广东省深圳市龙岗区百合外国语学校2024-2025学年上学期九年级12月月考数学试卷

1 深圳百合外国语学校 2024-2025 学年上学期九年级 12 月月考 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A C D A A B 1．A 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：把二次函数 2y x= 的图象向左平移 2个单位，然后向上平移 1个单位，则平移 后的图象对应的二次函数的表达式为：  22 1y x   ． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律：左加右减，上加下减是解题的关 键． 2．C 【解析】略 3．A 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的 结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注 意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 同时闭合 2S 、 3S ，灯泡会发光，根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情 况数，根据概率公式，即可解答． 【详解】解：同时闭合 2S 、 3S ，灯泡会发光， 根据题意列出表格如下： 1S 2S 3S 1S  1 2,S S  1 3,S S 2S  2 1,S S  2 3,S S 3S  3 1,S S  3 2,S S 由表可知，应该有 6种情况，能使灯泡发光的情况有 2种， 2 ∴能使灯泡发光的概率 2 1 6 3   ． 故选：A． 4．C 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，证明 ADE ABC△ △∽ ，根据相似三角形的性质 列出比例式，把已知数据代入计算即可， 掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， 3cmBC  ， 1cmDE  ， ∵DE BC∥ ， ∴ ADE ABC△ △∽ ， ∴ AD DE AB BC  ，即 1 1.5 3 AD AD   ， 解得：  3 cm 4 AD  ， 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．每一支队伍都要和另外的  1x  支队伍进行比赛， 于是比赛总场数=每支队的比赛场数×参赛队伍÷重复的场数，即可解答． 【详解】解：共有 x支队伍参加比赛，根据题意，可列方程为  1 45 2 x x   ； 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用以及三角形的中位线的应用，解此题的关 键是求出 AC的长． 已知OM 是 ADC△ 的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出 AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则 BO的长即可求出． 【详解】解：∵四边形 ABCD是矩形， 90 , 8D AO CO BO AB CD      ， ， ∵O是矩形 ABCD的对角线 AC的中点，M 是CD边的中点， ∴OM 是 ADC△ 的中位线，OM AD∥ ， 3OM  ， 2 6AD OM   ， 8CD AB  ， 3 2 2 10AC AD CD    ， 1 5 2 BO AC   ， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函 数的定义即可求解 【详解】解：由题意得： sin AL AL AR a    ∴ sinAL a  千米 故选：A 8．B 【分析】过 F作 FH⊥AD于 H，交 ED于 O，于是得到 FH=AB=2，根据勾股定理得到 AF= 2 2FH AH = 2 22 2 = 2 2 ，根据平行线分线段成比例定理得到，OH= 1 3 AE= 1 3 ，由 相似三角形的性质得到 1 5 3 AM AE FM FO   = 3 5 ，求得 AM= 3 8 AF= 3 2 4 ，根据相似三角形的性质 得到 AN AD FN BF  = 3 2 ，求得 AN= 3 5 AF= 6 2 5 ，即可得到结论． 【详解】过 F作 FH⊥AD于 H，交 ED于 O，则 FH=AB=2． ∵BF=2FC，BC=AD=3， ∴BF=AH=2，FC=HD=1， ∴AF= 2 2FH AH = 2 22 2 = 2 2， ∵OH∥AE， ∴ HO DH AE AD  = 1 3 ， ∴OH= 1 3 AE= 1 3 ， ∴OF=FH﹣OH=2﹣ 1 3 = 5 3 ， ∵AE∥FO，∴△AME∽△FMO， ∴ 1 5 3 AM AE FM FO   = 3 5 ，∴AM= 3 8 AF= 3 2 4 ， ∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB， 4 ∴ AN AD FN BF  = 3 2 ， ∴AN= 3 5 AF= 6 2 5 ， ∴MN=AN﹣AM= 6 2 5 ﹣ 3 2 4 = 9 2 20 ，故选 B． 【点睛】构造相似三角形是本题的关键，且求长度问题一般需用到勾股定理来解决，常作垂 线 9． 【分析】本题主要考查了正弦与余弦的关系，三角函数比较大小，互余的两个角中，一个角 的余弦值等于另一个角的正弦值，且锐角的度数越大正弦值越大，据此可得答案． 【详解】解：∵  cos57 sin 90 57 sin 33      ，且 sin 33 sin53  ， ∴ sin53cos57  ， 故答案为：． 10． 2 3 【分析】根据题意可知解开木板上两根绳子可能有 AB AC BC， ， 三种等可能情形，再确定 其中能取下气球C的有两种，最后根据概率公式计算即可． 【详解】随机解开木板上两根绳子可能有 AB AC BC， ， 三种等可能情形，其中能取下气球C 的有两种，所以概率为 2 3 ． 故答案为： 2 3 ． 【点睛】本题考查简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键． 11．9 3 【分析】本题主要考查了矩形的性质、含 30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点， 掌握矩形的性质以及直角三角形的性质是解题的关键． 如图，先说明 30ABF  ，然后根据含 30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：可得： 90AFB  ， 5 ∵四边形 ABCD是矩形， ∴ 90ABC  ， ∵ 30CBH  ， 90 , 90ABF CBF CBH CBF        ∴ 30ABF CBH   ， ∵ 18cmAB  ， ∴ 1 9cm 2 AF AB  ， ∴ 2 2 2 218 9 9 3cmBF AB AF     ， ∴杯中水的最大深度为9 3cm． 故答案为9 3． 12．16 【分析】此题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识；过点 B作 BF AD 于点 F，连接 AE，设点 A的坐标为 , ka a       ，点 B的坐标为 , kb b       ，则 ,AD a , k kAF a b BF b a     ，证明 ∽ABF ACD，则 AB AF AC AD  ，得到 3a b ，根据 2 12ABES BCE  ，进一步列式即可求出 k的值. 【详解】解：过点 B作 BF AD 于点 F，连接 AE，设点 A的坐标为 , ka a       ，点 B的坐标为 , kb b       ，则 ,AD a , k kAF a b BF b a     ， ∵ 2AB BC ， ∴ 2 3 AB AC  ， 6 ∵ AD y 轴于点D， ∴CD BF∥ ， ∴ ∽ABF ACD， ∴ AB AF BF AC AD CD   ， ∴ 2 3 AB a b AC a    ， ∴ 3a b ， ∴ 22 , 3 k k kAF a b b BF b a b       ， 3 3 2 2 2 3 k kCD BF b b     ∵ CDE的面积是 4， ∴ 2 8CDEEO CD S  △ ∴ 8 8bEO k k b   ， 又∵ 3 k kDO a b   ∴ 1 1 8 4 2 2 3 3EOC b kS EO OD k b       △ ∵ ,BDF DEO BFD DOE      ∴ BFD DOE∽ ∴ 2 3 2 3 k BD BF b kDE DO b    ∵ CDE的面积是 4， ∴ 2 8BCD CDES S △ △ ，则 12BCES △ ∴ 2 24ABES BCE  ， 7 ∴ 1 1 24 2 2 AD BF AD OD    ， ∴ 1 1 24 2 2 k k ka a b a a         ， 则 1 13 3 24 2 3 2 3 k k kb b b b b         ， 即 3 1 1 24 2 2 2 k k k   ， 解得 16k  ， 故答案为：16 13． 21 2 【分析】作CF AB 于点 F ，连接 EF，由 30CDB CBD    ，得 BC DC ， 2BC CF ， 则 2 2 3BF BC CF CF   ，求得 3 2 BF BF DC BC   ，由点 E为CD中点，点 F 为 BD中点，得 FE BC∥ ，则 30EFD CBD     ，所以 150ADC EFB     ，而 ACD EBD  ，则 ACD EBF∽ ，所以 7 2 3BE  ，则 21 2 BE  ，于是得到问题的答案． 【详解】解：作CF AB 于点 F ，连接 EF，则 90BFC  ， 30CDB CBD     ， BC DC  ， 2BC CF ， BF DF  ，  22 2 22 3BF BC CF CF CF CF     ，  3 3 2 2 BF BF CF DC BC CF    ， 点 E为CD中点，点 F 为 BD中点， FE BC ∥ ， 30EFD CBD     ， 180 30 150ADC EFB        ， ACD EBD   ， 7AC  ，  ACD EBF∽ ，  AC DC BE BF  ，  7 2 3BE  ， 8 21 2 BE  ， 故答案为： 21 2 ． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、相似三角 形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 14．（1）1 3 ；（2） 2 1 x x   ， 2 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，分式的化简求值，零指数幂： （1）先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着求出 x的值，最后代 值计算即可． 【详解】解：（1）  02 sin 45 tan 60 2cos30 tan30 3      2 3 32 3 2 1 2 2 3 = - 创 + 1 3 1 1= + - + 1 3  ； （2） 2 2 1 41 1 4 4 x x x x        2 2 1 1 4 1 4 4 x x x x x              222 1 2 2 xx x x x       2 1 x x    ， ∵ 11 tan 45 3 1 4 3 x             ， ∴原式 4 2 2 4 1     ． 15．(1) 1 2 41, 3 x x   (2) 1 23, 5x x   【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据因式分解法得出   3 4 1 0x x   ，解方程即可求解； 9 （2）先移项，再利用因式分解法解方程，即可求解． 【详解】（1）解： 23 4 0x x   ， ∴   3 4 1 0x x   ， ∴3 4 0x   或 1 0x   ， 解得： 1 2 41, 3 x x   ； （2）解： 2 2 15x x  ， ∴ 2 2 15 0x x   ， ∴   5 3 0x x   ， ∴ 5 0x   或 3 0x   解得： 1 23, 5x x   16．(1)72，图见详解 (2)480人 (3) 1 6 【分析】（1）由 360°乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应的扇形的圆心角 度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即可； （2）根据比赛成绩良好的占比乘以 400即可求解； （3）画出树状图，由概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：  360 1 40% 25% 15% 72     ， 故答案为：72； 全年级总人数为18 15% 120  （人）， “良好”的人数为120 40% 48  （人）， 将条形统计图补充完整，如图所示： 10 （2）解：参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有：1200 40% 480  （人）， 故答案为：480； （3）解：画树状图，如图所示： 共有 12个等可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有 2个， ∴P（选中的两名同学恰好是甲、丁） 2 1 12 6  ． 【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，样本估 计总体，解题的关键是从统计图表中获取信息． 17．(1)见解析 (2) 2 10 【分析】（1）可证明  AASDEB AEF≌ 得到 AF DB ，再由直角三角形的性质证明 AD BD DC  ，进而可证明四边形 ADCF是平行四边形，再由 AD DC ，即可证明四边形 ADCF是菱形； （2）先证明四边形 ADCF是正方形，得到 90ADC  ，设 AE DE x  ，则 2CD BD AD x   ，由勾股定理可得方程  22 22 5x x  ，解方程求出 2 5AD BD CD   ， 则 2 2 2 10AB AD BD   ． 11 【详解】（1）证明： E为 AD中点， ∴ AE DE ， ∵ AF BC∥ ， ∴ DBE AFE   ， ∵ DEB AEF   ， ∴  AASDEB AEF≌ ， ∴ AF DB ， ∵ AD是直角三角形CAB斜边CB上的中线， ∴ AD BD DC  ， ∴ AF DC ， ∵ AF DC， ∴四边形 ADCF是平行四边形， ∵ AD DC ， ∴四边形 ADCF是菱形； （2）解：∵ 90FCB  且四边形 ADCF是菱形， ∴四边形 ADCF是正方形， ∴ 90ADC  ， 由（1）可得 AD CD DB  ， 设 AE DE x  ，则 2CD BD AD x   ， 在Rt CDE△ 中，由勾股定理得 2 2 2EC CD DE  ， ∴  22 22 5x x  ， ∴ 5x  或 5x   （舍去）， ∴ 2 5AD BD CD   ， ∴ 2 2 2 10AB AD BD   ． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质， 全等三角形的性质与判定等等，熟知正方形的性质与判定定理，菱形的判定定理是解题的关 键． 12 18．(1) 2 0 2 x   或 2 2 x  (2)0 1a  【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合； （1）仿照题意求出函数 2y x  和函数 1y x   的交点坐标，再找到函数 2y x  的函数图象 在函数 1y x   的图象下方或二者的交点处时，自变量的取值范围即可得到答案； （2）分当 1 0a   时，当 1 0a   ，即 1a  时，当0 1a  时，当 0a  时，当 0a  时，五种 情况结合函数图象讨论求解即可． 【详解】（1）解：联立 2 1 y x y x       ，解得 2 2 2 x y       或 2 2 2 x y       ， 由函数图象可知，当函数 2y x  的函数图象在函数 1y x   的图象下方或二者的交点处时， 自变量的取值范围为 2 0 2 x   或 2 2 x  ， ∴不等式 12x x    的解集为 2 0 2 x   或 2 2 x  ； （2）解：当 1 0a   时，函数 y ax 的图象经过第一、三象限，函数 1ay x   的图象也经过 第一、三象限，此时不可能满足关于 x的不等式 1aax x   的解集为 ꒨ ષ； 当 1 0a   ，即 1a  时，则关于 x的不等式 1aax x   即为 0x  ，此时符合题意； 当0 1a  时，函数 y ax 的图象经过第一、三象限，函数 1ay x   的图象经过第二、四象限， 13 此时能满足关于 x的不等式 1aax x   的解集为 ꒨ ષ； 当 0a  时，则关于 x的不等式 1aax x   即为 10 x   ，此时符合题意； 当 0a  时，函数 y ax 的图象经过第二、四象限，函数 1ay x   的图象也经过第二、四象限， 此时不可能满足关于 x的不等式 1aax x   的解集为 ꒨ ષ； 综上所述，0 1a  ． 19．（1）作图见解析；抛物线为  225 3.6 11.5 6 y x    ； （2）①；②她们本次训练不会失误，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质 是关键． （1）依据题意，根据表格数据即可作图；又图象过    3,10 , 4.2,10 ，故抛物线的对称轴是直 线 3 4.2 3.6 2 x   ，从而顶点为  3.6,11.5 ，可设抛物线为  23.6 11.5y a x   ，再结合抛物 线过  3,10 ，可得  210 3 3.6 11.5a   ，求出即可判断得解； (2)①依据题意，由小丽的竖直高度 y与水平距商 x近似满足函数关系为 2 2 75 35 50 5 11.25 2 y x x x            ，从而 2 11 25k . ，结合 11 5h . ，进而可以判断得解； ②依据题意，对于小美而言，其对应抛物线为  225 3.6 11.5 6 y x    ，再令 4.6x  ，则 22 5 3 y   ，又对于小丽而言，其对应抛物线为 25 35 50y x x    ，再令 4.6x  ，则 5 2 5y .  ， 进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，根据表格数据可以作图如下 14 图象过  3,10 ，  4.2,10 ，抛物线的对称轴为直线 3 4.2 3.6 2 x   ，顶点为  3.6,11.5 ， 可设抛物线为  23.6 11.5y a x   ， 又 抛物线过  3,10 ，  210 3 3.6 11.5a    ， 25 6 a   ， 抛物线为  225 3.6 11.5 6 y x    ； （2）①由题意， 小丽的竖直高度 y与水平距离 x近似满足函数关系为 2 2 75 35 50 5 11.25 2 y x x x            ， 2 11.25k  ， 又 1 11.5k  ， 1 2k k  ， 故答案为：； ②由题意，对于小美而言，其对应抛物线为  225 3.6 11.5 6 y x    ， 令 4.6x  ，则 22 5 3 y   ， 15 又对于小丽而言，其对应抛物线为 25 35 50y x x    ， 令 4.6x  ，则 5 2 5y .  ， 她们本次训练不会失误． 20．（1）相等（2）成立，理由见解析（3）6或 2 【分析】（1）利用SAS证明 ABD ACE≌△ △ ，得 BD CE ； （2）先证明 BAD CAE  ，再证明 ABC ADE△ △∽ 得 AB AD AC AE  ，从而 AB AD AC AE  ，然后再 证明 ABD ACE∽ 可证结论成立； （3）先证明 BAD CAE  ，再证明 ABC ADE△ △∽ 得 AB AD AC AE  ，从而 AB AD AC AE  ，然后再 证明 ABD ACE∽ 可证结论成立． 【详解】解：（1）相等，∵ ABCV 和 ADEV 都是等腰直角三角形， ∴ , , 90AB AC AD AE BAC DAE      ， ∴ BAC DAC DAE DAC    ， 即 BAD CAE  ， ∴ (SAS)ABD ACE≌ ， ∴ ABC ACE  ， 故答案为：相等； （2）成立， 理由：∵ AB BC ， ∴ 1 (180 ) 2 BAC ACB ABC       ， ∵ .AD DE ， ∴ 1 (180 ) 2 DAE DEA ADE       ， ∵ ABC ADE  ， ∴ BAC DAE   ， ∴ BAD CAE  ， ∵ ABC ADE  ， AB BC AD DE  ， ∴ ABC ADE△ △∽ ， ∴ AB AD AC AE  ， 16 ∴ ABD ACE∽ ， ∴∠ ABC ACE  ； （3）当点 D在线段 BC上时，如图 2， 由（2）知， ABD ACE∽ ， ∴ AB BD AC CE  ， ∴ 6 6 3 4 CE   ， ∴ 2CE  ． 当点 D在线段 BC的延长线上时，如图 3， ∵ AB BC ， ∴ 1 (180 ) 2 BAC ACB ABC       ， ∵ AD DE ， ∴ 1 (180 ) 2 DAE DEA ADE       ， ∵ ABC ADE  ， ∴ . BAC DAE  ， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵ ABC ADE  ， AB BC AD DE  ， ∴ ABC ADE△ △∽ ， ∴ AB AD AC AE  ， ∴ ABD ACE∽ ， 17 ∴ AB BD AC CE  ， ∵ 6, 4, 3AB BC AC CD    ， ∴ 6 6 3 4 CE   ， ∴ 6CE  ． 综上可知，CE的长为 2或 6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性 质等知识，证明 ABD ACE≌△ △ 是解（1）的关键，证明 ABD ACE∽ 是解（2）（3）的关 键． 深圳百合外国语学校2024-2025学年上学期九年级12月月考 数学试卷 考试范围：九年级上册；考试时间：90分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共8小题） 1．把二次函数的图象向左平移2个单位，然后向上平移1个单位，则平移后的图象对应的二次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 2．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（    ） A．B． C． D． 3．在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的任意两个，能使灯泡发光的概率是 A． B． C． D． 4．如图，在中，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点D，E．点B、C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛(每两队之间都赛一场)，单循环比赛共进行45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 6．如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，则线段的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　）    A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 8．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（  ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共5小题） 9． （选填“”或“”或“”）． 10．如图，三个气球分别被三根绳子系住，绳子一同穿过封闭的纸筒，另一端固定在木板上，无法判断绳子在纸筒中纠缠情况，随机解开木板上两根绳子，能取下气球C的概率是 ． 11．如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为E，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是，则的值为 ． 13．如图，点E为中点，连接，若，，，求的长为 ． 三、解答题（共7小题） 14．（1）计算： （2）先化简再求值：，其中． 15．解方程： (1)； (2)． 16．初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为____________度，并将条形统计图补充完整． (2)我校初三年级共有1200名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有____________人． (3)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 17．如图①，在中，，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)如图②，连接，若，，求的长． 18．用函数观点看不等式，如何解不等式？ 分析：我们可以把不等号的左边看作正比例函数，右边看作反比例函数，那么这个不等式的解集就是直线在直线下方的所有点的横坐标的取值范围． 解：当时，解得，，可知函数与函数的公共点的坐标为和． 如图，直线在直线下方的所有点，就是直线在点的下方和直线在点和点之间的部分，横坐标的取值范围是或，所以不等式的解集为或． (1)模仿上述方法，解不等式：； (2)填空：如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是______． 19．【发现问题】 在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线． 【提出问题】 在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她运动的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间有怎样的函数关系． 【分析问题】 小美完成一次试跳，记录仪记录了她运动时的竖直高度水平距离的几组数据如下： 水平距离（） 3 3.6 4.2 4.8 5.2 竖直高度（） 10 10 （1）请把上表中，的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出小美运动的抛物线草图，并求出关于的函数解析式； 【解决问题】 （2）双人10米跳台要求两位运动员同步完成动作．从数学的角度分析，至少要满足竖直距离的最大值及入水时入水点距跳台的水平距离分别相等．小美和小丽完成了一次双人10米跳台训练，小美的数据如上表中所示，小丽的竖直高度与水平距离近似满足函数关系． ①用，分别表示小美，小丽在空中最高点的竖直距离，则____________（填“”“”或“”）； ②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．小美和小丽在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好都是米，她们本次训练是否会失误，请通过计算说明理由． 20．【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 初三数学 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$