3.3.2 抛物线的简单几何性质（第二课时）同步练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质（第二课时）（同步练习） 一、选择题 1.动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 2.过抛物线C：y2＝12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|等于(　　) A.16 B.12 C.10 D.8 3.在平面直角坐标系中，已知M(－1,2)，N(1,0)，动点P满足|·|＝||，则动点P的轨迹方程是(　　) A.y2＝4x B.x2＝4y C.y2＝－4x D.x2＝－4y 4.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且|OE|＝，则p等于(　　) A.2 B.3 C.6 D.12 5.设抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l：3x＋4y＋12＝0的距离为d2，则 d1＋d2的最小值为(　　) A.2 B. C. D.3 6.M是抛物线y2＝x上一点，N是圆(x＋1)2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＋1＝0的对称曲线C上的一点，则|MN|的最小值是(　　) A.2 B.－1 C. D.－1 7.(多选)已知点F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，直线AB的斜率为k，且k＞0，C，A两点在x轴上方，则下列结论中一定成立的是(　　) A.＋＝ B.若|AF|·|BF|＝p2，则k＝ C.·＝· D.四边形ABCD面积的最小值为16p2 8.(多选)设抛物线y2＝4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的有(　　) A.若P(1，2)，则|PF|＝2 B.若点P到焦点的距离为3，则点P的坐标为(2，2) C.若A(2，3)，则|PA|＋|PF|的最小值为 D.过焦点F做斜率为2的直线与抛物线相交于A，B两点，则|AB|＝6 二、填空题 9.若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________ 10.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)与直线l：x－2y＋6＝0相切，则p＝________ 11.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若弦AB的中点为(2,2)，则抛物线的方程为______________，直线l的方程为_______________ 12.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．现有抛物线y2＝2px(p>0)，如图，一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于x轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为__________ 三、解答题 13.已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程． 14.已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点． (1)若|AB|＝10，求实数m的值；(2)若OA⊥OB，求实数m的值． 15.已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． 参考答案及解析： 一、选择题 1.D 解析：依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1， 所以动点P到F(3,0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线. 2.B 解析：由题意得p＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋6＝12. 3.A 解析：设P(x，y)，因为M(－1,2)，N(1,0)，则＝(－1－x,2－y)，＝(1,0)， ＝(1－x，－y)， 因为|·|＝||，所以|1＋x|＝，整理得y2＝4x. 4.A 解析：由题意可知F，则直线AB为y＝x－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得相减得，y－y＝2p(x1－x2)⇒y1＋y2＝2p，因为E为线段AB的中点，所以E，即E，因为E在直线AB：y＝x－上，所以E，又因为|OE|＝，所以p＝2. 5.A 解析：由得3y2＋16y＋48＝0，Δ＝256－12×48<0，故方程无解， ∴直线3x＋4y＋12＝0与抛物线相离．又d1＋d2＝d1＋1＋d2－1，而d1＋1为P到准线x＝－1的距离，故d1＋1为P到焦点F(1,0)的距离，从而d1＋1＋d2的最小值为点F到直线3x＋4y＋12＝0的距离，即＝3，故d1＋d2的最小值为2. 6.D 解析：设圆心(－1,4)关于直线x－y＋1＝0对称的点为C(x，y)，则解得 曲线C为(x－3)2＋y2＝1，设M(a2，a)，故|MC|＝＝＝， 当a2＝时，|MC|有最小值，故|MN|的最小值为－1. 7.AC　 解析：因为直线AB的斜率为k，AB⊥CD，所以kCD＝－． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可得焦点为F，则直线AB的方程为y＝k． 由，可得k2x2－p(k2＋2)x＋k2p2＝0，则 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝， 同理可得|CD|＝＝2p(1＋k2)，则有＋＝，故A正确； 若|AF|·|BF|＝p2，则＝x1x2＋(x1＋x2)＋p2＝p2，则p2＋＝p2＋＝p2，解得k＝，故B错误；·＝x1x2＋y1y2＝p2＋k2＝p2＋k2＝p2＋k2p2－＝－p2，与k无关，同理·＝－p2，故·＝·，故C正确；因为AB⊥CD，所以四边形ABCD的面积S＝|AB|·|CD|＝··2p(1＋k2)＝＝2p2≥8p2，当且仅当k2＝，即k＝1时，等号成立，故D错误．故选AC． 8.AC 解析：由抛物线y2＝4x可得其焦点坐标F(1，0)，若P(1，2)，则|PF|＝2，故A正确；若P点到焦点的距离为3，则设点P的坐标为P(x，y)，即P，令|PF|＝＝3，解得y＝±2，则x＝2，故点P的坐标为(2，±2)，故B错误；由点A的坐标可知点A在抛物线上方，所以|PA|＋|PF|的最小值即为|AF|，|AF|＝＝，故C正确；由题意可得抛物线焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，则直线l的方程为y＝2x－2，代入y2＝4x并化简得x2－3x＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，x1x2＝1，所以|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝5，故D错误．故选AC． 二、填空题 9.答案：(4,2) 解析：由得x2－8x＋4＝0，Δ>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，故线段AB的中点坐标为(4,2)． 10.答案：3 解析：联立方程组整理得y2－4py＋12p＝0.因为C与l相切，所以Δ＝16p2－48p＝0，解得p＝3或p＝0(舍去)． 11.答案：y2＝4x，x－y＝0 解析：由题意知抛物线的方程为y2＝4x，设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有且x1≠x2，两式相减得y－y＝4(x1－x2)，因为AB的中点为(2,2)，所以y1＋y2＝4，所以＝＝1，所以直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0. 12.答案：y2＝3x 解析：由抛物线的光学性质可得，PQ必过抛物线的焦点F.当直线PQ的斜率不存在时，易得|PQ|＝2p；当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y＝k，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立得k2＝2px，整理得4k2x2－(4k2p＋8p)x＋k2p2＝0， 所以x1＋x2＝p＋，x1x2＝.所以|PQ|＝x1＋x2＋p＝2p>2p. 综上，当直线PQ与x轴垂直时，弦长最短， 又因为两平行光线间的最小距离为3，故2p＝3，所以抛物线的方程为y2＝3x. 三、解答题 13.解：由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠p，不满足题意． 所以直线AB的斜率存在，设为k， 则直线AB的方程为y＝k，k≠0. 由消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0. 由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2. 所以|AB|＝＝·＝2p＝p， 解得k＝±2. 所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0. 14.解：由得x2＋(2m－8)x＋m2＝0. 由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m. (1)因为|AB|＝＝·＝10， 所以m＝，经检验符合题意． (2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0， 解得m＝－8或m＝0(舍去)．所以m＝－8，经检验符合题意． 15.解：联立消去y， 得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 当k＝0时，(*)式只有一个解x＝， 此时直线l与C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴． 当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． ①当Δ>0，即k<1，且k≠0时， l与C有两个公共点，此时直线l与C相交； ②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切； ③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离． 综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点； 当k>1时，l与C没有公共点． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$