函数的单调性与奇偶性期末复习讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的单调性与奇偶性复习讲义 知识点一 函数的单调性 【基础指数框架】 1. 单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有______________，那么就说在区间上是_______________，称为的________________；如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有________________，那么就说在区间上是________________，称为的________________. ※ 对，或在上是______函数. 对，或在上是______函数. 2.单调性的证明方法 (1)作图法 ①一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的图像可直接作出. ②常见函数的变换：如平移、伸缩、对称、翻折得可由原函数得出. (2)作差法 解题步骤：取值作差变形定号结论 ①取值：设、（定义域）且. ②作差：计算或. ③变形：因式分解，配方，有理化的方法对计算或进行分解. ④定号：确定或的正负性，当不能确定时，需要分类讨论. ⑤判断：根据定义做出判断. 3.单调性的应用----求最值与值域 (1)若函数在上单调递增，则，. (2)若函数在上单调递减，则，. (3)若函数在上单调递增，在上单调递减，则，. (4)若函数在上单调递减，在上单调递增，则，. 4.单调性的应用----解不等式 (1)若是单调增函数，且，则. (2)若是单调减函数，且，则. ※ 注意：利用单调性解不等式需注意定义域问题. 5.单调性的应用----复合函数的单调性 (1)复合函数的单调性______________. (2)注意____________问题. 6.单调性的应用----分段函数的单调性 对于分段函数 (1)若函数在上递增，则在________上递增，在________上递增，且. (2)若函数在上递减，则在________上递减，在________上递减，且. 7.单调性的应用----二次函数的单调性 对于一元二次函数，且 （、为常数） (1)若，则函数在单调递______，在处取得最______值，在处取得最_____值； (2)若，则函数在单调递______，在处取得最______值，在处取得最_____值； (3)若，则函数在单调递_____，在单调递_____，在处取得最____值，若在处取得最_____值，若在处取得最_____值. 【例题分析】 考向一 单调性的定义与证明 1．（23-24高二下·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 2．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 3．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 4．（24-25高一上·甘肃嘉峪关·期中）已知函数，图象经过点，且. (1)求a，b的值； (2)判断并证明函数在区间上的单调性. 5．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知函数，其中. (1)当时，若，求函数的最小值； (2)当时，若，判断并证明函数的单调性. 考向二 单调性的应用----求最值与值域 1．（23-24高一上·山东·期中）若函数的值域为R，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 3．（23-24高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数． (1)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 5．（24-25高一上·北京·期中）已知函数，且. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最值. 6．（24-25高一上·甘肃天水·阶段练习）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)试判断函数在上的单调性，并给予证明； (3)试判断函数在的最大值和最小值. 7．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数，． (1)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给与证明； (2)求函数，的最大值和最小值． 8．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最值. 考向三 单调性的应用----解不等式 1．（2024高二上·云南·学业考试）函数是定义域为的增函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·广东佛山·开学考试）已知函数在定义域上是增函数，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川成都·期末）已知定义在上的函数满足：且都有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·河南·期中）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考向四 单调性的应用----复合函数的单调性 1．（24-25高一上·安徽·期中）已知函数，则的单调递减区间为 ． 2．（24-25高二上·浙江温州·期中）函数的单调递减区间为 . 3．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数的单调递减区间是 . 4．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 考向五 单调性的应用----分段函数的单调性 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）若函数在上是单调函数，则的取值范围是 . 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，满足任意，，，都有，则实数的取值范围为 . 3．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数（且），在上单调递减，则的取值范围是 . 4．（24-25高一上·广东·期中）已知函数是减函数，则实数的取值范围是 . 5．（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数在定义域上单调递减，则实数取值范围 . 考向六 单调性的应用----二次函数的单调性 1．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知二次函数.其中， (1)若在区间上是单调递减，求的取值范围； (2)若函数在区间的最小值为2，求的值. 2．（24-25高一上·山东德州·期中）已知是二次函数，且不等式的解集是. (1)求函数的解析式； (2)令，若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 3．（24-25高一上·广东广州·期中）已知二次函数,. (1)若，求在上的值域； (2)求在上的最小值. 4．（24-25高一上·河南·期中）已知是二次函数，且满足，. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式； (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 5．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知二次函数满足，且： (1)求的解析式； (2)若在区间上，的值域为，求的取值范围. (3)若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围． 6．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知二次函数满足：有两个实数根. (1)若，求实数的取值范围; (2)若，记在时的最小值为，求的表达式; (3)若与都是整数且，求的值. 知识点二 函数的奇偶性 【基础指数框架】 1. 奇偶性的定义 (1)一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有___________，那么函数就叫做偶函数． (2)一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有___________，那么函数就叫做奇函数． 2. 具有奇偶性的函数的图像特征 (1)若函数是偶函数，则函数的图像关于________________对称. (2)若函数是奇函数，则函数的图像关于________________对称. 3. 判断奇偶性的步骤 (1)证明函数的_____________的对称性. (2)求的解析式，与进行比较，进而下结论. 4. 利用奇偶性求解析式 已知函数为定义在上的偶(奇)函数，当时，函数，当时，求解析式. (1)设，则. (2)将代入时的解析式，得. (3)若函数为偶函数，则当时，. 若函数为奇函数，则当时，. 5. 利用奇偶性求参数 (1)若已知函数为上的偶函数，则令，解方程可求参数. 若已知函数为上的奇函数，则令，解方程可求参数. 若已知函数为上的奇函数，则令，解方程可求参数.（核心就是在定义域内进行赋值） (2)常见的两个函数：①若一次函数为奇函数，则___________________. ②若二次函数为偶函数，则___________________. 6.构造奇偶性求值 若函数，其中函数为奇函数.已知，求. (1)因为，所以 (2)因为函数为奇函数，，所以. (3). 【例题分析】 考向一 奇偶性的定义与证明 1．（24-25高一上·新疆喀什·期中·多选）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建莆田·期中·多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建龙岩·期中·多选）下列函数中，是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数，则下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东东莞·期中）函数的大致图象如图所示，则可能是（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   7．（24-25高一上·山东威海·期中）已知函数，则下列函数的图象关于原点对称的是（   ） A． B． C． D． 考向二 利用奇偶性求解析式 1．（24-25高一上·天津滨海新·期中）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 3．（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知为偶函数，若当时， ，则的解析式是 . 4．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， ． 考向三 利用奇偶性求参数 1．（24-25高一上·山东威海·期中）已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南常德·期中）已知，是偶函数，则实数的值为 ． 3．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）若是奇函数，则 . 4．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）已知是奇函数，则实数a的值为 ． 5．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数为奇函数.则 . 知识点三 函数的单调性与奇偶性综合 【基础指数框架】 1.单调性与奇偶性的关系 (1)若为奇函数，则在关于原点对称的两个区间上的单调性________. (2)若为偶函数，则在关于原点对称的两个区间上的单调性________. 2.利用单调性和奇偶性解不等式 (1)若函数在定义域上单调递增，且，则. (2)若函数在定义域上单调递减，且，则. (3)若函数为偶函数，在上单调递减，且，则________________________. (4)若函数为奇函数，在上单调递减，且，则_____________________. (5)注意讨论、. 3.利用单调性和奇偶性画图 (1)取值，描点，先作轴右侧的图像. (2)通过奇偶性的性质，对称得到轴左侧的图像. 【例题分析】 考向一 由奇偶性与单调性确定函数值正负 1．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，在上单调递增，，那么的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，当时单调递增，且，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设是定义在上的偶函数，且对任意的，有，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为 . 6．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是 . 7．（24-25高一上·湖南益阳·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，且，都有成立，则不等式的解集为 考向二 由奇偶性与单调性解不等式 1．（24-25高二上·浙江杭州·期中）设偶函数在上单调递增，则满足的的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东淄博·期中）已知偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，则的解集为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东惠州·期中）已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知奇函数的定义域为，满足对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·广东茂名·期中）已知定义域为的偶函数满足：对任意，，都有成立，则满足的取值范围是 ． 9．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，当，且时，都有，若，则不等式的解集为 . 10．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，当时总有，则满足的x的范围是 . 11．（24-25高一上·河北石家庄·期中）已知定义在上的函数在上单调递增，且函数为奇函数，则的解集为 ． 12．（24-25高一上·广东汕头·期中）设是定义在上的奇函数，对任意的；，满足：，且，则不等式的解集为 ． 知识点四 抽象函数的单调性与奇偶性 【基础指数框架】 1.常见的抽象函数的关系 (1) (2) (3) (4) 2.抽象函数求值 通过给所给关系式的自变量赋值，可以求出一些特殊的函数值 3.抽象函数的奇偶性（以为例） 函数的奇偶性是探究与的关系，而，所以需要探究、与的关系. (1)令，求出. (2)令，代入得，即，所以函数为______函数. 4.抽象函数的单调性（以为例） 函数的单调性核心是在已知两个自变量大小的关系下探究函数值的关系. (1)记，且、定义域 (2)令，联立解得 (3)将上式代入，得______________________，探究的正负得函数的单调性. 【例题分析】 1．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）是定义在R上的函数，对都有，且当时，，且. (1)求的值； (2)求在上的最值． 2．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 3．（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 4．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； 5．（24-25高一上·山西·期中）已知定义在上的函数满足：. (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，，判断并证明的单调性. 6．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)当，证明在上单调递增，并求不等式的解集. 7．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. (1)证明：在上是增函数； (2)证明：是偶函数； (3)如果，解不等式. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数的单调性与奇偶性复习讲义 知识点一 函数的单调性 【基础指数框架】 1. 单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有______________，那么就说在区间上是_______________，称为的________________；如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有________________，那么就说在区间上是________________，称为的________________. ※ 对，或在上是______函数. 对，或在上是______函数. 2.单调性的证明方法 (1)作图法 ①一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的图像可直接作出. ②常见函数的变换：如平移、伸缩、对称、翻折得可由原函数得出. (2)作差法 解题步骤：取值作差变形定号结论 ①取值：设、（定义域）且. ②作差：计算或. ③变形：因式分解，配方，有理化的方法对计算或进行分解. ④定号：确定或的正负性，当不能确定时，需要分类讨论. ⑤判断：根据定义做出判断. 3.单调性的应用----求最值与值域 (1)若函数在上单调递增，则，. (2)若函数在上单调递减，则，. (3)若函数在上单调递增，在上单调递减，则，. (4)若函数在上单调递减，在上单调递增，则，. 4.单调性的应用----解不等式 (1)若是单调增函数，且，则. (2)若是单调减函数，且，则. ※ 注意：利用单调性解不等式需注意定义域问题. 5.单调性的应用----复合函数的单调性 (1)复合函数的单调性______________. (2)注意____________问题. 6.单调性的应用----分段函数的单调性 对于分段函数 (1)若函数在上递增，则在________上递增，在________上递增，且. (2)若函数在上递减，则在________上递减，在________上递减，且. 7.单调性的应用----二次函数的单调性 对于一元二次函数，且 （、为常数） (1)若，则函数在单调递______，在处取得最______值，在处取得最_____值； (2)若，则函数在单调递______，在处取得最______值，在处取得最_____值； (3)若，则函数在单调递_____，在单调递_____，在处取得最____值，若在处取得最_____值，若在处取得最_____值. 【例题分析】 考向一 单调性的定义与证明 1．（23-24高二下·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【详解】因为， 作出的图象，如图所示， 由图象可知：函数的单调递增区间是和. 故选：D. 2．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 3．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【详解】因为函数的对称轴为直线， 由可得或，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和. 故选：C. 4．（24-25高一上·甘肃嘉峪关·期中）已知函数，图象经过点，且. (1)求a，b的值； (2)判断并证明函数在区间上的单调性. 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）由（1）知，，函数在上单调递增. 任意，则， 由，得，即，因此， 所以函数在上单调递增. 5．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知函数，其中. (1)当时，若，求函数的最小值； (2)当时，若，判断并证明函数的单调性. 【答案】(1) (2)单调递减；证明见详解. 【详解】（1）因为，则， ∵，∴， 当且仅当，即时，等号成立. 故函数的最小值为. （2）因为，则 ，且，则 由，得，， 于是，即. 所以，函数在区间上单调递减. 考向二 单调性的应用----求最值与值域 1．（23-24高一上·山东·期中）若函数的值域为R，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 据题意，函数， 令，整理得，解得或， 即函数和交点的横坐标为和0， 在同一坐标系内做出函数和的图像，如图所示， 要使函数的值域为R，则， 所以实数m的取值范围为． 故选：C． 2．（23-24高一上·北京·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，函数在上单调递减，在上的值域为， 因为函数在R上的值域为，则函数在上的值域包含， 显然，否则当时，，不符合题意， 于是函数在上单调递减，其值域为，因此，则， 所以实数的取值范围为. 故选：D 3．（23-24高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】画出函数的图象，如下图所示： 易知，； 若时的值域是，由图可知. 故选：C 4．（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数． (1)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析 (2) 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ，即， 所以函数在上单调递减． （2）由对任意恒成立得， 由（1）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， ，所求实数的取值范围为． 5．（24-25高一上·北京·期中）已知函数，且. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最值. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3)最小值为，最大值为 【详解】（1）因为，且，所以，所以. （2）函数在上单调递增.证明如下： 由（1）可得，， 任取，不妨设， 则 因为且， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）由（2）知，函数在上单调递增， 则当时，有最小值； 当时，有最大值. 6．（24-25高一上·甘肃天水·阶段练习）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)试判断函数在上的单调性，并给予证明； (3)试判断函数在的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 (3)最大值是，最小值是 【详解】（1）要使函数有意义，则，解得， 所以定义域为. （2）由题，， 判断函数在上是增函数，证明如下： ， ， 因为， 所以， 所以，所以， 所以函数在上是增函数. （3）由（2）知，函数在上单调递增， 所以 7．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数，． (1)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给与证明； (2)求函数，的最大值和最小值． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2)， 【详解】（1）在上单调递增，证明如下： 设任意的且，则 ， 因为且，所以，，， 所以，所以，即， 所以在上单调递增； （2）由（1）可知在上单调递增， 所以，. 8．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最值. 【答案】(1)单调递减，证明见解析. (2)最大值、最小值分别为. 【详解】（1）函数在上单调递减， ，， 由，得，则，即， 所以函数在上的单调递减. （2）由（1）知函数在上的单调递减，， 所以函数在区间上的最大值、最小值分别为. 考向三 单调性的应用----解不等式 1．（2024高二上·云南·学业考试）函数是定义域为的增函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是定义域为的增函数， 所以由，得， 解得，即的取值范围为. 故选：C. 2．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，解不等式得. 故选：D 3．（23-24高三下·广东佛山·开学考试）已知函数在定义域上是增函数，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在定义域上是增函数，且， 则有，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 4．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数满足， 所以函数在上单调递增， 根据题设不等式关系，有， 即，解得或. 故选：A 5．（23-24高一上·四川成都·期末）已知定义在上的函数满足：且都有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得在上单调递减， 若可得. 故选：D. 6．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有，设函数， 则函数在上单调递减，且. 当时，不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 7．（22-23高一上·河南·期中）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，且，则将两边同除以，即得：， 令，则可知函数在上为增函数. 由两边同除以得：，因，则得：，故得：. 故选：D. 8．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 因为对，且，都有，即成立， 不妨设，则，故，则， 即，所以在上单调递增，又因为，所以， 故可化为，所以由的单调性可得， 即不等式的解集为. 故选：A. 考向四 单调性的应用----复合函数的单调性 1．（24-25高一上·安徽·期中）已知函数，则的单调递减区间为 ． 【答案】 【详解】令，解得或， 又在上单调递减，在上单调递增， 且在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减． 故答案为：. 2．（24-25高二上·浙江温州·期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【详解】令，则或， 又在上递减，在上递增， 而在定义域上递增，所以的递减区间为. 故答案为： 3．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数的单调递减区间是 . 【答案】（开闭区间均可） 【详解】由得，又在上递减，在上是增函数， 所以的减区间是， 故答案为：（写成开区间也正确）． 4．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【详解】由题意可知，解得，即函数定义域为， 易知函数由复合而成， 且在单调递减，在单调递增，在上单调递减； 利用复合函数单调性可得的单调增区间是 故答案为：. 考向五 单调性的应用----分段函数的单调性 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）若函数在上是单调函数，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由函数在为单调函数， 当时，函数， 此时函数在区间上单调递增， 易知函数在为单调递增函数， 则在上单调递增，在上单调递增，， 即. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，满足任意，，，都有，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】依题意，满足任意，，，都有， 所以在上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 3．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数（且），在上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数（且），在上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·广东·期中）已知函数是减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数是上的减函数， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数在定义域上单调递减，则实数取值范围 . 【答案】 【详解】由题意，解得． 故答案为：． 考向六 单调性的应用----二次函数的单调性 1．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知二次函数.其中， (1)若在区间上是单调递减，求的取值范围； (2)若函数在区间的最小值为2，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）二次函数图象为开口向上的抛物线，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又在区间上单调递减，则，解得， 所以实数的取值范围为； （2）因，二次函数的图象对称轴为， 当即时，函数在区间上单调递减，，得，不符合题意； 当即时，函数在区间上单减，在上单增， ，得，不符合题意； 当即时，函数在区间上单调递增， ，解得，符合题意. 综上，， 所以当函数在区间上的最小值为2时，实数. 2．（24-25高一上·山东德州·期中）已知是二次函数，且不等式的解集是. (1)求函数的解析式； (2)令，若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意，设，， 因为的解集是，所以，且和是方程的解， 又，所以，解得，，， 所以. （2）， 所以二次函数开口向上，对称轴方程为：， ①当，即时，函数在区间上单调递增， 所以，由，解得； ②当，即时， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，由， 解得；不满足，故舍去； ③当，即时，函数在区间上单调递减， 所以，由，解得； 综上所述，或. 3．（24-25高一上·广东广州·期中）已知二次函数,. (1)若，求在上的值域； (2)求在上的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，. 对称轴在区间内.当时，取得最小值. 当时，.当时，. 所以在上的最大值为，最小值为，值域为. （2）函数的对称轴为. 当时，函数在上单调递增. 所以在上的最小值. 当时，在处取得最小值. 所以. 当时，函数在上单调递减. 所以. 在上的最小值. 4．（24-25高一上·河南·期中）已知是二次函数，且满足，. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式； (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设， 由，可得. 由，得， 所以解得 则. （2）由题意得， 则图象的对称轴为直线. 若，则在上单调递增，当时，的最小值为； 若，则当时，的最小值为； 若，则在上单调递减，当时，的最小值为. 故 （3）在（2）的条件下，对任意的，成立， 则. 因为，所以在上单调递减， 因为，，所以. 又存在，使得成立， 所以只要，即. 易知， 所以当时，， 则， 化简得，解得或， 即的取值范围为. 5．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知二次函数满足，且： (1)求的解析式； (2)若在区间上，的值域为，求的取值范围. (3)若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设二次函数，，由题意知：，整理得：，即：，解得：， ∴； （2）因为， 所以其图象的对称轴为直线，当时，， 因为当时，，由二次函数图象可知 ，解得， 所以的取值范围是； （3）由（1）知，的图象开口向上， 时，，解得：或， ∴当，，图象在轴下方， 当，，图象在轴上方， 对于，当时，，当时， 图象在图象的上方，不合题意，舍去； 当时，，开口向上，当时， 图象在图象的上方，不合题意，舍去； 当时，，开口向下，函数的图象恒在图象的上方， 即恒成立， 即恒成立， 即恒成立，， 即有：，即：. 综上，的取值范围是. 6．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知二次函数满足：有两个实数根. (1)若，求实数的取值范围; (2)若，记在时的最小值为，求的表达式; (3)若与都是整数且，求的值. 【答案】(1)或；(2)； (3)时，，，时，，． 【详解】（1）由已知有两个不等实根，所以，解得或； （2）由，可知， 又，故，显然， 所以， 当时，的图象是开口向上的抛物线， 当时，，， 当时，， 当时，的图象是开口向下的抛物线， 时，，， 时，，， 所以； （3）由题意，，由得， 又方程的解都是整数，则或2，，即时，，， ，即时，，． 综上，时，，，时，，． 知识点二 函数的奇偶性 【基础指数框架】 1. 奇偶性的定义 (1)一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有___________，那么函数就叫做偶函数． (2)一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有___________，那么函数就叫做奇函数． 2. 具有奇偶性的函数的图像特征 (1)若函数是偶函数，则函数的图像关于________________对称. (2)若函数是奇函数，则函数的图像关于________________对称. 3. 判断奇偶性的步骤 (1)证明函数的_____________的对称性. (2)求的解析式，与进行比较，进而下结论. 4. 利用奇偶性求解析式 已知函数为定义在上的偶(奇)函数，当时，函数，当时，求解析式. (1)设，则. (2)将代入时的解析式，得. (3)若函数为偶函数，则当时，. 若函数为奇函数，则当时，. 5. 利用奇偶性求参数 (1)若已知函数为上的偶函数，则令，解方程可求参数. 若已知函数为上的奇函数，则令，解方程可求参数. 若已知函数为上的奇函数，则令，解方程可求参数.（核心就是在定义域内进行赋值） (2)常见的两个函数：①若一次函数为奇函数，则___________________. ②若二次函数为偶函数，则___________________. 6.构造奇偶性求值 若函数，其中函数为奇函数.已知，求. (1)因为，所以 (2)因为函数为奇函数，，所以. (3). 【例题分析】 考向一 奇偶性的定义与证明 1．（24-25高一上·新疆喀什·期中·多选）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，，函数是偶函数，由二次函数的性质可知，其在上为单调递增函数，故A正确； 对于B，，函数是偶函数，由函数图象可得其在为增函数，故B正确； 对于C，是奇函数，故C错误； 对于D，当时，；当时，，所以在上不为增函数，故D错误； 故选：AB. 2．（24-25高一上·福建莆田·期中·多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，函数是偶函数，在上单调递增，A选项正确； 对于B，函数是偶函数，在上解析式为，单调递增，B选项正确； 对于C，函数是奇函数，C选项错误； 对于D，函数是偶函数，在上单调递减，D选项错误； 故选：AB. 3．（24-25高一上·福建龙岩·期中·多选）下列函数中，是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】是奇函数，是奇函数，是偶函数，不是奇函数，故AB正确，C错误； 令，其定义域为，∵， ∴是奇函数，即是奇函数，故D正确. 故选：ABD. 4．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数，则下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，， 定义域为，在上单调递减； 对于B，， 定义域为，在上单调递减； 对于C，， 定义域为，在上单调递增， 设，则， 所以函数不为奇函数； 对于D，， 定义域为，在上单调递增， 设，则， 所以函数为奇函数，符合题意. 故选：D. 5．（24-25高一上·广东东莞·期中）函数的大致图象如图所示，则可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图象可知，为奇函数且定义域为， 对于A：定义域为关于原点对称，，是偶函数，不符合； 对于B：定义域为，不符合； 对于C：定义域为关于原点对称，，是奇函数，符合； 对于D：定义域为，不符合. 故选：C 6．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】函数的定义域为R，， 即函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除B； 当时，，当且仅当时取等号，排除CD，A符合题意. 故选：A 7．（24-25高一上·山东威海·期中）已知函数，则下列函数的图象关于原点对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以当函数图象向左平移2个单位，再向下平移一个单位， 可得函数的图象， 由反比例函数图象知，关于原点对称. 故选：C 考向二 利用奇偶性求解析式 1．（24-25高一上·天津滨海新·期中）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【详解】令，则，故， 又，即时. 故答案为： 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【详解】由题可知 当时， 由题可知， 即 得 故答案为： 3．（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知为偶函数，若当时， ，则的解析式是 . 【答案】 【详解】若，则， 则当时，， 又为偶函数，则， 即当时，， 因此可得. 故答案为：. 4．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【详解】解：当时，可得， 又因为当时，， 所以， 又因为函数是偶函数，即， 所以， 所以当时，. 故答案为：. 考向三 利用奇偶性求参数 1．（24-25高一上·山东威海·期中）已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 则二次函数图象的对称轴为直线， 因为函数为偶函数，则，解得. 故选：D. 2．（24-25高一上·湖南常德·期中）已知，是偶函数，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】因为是偶函数，则其定义域关于原点对称， 所以，解得， 故答案为：. 3．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）若是奇函数，则 . 【答案】1 【详解】定义域为，又是奇函数，所以，解得； 当时，，，故是奇函数. 故答案为：1. 4．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）已知是奇函数，则实数a的值为 ． 【答案】0 【详解】由是奇函数，得， 则，则. 故答案为：0. 5．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数为奇函数.则 . 【答案】1 【详解】因为函数为奇函数，定义域为R，所以，即 此时， ， 即为奇函数，符合题意. 故答案为：1. 知识点三 函数的单调性与奇偶性综合 【基础指数框架】 1.单调性与奇偶性的关系 (1)若为奇函数，则在关于原点对称的两个区间上的单调性________. (2)若为偶函数，则在关于原点对称的两个区间上的单调性________. 2.利用单调性和奇偶性解不等式 (1)若函数在定义域上单调递增，且，则. (2)若函数在定义域上单调递减，且，则. (3)若函数为偶函数，在上单调递减，且，则________________________. (4)若函数为奇函数，在上单调递减，且，则_____________________. (5)注意讨论、. 3.利用单调性和奇偶性画图 (1)取值，描点，先作轴右侧的图像. (2)通过奇偶性的性质，对称得到轴左侧的图像. 【例题分析】 考向一 由奇偶性与单调性确定函数值正负 1．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，在上单调递增，，那么的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递增且， 所以在上单调递减，且，解，不合题意； 所以当或时，；当时，， 因为，所以或， 所以或，解得或， 则不等式的解集是． 故选：C． 2．（24-25高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，当时单调递增，且，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由是定义在上的偶函数，当时单调递增， 所以当时单调递减，由，可得， 由，可得或， 所以或， 故选：D 3．（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，即， 当时，， 由图可知，时，时， 当时，， 根据奇函数的对称性，有时，时， 所以，不等式的解集为. 故选：D 4．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设是定义在上的偶函数，且对任意的，有，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，对任意的，有， 所以函数在上单调递增，又是定义在上的偶函数， 所以函数在上单调递减， 由，得，则， 因为是定义在上的偶函数， 所以， 当时，需满足，此时函数单调递减，且，解得； 当时，需满足，此时函数单调递增，且，解得； 综上所述，解集为， 故选：D. 5．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为 . 【答案】 【详解】因为在上是增函数，且， 可知：当时，；当时，； 又因为是奇函数，可知： 当时，； 当时，； 当时，； 对于不等式，等价于或， 可得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是 . 【答案】 【详解】因为偶函数的定义域为，且在上是增函数， 且，则，函数在上为减函数， 当时，则，则，可得，解得； 当时，则，且， 若时，则，此时原不等式无解； 若，即时，由，可得，解得； 也满足. 综上所述，原不等式的解集为. 故答案为：. 7．（24-25高一上·湖南益阳·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，且，都有成立，则不等式的解集为 【答案】 【详解】令函数，， 由是奇函数，得，函数为偶函数， 对，且，都有成立， 则对，且，成立， 因此函数在上单调递减，则在上单调递增， 由，得， 不等式，则或， 解得或，所以不等式的解集为. 故答案为： 考向二 由奇偶性与单调性解不等式 1．（24-25高二上·浙江杭州·期中）设偶函数在上单调递增，则满足的的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于是偶函数，且在上递增，故原不等式等价于. 此即，解得. 故选：C. 2．（24-25高一上·山东淄博·期中）已知偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】偶函数在上单调递增，且，由， 得，则，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以，所以函数为偶函数； 设，则， 因为，所以，，，所以，即 所以函数在上单调递增. 由函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，在上单调递减. 所以且. 故选：D 4．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，则的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 当时，则，则， 当时，则，则， 所以为偶函数， 根据二次函数的性质可知，当时，在上单调递减， 所以，即，解得或， 故不等式解集为． 故选：C． 5．（24-25高一上·广东惠州·期中）已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，从而是奇函数. 而对不相等的有，故，所以在上递增. 将二者结合，可知在上单调递增，而原不等式等价于，即. 故原不等式等价于，即. 故选：C. 6．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，可知，， 即， 设函数，函数在上是增函数， 且是奇函数，所以，是上的奇函数， 因为，所以， ，即，即， 则. 故选：A 7．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知奇函数的定义域为，满足对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 所以为偶函数. 对于，且，有， 设，则，得，即， 所以在上单调递增，则在上单调递减， 且，. 当时，由，得，解得； 当时，由，得，解得. 综上，不等式的解集为. 故选：B 8．（24-25高一上·广东茂名·期中）已知定义域为的偶函数满足：对任意，，都有成立，则满足的取值范围是 ． 【答案】 【详解】依题意，是偶函数， 对任意，，都有成立， 所以在上单调递增，则在上单调递减， 所以由可得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 9．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，当，且时，都有，若，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】因为当，且，都有， 所以，令，则在上单调递增， 又是定义在R上的奇函数，的定义域为， 且，所以是偶函数，， 所以在上单调递减，对于，显然不满足不等式， 因为，所以，则， 当时，得，即，所以，则； 当时，，即，所以，则； 综上，或，即. 故答案为： 10．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，当时总有，则满足的x的范围是 . 【答案】 【详解】由对任意，当时总有，得函数在上单调递增， 而函数是定义域为R的偶函数，则函数在上单调递减， 不等式，则， 即，解得， 所以所求x的范围是. 故答案为： 11．（24-25高一上·河北石家庄·期中）已知定义在上的函数在上单调递增，且函数为奇函数，则的解集为 ． 【答案】 【详解】函数为奇函数，又在上单调递增， 在单调递增， 从而可化为：， ，原不等式的解集为. 故答案为：. 12．（24-25高一上·广东汕头·期中）设是定义在上的奇函数，对任意的；，满足：，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】令，由题意在上单调递增， 又，所以为偶函数， 所以在上单调递减， 当时，由，可得，即， ， 当时，由，可得，即， 解得， 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 知识点四 抽象函数的单调性与奇偶性 【基础指数框架】 1.常见的抽象函数的关系 (1) (2) (3) (4) 2.抽象函数求值 通过给所给关系式的自变量赋值，可以求出一些特殊的函数值 3.抽象函数的奇偶性（以为例） 函数的奇偶性是探究与的关系，而，所以需要探究、与的关系. (1)令，求出. (2)令，代入得，即，所以函数为______函数. 4.抽象函数的单调性（以为例） 函数的单调性核心是在已知两个自变量大小的关系下探究函数值的关系. (1)记，且、定义域 (2)令，联立解得 (3)将上式代入，得______________________，探究的正负得函数的单调性. 【例题分析】 1．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）是定义在R上的函数，对都有，且当时，，且. (1)求的值； (2)求在上的最值． 【答案】(1)， (2)，. 【详解】（1）令，则，∴， ∵，∴. （2）令，则，∴， ∴，∴是奇函数， ∴，∴， 任取，， ∵，∴，∴，即， ∴在上为减函数， ∵在上为减函数，∴，. 2．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）令，则，， 令，，则， ，，. （2）函数的定义域为，则定义域关于原点对称， 对任意，都有， 由（1）知，. 令，则，即， 是奇函数. （3）任取，且，所以 ，则由题意得， 所以， ， ，在上为减函数. 因为， ，解得， 的解集为. 3．（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1)，函数为偶函数，理由见解析； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3)或 【详解】（1）由题意知，函数满足：， 令，则，解得， 令，则，解得， 函数为偶函数，理由如下： 由题意，函数的定义域为， 令，则，即， 所以函数为偶函数. （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，令，， 则，即， 因为，则，由题意知， 所以，即， 所以函数在上单调递减. （3）由，得； 令，则，所以， 因为函数为偶函数，所以， 当时，因为函数在上单调递减， 所以由，得，即，解得； 因为函数为偶函数，且函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 当时，由，得， 所以，解得； 综上所述，不等式的解集为或. 4．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 不妨令，得， 解得或， 又不存在，使得，故， 令，得， 故，即， 因此为奇函数； （2）时，， 则， 当且仅当，等号成立， 又不存在，使得，则， 于是时，， 又为奇函数，则时，， 于是对， 任取，则， 而， 又，则， 于是，故， 因此在上单调递增； 5．（24-25高一上·山西·期中）已知定义在上的函数满足：. (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，，判断并证明的单调性. 【答案】(1)是奇函数，证明见解析 (2) (3)在上单调递增，证明见解析 【详解】（1）是奇函数，证明如下： 因为， 令，得到， 令，得到，即， 所以是奇函数； （2）令，得到， 由（1）知是奇函数，所以； （3）在上单调递增，证明如下： 在上任取，令， 则 ， 又因为，，而，所以， 即，得到，所以在上单调递增. 6．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)当，证明在上单调递增，并求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析，不等式解集为或 【详解】（1）令得，故， 令得，故. （2）令得. ∵是定义在非零实数集上的函数， ∴为偶函数. （3）设任意的， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴函数在上单调递增. ∵在上单调递增，且为偶函数， ∴在上是减函数， ∵， ∴， ∴且，解得且， ∴不等式的解集为或. 7．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. (1)证明：在上是增函数； (2)证明：是偶函数； (3)如果，解不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设，则， 由于，所以，所以， 所以，所以， 所以在上是增函数； （2）因对定义域内的任意，有， 令，则有， 又令，得， 再令，得，从而， 于是有，所以是偶函数． （3）由于，所以， 于是不等式可化为， 由（2）可知函数是偶函数，则不等式可化为， 又由（1）可知在上是增函数，所以可得， 解得，所以不等式的解集为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$