16.1 二次根式 课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

16.1 二根次式 第十六章 二次根式 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 二次根式的概念 学习目标 1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点） 复习引入 问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根? 问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示. 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若面积为S m2，则边长为_____m． (2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m． 图 图 （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____． 问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示2，S，3， 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． 讲授新课 二次根式的概念及有意义的条件 一 ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. 问题2 这些式子有什么共同特征？ 归纳总结 注意：a 可以是数，也可以是整式或分式. 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号. 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 典例精析 例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. ∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母，应同时考虑分母不为零. 归纳 解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. 【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论. 归纳 ∴无论x为何实数， 在实数范围内都无意义. 解：(1)∵无论x为何实数， ∴当x=1时， 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数, 归纳总结 (1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 有意义的条件： (3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：A＞0； (4)二次根式与分式的和如 有意义的条件： A≥0且B≠0. 1.下列各式: 一定是二次根式的个数有 （ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 B 2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_______; (2)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________. x ≥1 x ≥0且x≠2 练一练 前者x为全体实数；后者x为正数和0. 二次根式的双重非负性 二 问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0； 当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0. 这就是说，当a≥0时， ≥0. 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 归纳总结 （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； 解： 由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4. 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 归纳 典例精析 例3 a-b+c=2-3+4=3. 例4 已知 ,求3x+2y的算术平方根. ∴3x+2y的算术平方根为5． 解：由题意得 ∴x=3, ∴y=8， ∴3x+2y=25. ∵25的算术平方根为5， 【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长． 解：由题意得 ∴a=3，b=4. 若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0. 归纳 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11． 练一练 已知：|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根． 解：由题意得|3x-y-1|+ =0 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3. 当堂练习 A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） C A -1 0 2.式子 有意义的条件是 （ ） 3.当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值为______． 4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有 意义？ 解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0， 解得m≥2且m≠-1，m≠2，∴m＞2． 解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0. ∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9. 5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围． (2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围． 6.若x，y是实数，且 ,求 的值. 解：根据题意得， 能力提升： 7.先阅读，后回答问题： 当x为何值时， 有意义？ 解：由题意得x(x-1)≥0 由乘法法则得 解得x≥1 或x≤0 即当x≥1 或x≤0时， 有意义. 体会解题思想后，试着解答： 当x为何值时， 有意义？ 解：由题意得 则 课堂小结 二次根式 定义 带有二次根号 在有意义条件下求字母的取值范围 抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集. 被开方数为非负数 二次根式的双重非负性 二次根式 中,a≥0且 ≥0 课后作业 习题16.1 第1.3.6题（必做题）； 第7题（选做题）。 $$