：． 12. 为了估计暗箱里黑球的数量（箱内只有黑球），将6个白球放进去，这些球与黑球除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回；搅匀后再从中随机摸出一个球，记下颜色后放回……多次重复后发现摸出黑球的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里黑球的个数为______个． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、频率等知识，结合频率的概念建立关于的分式方程是解题关键．设暗箱里黑球的个数为个，根据“频率稳定在附近”可得，求解并检验，即可获得答案． 【详解】解：设暗箱里黑球的个数为个， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该分式方程的解， 所以暗箱里黑球的个数为9个． 故答案为：9． 13. 如图，在中，，，，，，为内心，则______． 【答案】 【解析】 【分析】作于点于点于点，作于点，连接、、，由，，求得，再利用三角形面积公式求出，再利用勾股定理求出，进而求出，由为的内心，得到，结合，易证四边形是正方形，设，则，求得，求出，由，易证，得到，再根据易证四边形是矩形，推出，，根据，求出，求出，再利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：作于点于点于点，作于点，连接、、， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵为的内心， ∴， ∴四边形是正方形， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查勾股定理、三角形的内心的性质、正方形、矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知抛物线与x轴的交点为A，B． （1） 线段AB上的整点个数为_________； （2） 抛物线在点A，B之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）整点个数为__________． 【答案】 ①. 3 ②. 4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴交点，二次函数图象与性质等知识； （1）令，即可求得图象与x轴交点的横坐标，从而可确定线段AB上的整点个数； （2）求出当时的函数值，根据函数值及线段即可确定整点个数． 【详解】解：（1）令， 解得：， 在0与2间的整数有1， 则线段AB上的整点为，共有3个整点； 故答案为：3． （2）当时， ， 在x轴下方抛物线内的整点只有，加上线段AB上的3个整点， 则满足题意的整点数为4； 故答案为：4． 15. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，该门洞的半径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理的应用．设半径为，根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为， 由题意可知，，，， 中，，即， 解得． 则该门洞的半径为． 故答案为：． 16. 如图，在水池中心点处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形的水柱，当喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试时发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点，那么喷头高______时，水柱落点距O点． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意可得，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，利用待定系数法求出，，从而可得设喷头高时，水柱落点距O点，此时的解析式为，代入计算即可得解． 【详解】解：由题意可得，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高时，水柱落点距O点时，可设， 将代入解析式可得：， ∴， 当喷头高时，水柱落点距O点时，可设， 将代入解析式可得：， ∴， 联立①②可得：，， 设喷头高时，水柱落点距O点，此时的解析式为， 将代入可得：， 解得：， ∴当喷头高时，水柱落点距O点， 故答案为：． 三、解答题 17. 按要求解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，能正确运用指定的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）先移项将原方程可变形为，进而得．再解两个一元一次方程即可求解； （2）将原方程化为一般形式．求出，再代入求根公式即可求解． 【小问1详解】 解：原方程可变形为， ． ，或， ∴． 【小问2详解】 解：将原方程化为一般形式，得． 这里． ， ， 即． 18. 如图所示，是的直径，切于，交于点，连接，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先由切线性质得到，进而在中，由三角形内角和定理求出，结合圆的半径相等及三角形外角性质，数形结合即可得到的度数． 【详解】解：是的直径，切于， ， 在中，，，则， ，是的一个外角， ． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及切线性质、垂直定义、三角形内角和定理、圆的基本性质、等腰三角形性质、三角形外角性质等知识，熟练掌握相关几何性质灵活运用是解决问题的关键． 19. 如图，有一面长的墙，现要用长的篱笆围成一面靠墙且中间隔有一道篱笆（）的矩形花圃，设花圃的宽为．若围成的花圃的面积为，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用是解题的关键． 由题意知，，，，可求，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，，，， 解得，， 依题意得，， 整理得，， 解得（舍去），， ∴的长为． 20. 在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了公顷． （1）求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率； （2）某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/时，每天能售出，售价每降低1元、每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）3元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为x．根据两年时间种植面积由80公顷变为公顷列出方程求解即可； （2）设售价应降低y元，则每千克的利润为元，销售量为，再由总利润为1750列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为x． 由题意，得， 解得（舍去）． 答：该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低y元． 由题意，得， 整理得 解得． ∵要尽快减少库存， ∴． 答：售价应降低3元． 21. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则称这样的方程为“伴根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，且，则方程是“伴根方程”， （1）方程______“伴根方程”；（填“是”或“不是”） （2）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“伴根方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程是“伴根方程”，证明：． 【答案】（1）是 （2）1或 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“伴根方程”的定义进行判断； （2）先利用因式分解法解一元二次方程得到，，再根据“伴根方程”的定义得到，然后解关于的方程即可． （3）先设一元二次方程的两根分别为，则，整理得，则，即，整理得，即可作答． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了因式分解法来解一元二次方程，平方差公式． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 得，， ， 方程是“伴根方程”， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，， ∵方程是常数）是“伴根方程”， ， 或． 【小问3详解】 证明：设一元二次方程的两根分别为， 则， ∴， ， ， ， ， ． 22. 某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A：篮球 B：乒乓球C：羽毛球 D：足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有　 　人； （2）请你将条形统计图（2）补充完整； （3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答） 【答案】解：（1）200． （2）补全图形，如图所示： （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 ﹣﹣﹣ （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） ﹣﹣﹣ （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） ﹣﹣﹣ （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ﹣﹣﹣ ∵所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种， ∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 【解析】 【详解】（1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数：（人）． （2）由总人数减去喜欢A，B及D的人数求出喜欢C的人数，补全统计图即可． （3）根据题意列出表格或画树状图，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率． 23. 在平面直角坐标系中，点为坐标的原点，抛物线交轴于、两点，点的坐标为，点的坐标为． （1）求、的值； （2）如图1，点为该抛物线的顶点，连接，点在的延长线上，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，过点作，，交轴于点，连接、，过点作交的延长线于点，连接，过点作于点，连接，若，求直线的解析式． 【答案】（1），． （2） （3）直线的解析式 【解析】 【分析】利用待定系数法求得二次函数解析式即可； 根据二次函数得，利用待定系数法求得直线的解析式为，则，结合坐标点得，利用三角形面积即可求得面积； 连接，利用两点之间的距离求得，根据抛物线的对称性可知，证得则是等腰直角三角形，进一步得A，P，B，D四点共圆，可得平分，延长至点R，使得，过点D作，可证明，进一步证得，可判定为的角平分线，则点D为的内心，再次证明和，利用勾股定理求得，则有，求得点，可求得直线的解析式为，有点，即可求得点，同理可求得直线的解析式为，设点，利用两点之间的距离求得a，即可求得直线的解析式． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于、两点，点的坐标为，点的坐标为 ∴ 解得： ∴，． 【小问2详解】 解：由（1）可知二次函数 ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴， 设的解析式为 则 解得： 则的解析式为， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵为顶点坐标，抛物线与x轴的交点坐标为，，连接， ∴， 则由抛物线的对称性可知：， 又， ∵ ∴， 则是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， 则， 则A，P，B，D四点共圆， 又∵， ∴为圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 延长至点R，使得，过点D作，如图， 则， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为角平分线， 则点D为的内心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 设， ∵， ∴，解得， ∵，， ∴， 在中，则，解得， 那么，，，， ∴， ∴， 则点， 设直线的解析式为，则 ，解得， 那么，直线的解析式为， 则点， 过点E作于点H，则， ∴， ∴点， 同理可求得直线的解析式为， 设点， ∵， ∴，解得， 则点， ∴同理可求得直线的解析式为， 故直线的解析式． 【点睛】本题主要考查二次函数和三角形的综合，难度较大，涉及知识点有待定系数法求解析式、两点之间的距离、二次函数的性质、等腰三角形的判定和性质、四点共圆、三角形内心的判定和性质，以及三角形的全等，解题的关键是熟悉二次函数的性质和三角形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$