2025年广东中考数学一轮复习精讲提升- 分式方程及其应用课件

分式方程及其应用 2025年广东中考数学一轮复习精讲提升-第二章 方程与不等式 新型智慧型图书推广者 中考 ·数学 上页 栏目导航 下页 上页 栏目导航 下页 栏 目 导 航 1 2 依标据本·明目标 立足教材·夯基础 3 精讲巧练·过考点 课堂达标·练好题 4 新型智慧型图书推广者 中考 ·数学 上页 栏目导航 下页 上页 栏目导航 下页 新型智慧型图书推广者 中考 ·数学 上页 栏目导航 下页 上页 栏目导航 下页 未知数 最简公分母 新型智慧型图书推广者 中考 ·数学 上页 栏目导航 下页 上页 栏目导航 下页 增根 分母 整式 新型智慧型图书推广者 中考 ·数学 上页 栏目导航 下页 上页 栏目导航 下页 新型智慧型图书推广者 中考 ·数学 上页 栏目导航 下页 上页 栏目导航 下页 x(x－2) x＝－4 x＝1 新型智慧型图书推广者 中考 ·数学 上页 栏目导航 下页 上页 栏目导航 下页 解：方程两边乘(x－2)，得x－3＋(x－2)＝－3，解得x＝1. 检验：当x＝1时，x－2＝－1≠0. 所以，原分式方程的解是x＝1. 新型智慧型图书推广者 中考 ·数学 上页 栏目导航 下页 上页 栏目导航 下页 新型智慧型图书推广者 中考 ·数学 上页 栏目导航 下页 上页 栏目导航 下页 新型智慧型图书推广者 中考 ·数学 上页 栏目导航 下页 上页 栏目导航 下页 新型智慧型图书推广者 中考 ·数学 上页 栏目导航 下页 上页 栏目导航 下页 新型智慧型图书推广者 中考 ·数学 上页 栏目导航 下页 上页 栏目导航 下页 x＝－2 新型智慧型图书推广者 中考 ·数学 上页 栏目导航 下页 上页 栏目导航 下页 A 新型智慧型图书推广者 中考 ·数学 上页 栏目导航 下页 上页 栏目导航 下页 新型智慧型图书推广者 中考 ·数学 上页 栏目导航 下页 上页 栏目导航 下页 新型智慧型图书推广者 中考 ·数学 上页 栏目导航 下页 上页 栏目导航 下页 新型智慧型图书推广者 中考 ·数学 上页 栏目导航 下页 上页 栏目导航 下页 C 新型智慧型图书推广者 中考 ·数学 上页 栏目导航 下页 上页 栏目导航 下页 1．会解可以化为一元一次方程的分式方程，并能注意验根． 2．能根据具体问题中的数量关系列出分式方程，并且能根据具体问题的 实际意义，检验结果是否合理． 知识点1　分式方程及其解法 1．定义：分母中含有 的方程叫作分式方程． 2．解分式方程的步骤 (1)去分母，方程两边同乘最简公分母(把分式方程转化为整式方程). (2)解这个整式方程，求得整式方程的根． (3)检验，把解得的整式方程的根代入 ，如果结果为零，则它不是原分式方程的根，而是原分式方程的增根，必须舍去；如果结果不为零，则它是原分式方程的根． 3．使分式方程分母为零的未知数的值即为分式方程的 ．分式方程的增根有两个特征： (1)增根使 为零； (2)增根是分式方程化成的 方程的根． 知识点2 分式方程的实际应用 列分式方程解应用题要两次验根，一是检验所求的解是否是所列分式方程的解；二是检验所求的解是否符合实际意义． 链接教材 分式 eq \f(2x,x－2) 与 eq \f(8,x2－2x) 的最简公分母是 ，方程 eq \f(2x,x－2) － eq \f(8,x2－2x) ＝1的解是 ． 2．若分式方程 eq \f(x,x－1) － eq \f(m,1－x) ＝2有增根，则这个增根是 ． 考点1 分式方程的解法 1．解方程： (1) eq \f(x－3,x－2) ＋1＝ eq \f(3,2－x) ； _1234567890.doc 考点1 代数式 定义：把一个多项式化为几个整式的 的形式，叫把这个多项式分解因式． eq \a\vs4\al(2.因式分解,　的方法) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(提公因式法：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）,公式法\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）,完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2)),二次三项式类型：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）)) 3．因式分解的步骤： 一提(提取公因式)；二套(套公式)；三查(检查是否分解彻底). (2) eq \f(2,x2－4) － eq \f(x,2－x) ＝1. _1234567890.doc 考点1 代数式 定义：把一个多项式化为几个整式的 的形式，叫把这个多项式分解因式． eq \a\vs4\al(2.因式分解,　的方法) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(提公因式法：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）,公式法\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）,完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2)),二次三项式类型：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）)) 3．因式分解的步骤： 一提(提取公因式)；二套(套公式)；三查(检查是否分解彻底). 解：原方程变形得 eq \f(2,（x＋2）（x－2）) ＋ eq \f(x,x－2) ＝1. 方程两边乘(x＋2)(x－2)，得2＋x(x＋2)＝(x＋2)(x－2). 解这个整式方程，得x＝－3. 检验：当x＝－3时，(x＋2)(x－2)＝(－3＋2)×(－3－2)＝5≠0. 所以，原分式方程的解是x＝－3. _1234567890.doc 考点1 代数式 定义：把一个多项式化为几个整式的 的形式，叫把这个多项式分解因式． eq \a\vs4\al(2.因式分解,　的方法) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(提公因式法：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）,公式法\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）,完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2)),二次三项式类型：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）)) 3．因式分解的步骤： 一提(提取公因式)；二套(套公式)；三查(检查是否分解彻底). 2．已知关于x的分式方程 eq \f(m,x＋2) ＝1－ eq \f(3,x＋2) . (1)若该分式方程有增根，求m的值； (2)若该分式方程的解为负数，求m的取值范围． _1234567890.doc 考点1 代数式 定义：把一个多项式化为几个整式的 的形式，叫把这个多项式分解因式． eq \a\vs4\al(2.因式分解,　的方法) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(提公因式法：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）,公式法\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）,完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2)),二次三项式类型：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）)) 3．因式分解的步骤： 一提(提取公因式)；二套(套公式)；三查(检查是否分解彻底). 解：(1)方程两边同乘x＋2，得m＝x＋2－3. 由题意，分式方程的增根为x＝－2. 把x＝－2代入m＝x＋2－3，得m＝－3. 由(1)，得m＝x＋2－3.解得x＝m＋1. ∵该分式方程的解为负数，∴m＋1＜0.∴m＜－1. 由(1)可知m≠－3，∴m的取值范围是m＜－1且m≠－3. _1234567890.doc 考点1 代数式 定义：把一个多项式化为几个整式的 的形式，叫把这个多项式分解因式． eq \a\vs4\al(2.因式分解,　的方法) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(提公因式法：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）,公式法\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）,完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2)),二次三项式类型：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）)) 3．因式分解的步骤： 一提(提取公因式)；二套(套公式)；三查(检查是否分解彻底). 考点2 分式方程的实际应用 3．为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同．求每千克有机大米的售价为多少元？ _1234567890.doc 考点1 代数式 定义：把一个多项式化为几个整式的 的形式，叫把这个多项式分解因式． eq \a\vs4\al(2.因式分解,　的方法) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(提公因式法：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）,公式法\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）,完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2)),二次三项式类型：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）)) 3．因式分解的步骤： 一提(提取公因式)；二套(套公式)；三查(检查是否分解彻底). 解：设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为(x－2)元，根据题意，得 eq \f(420,x) ＝ eq \f(300,x－2) .解得：x＝7. 经检验，x＝7是所列分式方程的解，且符合题意． 答：每千克有机大米的售价为7元． _1234567890.doc 考点1 代数式 定义：把一个多项式化为几个整式的 的形式，叫把这个多项式分解因式． eq \a\vs4\al(2.因式分解,　的方法) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(提公因式法：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）,公式法\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）,完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2)),二次三项式类型：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）)) 3．因式分解的步骤： 一提(提取公因式)；二套(套公式)；三查(检查是否分解彻底). 4．甲、乙两名学生到离校2.4 km的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发30 min后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度． _1234567890.doc 考点1 代数式 定义：把一个多项式化为几个整式的 的形式，叫把这个多项式分解因式． eq \a\vs4\al(2.因式分解,　的方法) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(提公因式法：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）,公式法\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）,完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2)),二次三项式类型：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）)) 3．因式分解的步骤： 一提(提取公因式)；二套(套公式)；三查(检查是否分解彻底). 解：设甲同学步行的速度为x km/h，则乙同学骑自行车的速度为4x km/h. 根据题意，得 eq \f(2.4,x) － eq \f(2.4,4x) ＝ eq \f(1,2) ，解得x＝3.6. 经检验，x＝3.6是原方程的解，且符合题意． ∴4x＝4×3.6＝14.4. 答：乙同学骑自行车的速度为14.4 km/h. _1234567890.doc 考点1 代数式 定义：把一个多项式化为几个整式的 的形式，叫把这个多项式分解因式． eq \a\vs4\al(2.因式分解,　的方法) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(提公因式法：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）,公式法\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）,完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2)),二次三项式类型：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）)) 3．因式分解的步骤： 一提(提取公因式)；二套(套公式)；三查(检查是否分解彻底). A组　基础练 1．分式方程 eq \f(4,x－2) ＝ eq \f(2,x) 的解是 ． _1234567890.doc 考点1 代数式 定义：把一个多项式化为几个整式的 的形式，叫把这个多项式分解因式． eq \a\vs4\al(2.因式分解,　的方法) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(提公因式法：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）,公式法\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）,完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2)),二次三项式类型：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）)) 3．因式分解的步骤： 一提(提取公因式)；二套(套公式)；三查(检查是否分解彻底). 甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为( ) A． eq \f(9,x) － eq \f(12,x＋1) ＝ eq \f(1,2) B． eq \f(12,x＋1) － eq \f(9,x) ＝ eq \f(1,2) C． eq \f(9,x＋1) － eq \f(12,x) ＝ eq \f(1,2) D． eq \f(12,x) － eq \f(9,x＋1) ＝ eq \f(1,2) _1234567890.doc 考点1 代数式 定义：把一个多项式化为几个整式的 的形式，叫把这个多项式分解因式． eq \a\vs4\al(2.因式分解,　的方法) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(提公因式法：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）,公式法\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）,完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2)),二次三项式类型：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）)) 3．因式分解的步骤： 一提(提取公因式)；二套(套公式)；三查(检查是否分解彻底). B组　能力练 3．某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，一部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度． _1234567890.doc 考点1 代数式 定义：把一个多项式化为几个整式的 的形式，叫把这个多项式分解因式． eq \a\vs4\al(2.因式分解,　的方法) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(提公因式法：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）,公式法\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）,完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2)),二次三项式类型：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）)) 3．因式分解的步骤： 一提(提取公因式)；二套(套公式)；三查(检查是否分解彻底). 解：设大型客车的速度为x km/h，则小型客车的速度为1.2x km/h， 根据题意，得 eq \f(72,x) － eq \f(72,1.2x) ＝ eq \f(1,5) .解得x＝60. 经检验，x＝60是原分式方程的解． 答：大型客车的速度是60 km/h. _1234567890.doc 考点1 代数式 定义：把一个多项式化为几个整式的 的形式，叫把这个多项式分解因式． eq \a\vs4\al(2.因式分解,　的方法) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(提公因式法：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）,公式法\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）,完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2)),二次三项式类型：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）)) 3．因式分解的步骤： 一提(提取公因式)；二套(套公式)；三查(检查是否分解彻底). C组　素养练 4．今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等． (1)求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？ (2)若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由． _1234567890.doc 考点1 代数式 定义：把一个多项式化为几个整式的 的形式，叫把这个多项式分解因式． eq \a\vs4\al(2.因式分解,　的方法) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(提公因式法：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）,公式法\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）,完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2)),二次三项式类型：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）)) 3．因式分解的步骤： 一提(提取公因式)；二套(套公式)；三查(检查是否分解彻底). 解：(1)设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套(x＋10)元． 根据题意，得 eq \f(500,x＋10) ＝ eq \f(400,x) .解得：x＝40. 经检验，x＝40是该分式方程的解，并符合题意．∴x＋10＝50. 答：甲、乙两个商店租用的服装每套各50元、40元． (2)在乙商店租用服装的费用较少． 理由：该参赛队伍准备租用20套服装时，甲商店的费用为：50×20×0.9＝900(元)，乙商店的费用为：40×20＝800(元)， ∵900＞800，∴乙商店租用服装的费用较少． _1234567890.doc 考点1 代数式 定义：把一个多项式化为几个整式的 的形式，叫把这个多项式分解因式． eq \a\vs4\al(2.因式分解,　的方法) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(提公因式法：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）,公式法\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）,完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2)),二次三项式类型：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）)) 3．因式分解的步骤： 一提(提取公因式)；二套(套公式)；三查(检查是否分解彻底). C组　素养练 7．规定：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：①方程x2－2x－3＝0是“倍根方程”；②若方程x2＋ax＋2＝0是“倍根方程”，则a＝±3；③若方程ax2＋bx＋c＝0是“倍根方程”，且相异两点A(2＋t，s)，B(4－t，s)都在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为2；④若点(m，n)在反比例函数y＝ eq \f(4,x) 的图象上，则方程mx2＋5x＋n＝0是“倍根方程”．上述结论中正确的有( ) A．①② B．③④ C．②③ D．②④ _1234567890.doc 考点1 代数式 定义：把一个多项式化为几个整式的 的形式，叫把这个多项式分解因式． eq \a\vs4\al(2.因式分解,　的方法) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(提公因式法：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）,公式法\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）,完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2)),二次三项式类型：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）)) 3．因式分解的步骤： 一提(提取公因式)；二套(套公式)；三查(检查是否分解彻底). $$