精品解析：辽宁省鞍山市立山区+2024-2025学年上学期九年级数学期中质量监测试卷

九年级数学期中质量监测试卷 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数有最大值，最大值是5 D. 当时，y随x的增大而增大 3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 5. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地（，）上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪总面积为，设小路宽为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是等边三角形，点E，F在上，点H，G在上，，，的面积为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为__________． 12. 若是一元二次方程的两个实数根，则________ 13. 如图，中，点在上，，，，则_____． 14. 如图，某学习小组在研究函数的图象与性质时，列表、描点画出了图象．结合图象，可以“看出”方程的近似负整数解为_____． 15. 在中，，，是边上的一点，是边上的一点，若与相似且相似比为1：2，则的长为_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率． 18. 如图，在中，在斜边上，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 19. 如图，二次函数的图象与轴交于点，且经过点． （1）求此二次函数的表达式，并求出顶点坐标； （2）若将该二次函数图象先向右平移个单位、再向下平移个单位，平移后的抛物线仍然经过点，求的值． 20. 如图，P是矩形下方一点，将绕P点顺时针旋转后恰好D点与A点重合，得到，连接，求证：是等边三角形． 21. 如图，小艺同学为了测量学校旗杆的高度，在离点10米的处水平放置一个平面镜，小艺沿射线方向后退到点时，正好从镜子中看到旗杆顶端点，若米，小艺的眼睛离地面的高度米，请你帮助小艺计算一下旗杆的高度． 22. 在中，，，将绕点顺时针旋转至，过点作于点，过点作，交的延长线于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，的平分线交的延长线于点，连接，猜想和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，将沿折叠，在变化的过程中，当点恰好与点重合时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求面积． 23. 已知是自变量函数，当时，称函数为函数的“平衡函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的平衡点”，点在函数的“平衡函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“平衡函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的平衡点”，点在函数的“平衡函数”的图象上． （1）求函数的“平衡函数”的函数表达式； （2）如图，点在函数的图象上，点“关于的平衡点”在点的下方，当时，求点的坐标； （3）点在函数的图象上，点“关于的平衡点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在轴的右侧，且点与点不重合时，设三角形的面积为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有个时，从左到右依次记为，当为的中点时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学期中质量监测试卷 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A．当时，原方程不是一元二次方程，选项A不符合题意； B．方程含有分式，选项B不符合题意； C．含有2个未知数，选项C不符合题意； D．，化简为，是一元二次方程，选项D符合题意． 故选：D． 2. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数有最大值，最大值是5 D. 当时，y随x增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可． 【详解】解：对于y=（x-1）2+5， ∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误； 顶点坐标为（1，5），故B错误； 该函数有最小值，最小值是5，故C错误； 当时，y随x的增大而增大，故D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意． 故选：C． 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得． 【详解】解：根据题意将代入方程可得：， 解得：或， ∵是一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选：B． 5. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为1，，， A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； B、因为三边分别为：2，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，，故两三角形相似； C、因三边分别为：1，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似， 故选：B． 6. 如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地（，）上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪总面积为，设小路宽为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．由图可知：草坪部分的长为，宽为，然后根据草坪总面积为列方程即可． 【详解】解：草坪部分的长为，宽为， 根据题意即可得出方程为：， 整理得：． 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，点B的坐标为， ∴点B的对应点的坐标为或，即或， 故选：D． 8. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数比较函数值大小，准确求出二次函数对应函数值是解题关键．把三个点的横坐标代入函数解析式，求出对应函数值，比较大小即可． 【详解】解：把，，分别代入得， ；；； ∴． 故选：C． 9. 如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．由旋转的性质和正方形的性质可得，，，再根据等腰三角形的性质可求的度数． 【详解】解：∵正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形， ∴，，， ∴，且， ∴， 故选：B． 10. 如图，是等边三角形，点E，F在上，点H，G在上，，，面积为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据题意得到，根据相似比求出三角形的面积求出四边形的面积． 【详解】解：， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ． 故选A． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为__________． 【答案】3 【解析】 【详解】由旋转的性质可得：AD=AB， ， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AB， ∵AB=4，BC=7， ∴CD=BC−BD=7−4=3. 故答案为：3. 12. 若是一元二次方程的两个实数根，则________ 【答案】4 【解析】 【详解】∵是一元二次方程x2−3x−1=0的两个实数根， ∴==3，x1⋅x2==−1， 则=3-(-1)=4， 故答案为4. 13. 如图，在中，点在上，，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，难点在于找对应边． 首先证明出，得到，然后代数求出，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，某学习小组在研究函数的图象与性质时，列表、描点画出了图象．结合图象，可以“看出”方程的近似负整数解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的交点问题：把要求方程根的问题转化为函数图象的交点问题是解题关键．方程的解可化为函数与直线的交点的横坐标，利用数形结合思想即可判断求解． 【详解】解：方程的解可化为函数与直线的交点的横坐标， 如图： 由图象可知，函数与直线的交点有三个，最左边的交点横坐标近似为， ∴方程的近似负整数解为， 故答案为：． 15. 在中，，，是边上的一点，是边上的一点，若与相似且相似比为1：2，则的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据题意分类讨论，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：与相似且相似比为1：2，，， 当时， ，则； 当时，，则； 所以的长为或； 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用公式法求解． 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解： ， ∴， ∴，． 17. 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率． 【答案】该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20% 【解析】 【分析】设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，利用2022年投入资金金额=2020年投入资金金额(1+年平均增长率)，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找到正确的等量关系． 18. 如图，在中，在斜边上，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，先证明，再证明，根据相似三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． 19. 如图，二次函数的图象与轴交于点，且经过点． （1）求此二次函数的表达式，并求出顶点坐标； （2）若将该二次函数图象先向右平移个单位、再向下平移个单位，平移后的抛物线仍然经过点，求的值． 【答案】（1）；顶点 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象及性质，待定系数法求二次函数解析式． （1）将，代入中即可求出； （2）先将平移后的函数解析式求出，继而待定系数法求出本题答案． 【小问1详解】 解：将点，代入，得， ， ， 顶点； 【小问2详解】 解：根据题意，得平移后的抛物线关系式为：， 将代入上式，得， ，， ， ． 20. 如图，P是矩形下方一点，将绕P点顺时针旋转后恰好D点与A点重合，得到，连接，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定，旋转的性质．先由旋转得出，，是等边三角形；再由得出，据此即可证明结论成立． 【详解】证明：如图， 由旋转得， ，，， 是等边三角形， ， 由矩形知，，， ， ， ， ，， 为等边三角形． 21. 如图，小艺同学为了测量学校旗杆的高度，在离点10米的处水平放置一个平面镜，小艺沿射线方向后退到点时，正好从镜子中看到旗杆顶端点，若米，小艺的眼睛离地面的高度米，请你帮助小艺计算一下旗杆的高度． 【答案】8米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形应用，证明，根据相似三角形的性质得到，把已知数据代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，， ， ， 米，米，米， （米） 答：旗杆的高度为8米． 22. 在中，，，将绕点顺时针旋转至，过点作于点，过点作，交的延长线于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，的平分线交的延长线于点，连接，猜想和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，将沿折叠，在变化的过程中，当点恰好与点重合时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据，证明四边形是菱形，根据，证明四边形是正方形，即可证明结论； （3）①证明，得出，根据，得出，证明，得出，即可证明结论； ②根据勾股定理求出，根据等积法求出，证明，根据三角形面积公式求出即可． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， ，， ， 又，， ； 【小问2详解】 解：猜想：． 理由：平分，， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形， ； 【小问3详解】 证明：①由（2）知四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， 由折叠知， ， ， ，， ， ， ，即点是的中点； ②在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 23. 已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“平衡函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的平衡点”，点在函数的“平衡函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“平衡函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的平衡点”，点在函数的“平衡函数”的图象上． （1）求函数的“平衡函数”的函数表达式； （2）如图，点在函数的图象上，点“关于的平衡点”在点的下方，当时，求点的坐标； （3）点在函数的图象上，点“关于的平衡点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在轴的右侧，且点与点不重合时，设三角形的面积为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有个时，从左到右依次记为，当为的中点时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3）①；②；③ 【解析】 【分析】（）根据“平衡函数”的定义解答即可； （）设点，则点，根据题意可得，解方程即可求解； （）①由题意得点的坐标为，点的坐标为，即得，解方程即可求解；②分和两种情况根据三角形的面积公式解答即可求解；③画出函数图象，求出点的横坐标，再根据中点坐标公式列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即； 【小问2详解】 解：设点，则点， ∵，点在点的下方， ∴， 整理得，， 解得，， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：①由题意得点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点重合， ∴， 解得； ②当，即时，点在点的上方， ∴， ∴； 当，即时，点在点的下方， ∴， ∴； 综上，； ③如图，把代入得，， 解得，， 即点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入得，， 解得，， ∴点的横坐标为， ∵点为的中点， ∴， 整理得，， 解得． 【点睛】本题考查了新定义函数，求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数与一次函数的交点问题，中点坐标公式，理解函数的新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$