精品解析：江苏省宿迁市四校2024-2025学年上学期 九年级联考12月监测 数学试题

宿迁市2024-2025学年度四校联考九年级12月测试 数 学 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 下列函数中是二次函数是（ ） A. B. C. D. 2. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线过，，三点，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在等腰三角形中，，点D是的中点，若以为直径作圆，则下列判断正确的是（　　） A. 点C一定在外 B. 点C一定在上 C. 点D一定在外 D. 点D一定在上 5. 如果两个三角形相似，且相似比为，则它们的周长比为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 弦一定是直径，直径一定是弦 B. 优弧一定比劣弧长 C. 平分弦的直径垂直于这条弦 D. 90度的圆周角所对的弦是直径 7. 如图为直径，，则为（ ） A. B. C. D. 8. 若（，），则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 9. 如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离（　　） A. 3.2 B. 0.32 C. 2.5 D. 1.6 10. 已知二次函数的图象如图所示，直线是它的对称轴，下列结论：①；②；③；④；⑤方程有两个相等的实数根．⑥，其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若一元二次方程有实数根的话，则 ___ 12. 标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为________． 13. 二次函数的开口方向是_________． 14. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_______． 15. 已知抛物线 与x轴有且只有一个交点，则____． 16. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________． 17. 如图，是的外接圆，点D是半圆弧的中点，交延长线于点E，连结，．若与的面积比为，则_______． 18. 我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是_____． 三、解答题（共10小题，共96分．解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明．） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，在中，，以边作． （1）若，求的度数． （2）若，求． 21. 如图：在△AOB中,∠AOB=90°，OA=12cm，AB=cm,点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s(厘米/秒)的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用x(秒)表示时间(0≤x≤6)，那么： （1）点Q运动多少秒时，△OPQ的面积为5cm2； （2）当x为何值时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似？ 22. 两千多年前古希腊数学家欧多克索斯发现黄金分割，如图，点P是线段上一点，若满足，即，则称点P是的黄金分割点．黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上．问题：则x满足的方程是 ． 23. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 24. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实 验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为 x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m）， 面积为S（单位：）． 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为 （1）直接写出y 与x，S 与 x 之间的函数解析式（不要求写x 的取值范围）； （2）矩形实验田的面积S 能达到吗？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由； （3）矩形实验田的面积S 能达到吗？如果不能，请说明理由；你能求出矩形实验田的面 积S 的最大值吗？若能，求出S的最大值并求出此时的x 的值． 25. 综合与实践 素材：一张边长为4的正方形纸片 步骤1：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 步骤2：再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折痕，点在边上，过点作的垂线交射线于点． （1）如图1，若点落在边上，直接写出的度数； （2）如图2， 设，， 试求y关于x的函数表达式； （3）如图3， 为的外接圆，若与边相切，求的长． 26. 综合与实践． 【实践背景】夜间在高速公路上行车时，对向来车灯光易引发眩光现象，进而导致交通事故，因此高速公路设置了防眩板遮挡对向车辆灯光． 【数学建模】如图是一条高速公路的俯视示意图，中央隔离带的中轴线垂直平分每块防眩板，防眩板宽度是米（米）．一辆汽车车灯位于点时，车灯发出的光线分别经过防眩板，的点和点，光线经过防眩板的点，，道路米，光线和行驶路线的夹角．（参考数据：，） 【解决问题】 （1）的长度是多少米？ （2）防眩板，间的距离是多少米？ 27. 为推进青少年近视的防控工作，教育部等十五部门发布了《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021—2025年）》．方案中明确强调了校园视力筛查的重要性．视力筛查使用的视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表等． 【素材1】国际通用的视力表以5米为检测距离．如图1，任选视力表中7个视力值，测得对应行的“E”形图边长，在平面直角坐标系中描点． 【素材2】图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角．视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足 【素材3】如图3，当确定时，在处用边长为的Ⅰ号“E”测得的视力与在处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 【探究活动】 （1）当检测距离为5米时， ①猜想与满足______函数关系（填：一次或二次或反比例）； ②直接写出与的函数关系式为______； ③求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． （2）当时，属于正常视力，根据函数增减性求出对应分辨视角的范围． （3）在某次视力检测中，小何同学发现视力值1.2所对应行的“E”形图边长为，设置的检测距离为3.5米．请问，设置的检测距离与该视力表是否匹配？若匹配，请说明理由；若不匹配，小何同学该如何调整自己的位置？ 28. 情景认识】 托勒密是一位古希腊的天文学家、地理学家和数学家，他的数学成就是在三角学方面，被誉为三角学的创建者，图一所示． 【问题导入】 托勒密定律：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和． 翻译：在四边形中，若、、、四点共圆，则． 【简单应用】 如图三，四边形内接于，是的直径，如果，，求的长． 【加深理解】 如图四，在中，，为的中点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点．若，，．则 ； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宿迁市2024-2025学年度四校联考九年级12月测试 数 学 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意， B、是二次函数，故该选项符合题意， C、不是二次函数，故该选项不符合题意， D、不是二次函数，故该选项不符合题意， 故选：B． 2. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，，据此直接代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， 故选：D． 3. 已知抛物线过，，三点，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象开口向上，距离对称轴越远函数值越大即可比较． 【详解】解：∵函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴距离对称轴越远函数值越大． ∵，，到y轴的距离依次为：2，0，1， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握：当二次函数的图象开口向上时，距离对称轴越远函数值越大；开口向下时，距离对称轴越远函数值越小． 4. 如图，在等腰三角形中，，点D是的中点，若以为直径作圆，则下列判断正确的是（　　） A. 点C一定在外 B. 点C一定在上 C. 点D一定在外 D. 点D一定在上 【答案】A 【解析】 【分析】以为直径的圆O，与，分别交于点E，H，连接，再根据直径所对的圆周角时直角确定圆与三角形其他两边的交点位置，即可解答． 【详解】解：如图，以为直径的圆O，与，分别交于点E，H，连接， 由图可得，，， 又∵， ∴H为中点， ∴点C一定在外， 而点D通过现有条件无法判断其位置， 故选A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系和直径所对的圆周角是直角，正确的画出图形是解决本题的关键． 5. 如果两个三角形相似，且相似比为，则它们的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质:相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形相似比为， ∴两个相似三角形的周长之比为． 故选：B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 弦一定是直径，直径一定是弦 B. 优弧一定比劣弧长 C. 平分弦的直径垂直于这条弦 D. 90度的圆周角所对的弦是直径 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本认识以及垂径定理、圆周角定理，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、弦不一定是直径，直径一定是弦，故该选项不符合题意； B、在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，故该选项不符合题意； C、平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，故该选项不符合题意； D、90度的圆周角所对的弦是直径，故该选项符合题意； 故选：D 7. 如图为直径，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据，得出，再结合为直径，所以，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵为直径， ∴， 则， 故选：C 8. 若（，），则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据（，），设，则，然后代入计算即可． 【详解】解：∵（，）， ∴设，则， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9. 如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离（　　） A. 3.2 B. 0.32 C. 2.5 D. 1.6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题． 以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时x的值的即可得出答案． 【详解】解：如图所示，以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 方法一：， 点B与点D关于对称轴对称， ； 方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点B代入得， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，， 解得（舍）或， 所以茶几到灯柱的距离为3.2米， 故选：A． 10. 已知二次函数的图象如图所示，直线是它的对称轴，下列结论：①；②；③；④；⑤方程有两个相等的实数根．⑥，其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质求出，，进而可判断①；根据根的二次函数与坐标轴的交点可判断②；根据特殊点的函数值和二次函数的对称性可判断③；对称轴为直线可判断④；根据二次函数与一元二次方程的关系可判断⑤；根据特殊点的函数值和平方差公式可判断⑥． 【详解】①抛物线的开口向下：，对称轴为直线，∴， ∵抛物线与轴交于正半轴：； ∴，故①错误； ②∵抛物线与轴有两个交点：，故②正确； ③∵对称轴为直线， ∴与时y的值相等， ∵时，， ∴时，， ∵， ∴， ∴，故③错误； ④对称轴为直线，∴，故④错误； ⑤∵顶点坐标：， ∴当且仅当时，， ∴有两个相等的实数根．故⑤正确； ⑥由图可知：， ∴， ∴；故⑥正确； 综上：正确的是②⑤⑥，共3个． 故选C． 【点睛】本题考查根据二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若一元二次方程有实数根的话，则 ___ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解当方程有两个不相等的实数根，当方程有两个相等的实数根，当方程没有实数根是解答关键． 根据当方程有两个不相等的实数根，当方程有两个相等的实数根来求解． 【详解】解：一元二次方程有实数根， ． 故答案为：． 12. 标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为________． 【答案】106 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键． 将代入解析式求值即可． 【详解】解：， 当时，， 水的体积为． 故答案为：106． 13. 二次函数的开口方向是_________． 【答案】向上 【解析】 【分析】根据函数解析式中a的值直接解答． 【详解】解：∵， ∴图象开口方向是向上， 故答案为：向上． 【点睛】此题考查了二次函数的图象及性质，正确理解二次函数的性质是解题的关键． 14. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律． 根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可； 【详解】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后可得：， 故答案为：； 15. 已知抛物线 与x轴有且只有一个交点，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，把二次函数转化为关于的一元二次方程，再根据一元二次方程根与系数的关系得出结论是本题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴有且只有一个交点， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线与直线的交点坐标是解题关键． 【详解】解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方， ∴不等式的解集是：， 故答案为： 17. 如图，是的外接圆，点D是半圆弧的中点，交延长线于点E，连结，．若与的面积比为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，解一元二次方程，过作于，交直线于，连接，先由点D是半圆弧的中点，得到，，即可证明四边形是正方形，设，，则，再证明，得，由与的面积比为，得到，解得，最后根据，得到，代入整理得，解得，最后代入，计算即可． 【详解】解：过作于，交直线于，连接，则， ∵点D是半圆弧的中点， ∴，， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵与面积比为， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 18. 我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是_____． 【答案】x1=﹣1，x2=﹣3． 【解析】 【分析】换元法即可求解,见详解. 【详解】令2x+3=t,则方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0化为t2+2t﹣3=0, 解得：t=1或-3,即2x+3=1或2x+3=-3 解得：x1=﹣1，x2=﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法,熟悉换元法的解题步骤是解题关键. 三、解答题（共10小题，共96分．解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明．） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程． （1）移项，提取公因式，利用因式分解即可得到答案； （2）利用因式分解即可得到答案． 【小问1详解】 解：移项得， ， 因式分解得， ， ∴或， 解得：，， ∴原方程的解是：，； 【小问2详解】 解： ， ∴或， 解得：， ∴原方程的解是：． 20. 如图，在中，，以为边作． （1）若，求的度数． （2）若，求． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，对于（1），根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的性质可求答案； 对于（2），由相似三角形的对应边成比例得，再根据得出答案． 【小问1详解】 在△ABC中，∵，， ∴. ∵四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴. ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图：在△AOB中,∠AOB=90°，OA=12cm，AB=cm,点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s(厘米/秒)的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用x(秒)表示时间(0≤x≤6)，那么： （1）点Q运动多少秒时，△OPQ的面积为5cm2； （2）当x为何值时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似？ 【答案】（1）1秒或5秒；（2）秒或3秒 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出BO的长，再用x表示出OQ及OP的长，根据三角形的面积公式即可得出x的值； （2）分△OPQ∽△OAB与△OPQ∽△OBA两种情况进行分类讨论 【详解】解：（1）∵∠AOB=90° ∴BO2=AB2-AO2 ∴BO=6. 在Rt△OPQ中，OQ=6-x，OP=2x， OQ·OP=5， 可求得x1=1，x2=5. （2）当△OPQ∽△OAB时,=,即=，解得x=3秒； 当△OPQ∽△OBA,= ,即=,解得x=秒． 综上所述,当x=3秒或秒时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似 【点睛】本题考查了相似三角形的判定, 一元二次方程的应用, 勾股定理，解题的关键是分情况讨论 22. 两千多年前古希腊数学家欧多克索斯发现黄金分割，如图，点P是线段上一点，若满足，即，则称点P是的黄金分割点．黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上．问题：则x满足的方程是 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，点P是的黄金分割点，且，设，则，则，即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 【详解】由题意知，点P是的黄金分割点，且，设，则， ∴， ∴， 化简得：， 故答案：． 23. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）； （2）此球一定能投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 24. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实 验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为 x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m）， 面积为S（单位：）． 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为 （1）直接写出y 与x，S 与 x 之间的函数解析式（不要求写x 的取值范围）； （2）矩形实验田的面积S 能达到吗？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由； （3）矩形实验田的面积S 能达到吗？如果不能，请说明理由；你能求出矩形实验田的面 积S 的最大值吗？若能，求出S的最大值并求出此时的x 的值． 【答案】（1） （2）矩形实验田的面积能达到； （3）矩形实验田面积S 不能达到，理由见解析，矩形实验田的面积S的最大值为，此时的x 的值为 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，根的判别式，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）当时，则，根据，得出方程无解，所以矩形实验田的面积S 不能达到；将与的函数配成顶点式，求出的最大值即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ； 【小问2详解】 解：矩形实验田的面积能达到；理由如下： ， ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，矩形实验田面积能达到． 【小问3详解】 解：当时，则， 即， ∵， ∴方程无解， ∴矩形实验田的面积S 不能达到． ， 又∵， ∴当时，S有最大值，最大值为800， ∴S的最大值为，此时的x 的值为． 25. 综合与实践 素材：一张边长为4的正方形纸片 步骤1：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 步骤2：再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折痕，点在边上，过点作的垂线交射线于点． （1）如图1，若点落在边上，直接写出的度数； （2）如图2， 设，， 试求y关于x的函数表达式； （3）如图3， 为的外接圆，若与边相切，求的长． 【答案】（1）； （2）关于的函数表达式为； （3）． 【解析】 【分析】（1）证明，推出，，得到是等边三角形，据此求解即可； （2）过点作于点，同理证明，推出，在中，由勾股定理求解即可； （3）设与边相切于点，连接并延长，交边于点，证明是的中位线，求得，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得，，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， 由对称性可知： ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点，如图， 同理四边形是矩形， 由折叠的性质知，， 同理， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，整理得， ∴关于的函数表达式为； 【小问3详解】 解：设与边相切于点，连接并延长，交边于点，如图， 设，，由（2）知， ∵与边相切于点，， ∴，即， ∴， ∵， ∴是的直径， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 在中，， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，垂径定理，切线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 26. 综合与实践． 【实践背景】夜间在高速公路上行车时，对向来车的灯光易引发眩光现象，进而导致交通事故，因此高速公路设置了防眩板遮挡对向车辆灯光． 【数学建模】如图是一条高速公路的俯视示意图，中央隔离带的中轴线垂直平分每块防眩板，防眩板宽度是米（米）．一辆汽车车灯位于点时，车灯发出的光线分别经过防眩板，的点和点，光线经过防眩板的点，，道路米，光线和行驶路线的夹角．（参考数据：，） 【解决问题】 （1）的长度是多少米？ （2）防眩板，间的距离是多少米？ 【答案】（1）的长度约是米 （2）防眩板，间的距离是米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质的应用及解分式方程，熟练掌握相关定义及判定定理是解题关键． （1）根据锐角三角函数的定义求解即可； （2）分别过点，作于点，于点，可证明，，设米，根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 解：（1）依题意，在中， ∵，，，米， ∴， ∴（米）． 答：的长度约是米． 【小问2详解】 解：如图，分别过点，作于点，于点， 依题意得（米）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（米）． 设米， ∵， ∴， ∴， ∴=， 解得x=， 经检验x=是原方程的解． ∴防眩板，间的距离是米． 27. 为推进青少年近视的防控工作，教育部等十五部门发布了《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021—2025年）》．方案中明确强调了校园视力筛查的重要性．视力筛查使用的视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表等． 【素材1】国际通用的视力表以5米为检测距离．如图1，任选视力表中7个视力值，测得对应行的“E”形图边长，在平面直角坐标系中描点． 【素材2】图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角．视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足 【素材3】如图3，当确定时，在处用边长为的Ⅰ号“E”测得的视力与在处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 【探究活动】 （1）当检测距离为5米时， ①猜想与满足______函数关系（填：一次或二次或反比例）； ②直接写出与的函数关系式为______； ③求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． （2）当时，属于正常视力，根据函数增减性求出对应的分辨视角的范围． （3）在某次视力检测中，小何同学发现视力值1.2所对应行的“E”形图边长为，设置的检测距离为3.5米．请问，设置的检测距离与该视力表是否匹配？若匹配，请说明理由；若不匹配，小何同学该如何调整自己的位置？ 【答案】（1）①反比例；② ；③ （2） （3）不匹配，检测距离应调整为 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）①根据图象上的点猜测为反比例函数关系，②求出比例系数，再验证即可，③代入函数解析式，即可得到答案； （2）根据增减性进行解答即可； （3）根据题意解得检测距离应为，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图象中点的坐标规律得到n与b成反比例关系， 设，将其中的点代入，得到， ∴， 将其余点一一代入，都符合关系式， 故答案为：①反比例；② ； ③将代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为； 【小问2详解】 ， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， 又； 【小问3详解】 由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的， 由相似三角形性质得， 由（1）知， 解得检测距离应为 答：不匹配，检测距离应调整为．（或者小何同学应当向视力表方向前进） 28. 【情景认识】 托勒密是一位古希腊的天文学家、地理学家和数学家，他的数学成就是在三角学方面，被誉为三角学的创建者，图一所示． 【问题导入】 托勒密定律：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和． 翻译：在四边形中，若、、、四点共圆，则． 【简单应用】 如图三，四边形内接于，是的直径，如果，，求的长． 【加深理解】 如图四，在中，，为的中点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点．若，，．则 ； 【答案】[简单应用]： [加深理解]： 【解析】 【分析】[简单应用]根据直径所对的圆周角是直角，，根据勾股定理求得，，进而根据托勒密定律，进行计算即可求解； [加深理解]先证明四点共圆，过点作于点，则，根据平行线分线段成比例得出，进而勾股定理求得，求得的正弦值与正切值，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而求得，最后根据托勒密定律，进行计算即可求解． 【详解】[简单应用]：解：∵是的直径，， ∴，， 又∵， ∴， 根据托勒密定律得， ∴ 解得：； [加深理解]：∵ ∴， 又∵， ∴四点共圆， ∵，，， ∴，， ∴， 如图所示，过点作于点，则， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵四点共圆，， ∴，则 ∴，， 根据托勒密定律得，， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例，直角所对的弦是直径，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$