精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

达旗一中2024-2025秋季学期高二年级第三次学情诊断 数学 总分：150分；考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级､姓名填写在答题卡上，并在指定位置粘贴条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，应使用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写到答题卡上，且必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷､草稿纸上答题无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（　　） A. B. C. D. 2. 记等差数列的前项和为，则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 3. 在等差数列中，已知，，则数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 4. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 双曲线的一条渐近线的方程为，则m值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线：与椭圆：（）相交于，且的中点为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（ ） A. B. C. D. 4 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（    ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若、，直线过且与线段相交，则的斜率 10. 抛物线焦点为，顶点为，过的直线交抛物线于两点，分别过，作准线的垂线，垂足分别为，下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. C. 三点共线 D. 11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 抛物线的焦点坐标是______. 13. 若曲线与直线有两个公共点，则实数m的取值范围是______． 14. 已知在直三棱柱中，，，，是的中点，若，则_____． 四､解答题（共77分） 15. （1）已知两直线，．求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程； （2）已知曲线的方程为，根据下列条件，求实数的取值范围． ①曲线是椭圆； ②曲线是双曲线． 16. 已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，且，若，求正整数的最小值． 17. 设点，，直线，相交于点P，且它们的斜率之积为. （1）求点P的轨迹方程C； （2）若，. ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 18. 如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左右顶点分别为，． （1）过点作斜率为k的直线与双曲线C有且只有一个公共点，求k的值； （2）过点的直线与双曲线右支交于P，Q两点，记，的斜率分别为，，试问是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达旗一中2024-2025秋季学期高二年级第三次学情诊断 数学 总分：150分；考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级､姓名填写在答题卡上，并在指定位置粘贴条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，应使用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写到答题卡上，且必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷､草稿纸上答题无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则 ，则. 故选：D． 2. 记等差数列的前项和为，则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】利用下标和性质先求出的值，然后根据前项和公式结合下标和性质求解出的值. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 3. 在等差数列中，已知，，则数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一，设出首项，公差为d，代入已知条件即可求解；方法二，根据等差数列性质可求出，代入到已知可求出公差为d，即可求解；方法三，根据韦达定理可求出，是方程的两根，再根据等差数列可求出通项公式. 【详解】方法一（基本量法）设的首项为，公差为d， 则由，得，∴． 代入，整理得，解得． 当时，，； 当时，，． 方法二（等差数列的性质）∵，∴． ， ∴，∴． 当时，； 当时，． 方法三（方程思想）∵，∴， ∴，（由和与积，联想到根与系数的关系） ∴，是方程的两根，∴或 由，，得，∴． 同理，由，，得． 故选： 4. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可得，再利用椭圆的定义即可得到结果． 【详解】 依题意，则，由椭圆对称性，得线段，互相平分于原点， 则四边形为平行四边形， 由椭圆的定义得，解得， 所以椭圆的短半轴长． 故选：A． 5. 双曲线的一条渐近线的方程为，则m值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线的方程求解即可. 【详解】因为双曲线的一条渐近线的方程为， 所以，解得. 故选：D. 6. 已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，列出不等式组求解即可. 【详解】解：由已知得，即，解得. 故选：B. 7. 已知直线：与椭圆：（）相交于，且的中点为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出的关系，再根据椭圆的性质求解即可. 【详解】设，， 将直线方程与椭圆方程联立， 消去得， 则， 因为的中点为所以，解得， 所以，， 故选：B 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性及定义，求出、长度，由直角三角形求解可得解. 【详解】如图， 因为双曲线，所以， 由双曲线的对称性知， 所以， 由双曲线定义可得， 所以，又， 所以，即， 所以, 故， 故选：A 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（    ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若、，直线过且与线段相交，则的斜率 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两直线垂直求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用两直线平行求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；求出直线斜率的取值范围，利用倾斜角与斜率的关系可判断C选项；数形结合求出直线斜率的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若直线与直线互相垂直， 则，解得或， 所以，“”是“直线与直线互相垂直”充分不必要条件，A错； 对于B选项，若直线与直线互相平行， 则，解得， 所以，“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，B对； 对于C选项，直线的斜率为， 当时，；当时，. 因此，直线的倾斜角的取值范围是，C对； 对于D选项，如下图所示： 设线段交轴于点，直线交线段于点， ，， 当点在从点往点（不包括点）运动时，此时，直线的倾斜角为锐角， 在运动的过程中，直线的倾斜角逐项增大，此时，直线的斜率为； 当点从点（不包括点）往点运动时，此时，直线的倾斜角为钝角， 在运动的过程中，直线的倾斜角逐渐增大，此时，直线的斜率为. 综上所述，直线的斜率的取值范围是，D对. 故选：BCD. 10. 抛物线焦点为，顶点为，过的直线交抛物线于两点，分别过，作准线的垂线，垂足分别为，下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. C. 三点共线 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先确定F坐标，设l方程，联立方程利用韦达定理可判定A，利用平面向量的数量积可判定B，利用两点斜率公式可判定C，利用抛物线的定义结合A的结论可判定D. 【详解】易知，准线方程，不妨设， 与抛物线方程联立有，所以， 而，故A正确； 易知，则， 显然，即，故B错误； 易知，显然，即三点共线，故C正确； 由抛物线定义可知， 由上知，所以，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于B，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于CD，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出平面与平面所成角的余弦值和直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断. 【详解】对于A，，平面，平面， 平面，点在线段上运动， 点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，，异面直线与所成的角即为与所成的角， 当点位于点时，与所成的角为， 当点位于的中点时，平面，， ，此时，与所成的角为， 异面直线与所成角的取值范围是，故B错误； 对于C，以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，， 则，，设平面的法向量， 设平面的法向量， ， 则，即， 令，则，则得， 面与平面所成夹角为， 所以， 因为，，所以，， 所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故C正确； 对于D，则，，，，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为： ， 当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值， 最大值为，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 抛物线的焦点坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标. 【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且， 所以焦点坐标为， 故答案为：. 13. 若曲线与直线有两个公共点，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，根据点到直线的距离公式与数形结合的思想计算即可求解. 【详解】由可得， 即曲线表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分， 画出图形，可得当直线经过点时，， 当直线与曲线相切时，由圆心到直线的距离可得，由图可得， 所以要使直线与曲线有两个公共点，则. 故选：C. 故答案为： 14. 已知在直三棱柱中，，，，是的中点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设，得到，，根据列等式即可求出，从而得到． 【详解】解：以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设， 则由题意：，，， 则，，， 解得，即． 故答案为： 四､解答题（共77分） 15. （1）已知两直线，．求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程； （2）已知曲线的方程为，根据下列条件，求实数的取值范围． ①曲线是椭圆； ②曲线是双曲线． 【答案】（1）；（2）①；②. 【解析】 【分析】（1）求出两条直线的交点坐标，设所求直线方程为，代入即可； （2）根据椭圆的标准方程可得；根据双曲线的标准方程可得，求解即可. 【详解】（1）联立，得，即两条直线的交点坐标为， 设与直线平行的直线方程为， 将代入得，即， 所以所求直线方程为； （2）①曲线的方程为， ，又曲线是椭圆， ，解得且， 故实数的取值范围为； ②曲线是双曲线， ，解得或， 故实数的取值范围为. 16. 已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，且，若，求正整数的最小值． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】（1）由等差数列基本量的关系列方程组即可求解. （2）首先得，由等差数列求和公式求，列不等式组即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则，解得，， 故． 【小问2详解】 由（1）可得，则， 所以，则数列是等差数列， 故． 因为，所以，所以， 所以或． 因为，所以的最小值是11． 17. 设点，，直线，相交于点P，且它们的斜率之积为. （1）求点P的轨迹方程C； （2）若，. ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，表示出直线、的斜率，求出它们的斜率之积，利用斜率之积是，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点的轨迹方程； （2）（i）设，，由余弦定理得，根据公式求的面积； （ii）设，分别用向量表示，，由题意求的取值范围. 【小问1详解】 设点的坐标为，因为点的坐标是， 所以直线的斜率是， 同理，直线的斜率是， 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程是， 点的轨迹是除去，两点的椭圆； 【小问2详解】 （i）设，， ，， 在中，由余弦定理得： ， ， （ii）设，则，即， ，，，， ， ，， . 18. 如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为四边形为矩形，平面平面， 平面平面， 所以，则平面， 根据题意可以以为原点，所在直线为轴， 所在直线为轴建立空间直角坐标系， 如图，易知，， 设平面的法向量， 不妨令，则， 又，， 又平面平面． （2） （3）存在；2 【解析】 【分析】（1）根据条件先判定垂直关系再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面关系即可； （2）利用空间向量结合（1）的结论计算面面夹角即可； （3）利用空间向量研究线面夹角计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由上可知，设平面的法向量， ，令，则， ， 平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 设， ， 又平面的法向量， 由直线与平面所成角的余弦值为， ， ，或． 当时，； 当时，． 综上，． 19. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左右顶点分别为，． （1）过点作斜率为k的直线与双曲线C有且只有一个公共点，求k的值； （2）过点的直线与双曲线右支交于P，Q两点，记，的斜率分别为，，试问是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由． 【答案】（1）或 （2）为定值 【解析】 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，分二次项系数是否为零，结合根的判别式即可得解； （2）设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再结合斜率公式化简即可得出结论. 【小问1详解】 直线方程为， 联立，消得， 当，即时，此时方程仅有一个解， 即直线与双曲线C有且只有一个公共点， 当，即时， 则，解得， 综上所述，或； 【小问2详解】 由题意可设直线的方程为，， 联立，消得， 则， ， 则， 因为，所以， 则， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $