精品解析：广东省兴宁市宁中中学2024-2025学年高一上学期第二次质检考试数学试题

宁中中学高一第二次质检数学试题 （2024.12） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合B，后由交集定义可得答案. 【详解】集合， ， ． 故选：D 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到要否定结论， 所以命题“，”的否定为：“，”， 所以B选项正确. 故选：B 3. 下列选项中与是同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据同一函数的概念，即可判断. 【详解】对于A，因为的定义域为，而的定义域为，二者定义域不同，所以与不是同一函数. 对于B，因为的定义域为，而的定义域为，二者定义域不同，所以与不是同一函数. 对于C，因为与的定义域相同，对应关系也相同，所以与是同一函数. 对于D，因为与的定义域相同，但是对应关系不相同，，所以与不是同一函数. 故选：C. 4. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的对称轴，根据函数得单调性求出的范围即可. 【详解】函数， 所以的单调递增区间是，依题意知，， 所以，即实数的取值范围是 故选：D． 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性排除错误选项，再由特殊值的正负排除错误选项. 【详解】由题可知的定义域为R，且，所以是奇函数，排除A，B． 当时，，排除D． 故选：C． 6. 若幂函数的图象关于原点对称，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数概念可知系数为1，再检验是否为奇函数即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或, 当时，的图象关于原点对称，符合题意； 当时，的图象关于轴对称，不符合题意. 故选：D. 7. 已知是定义在R上的偶函数，若在单调递增，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性依次判断选项即可. 【详解】已知是定义在R上的偶函数，且在单调递增， 对选项A，，故A错误； 对选项B，，故B错误； 对选项C，，故C错误； 对选项D，因为，，，所以. 故选：D 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】，， ，故， ， 故， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】取特值可判断A，C；由不等式的性质可判断B，D. 【详解】对于A，，则，故A错误； 对于B，由，两边同时乘以，，故B正确. 对于C，若，则，故C错误； 对于D，因为，，则，故D正确. 故选：BD. 10. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性、单调性逐项判断可得答案. 【详解】对于A，，定义域关于原点对称，且，所以是偶函数， 且在上单调递增，A正确； 对于B，定义域为，关于原点对称，由，得， 所以不是偶函数，B不正确； 对于C，由，，定义域关于原点对称， 得，所以是偶函数， 且在上单调递增，C正确； 对于D，由，定义域关于原点对称， 得，是偶函数. 当时，，故在上单调递减，D不正确. 故选：AC. 11. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据偶函数定义域特征求解；对B，利用偶函数性质代入运算得解；对C，举反例说明判断；对D，换元令， 得，，求出在上的值域，再根据偶函数对称性可得的值域. 【详解】对于A，因为是定义在上的偶函数，所以，解得，故A正确； 对于B，由，， ，故B正确； 对于C，，，则， 所以函数在上不满足单调递减，故C错误； 对于D，由，，令，则，且， ，， ，即， 由偶函数对称性可知，的值域为.故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得，解得且， 故定义域为. 故答案为： 13. 已知函数，则 ______用含的式子表示． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，由内到外代入求值即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 14. 若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则实数的取值是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题可根据题意得出函数仅有一个零点，然后通过判别式即可得出结果. 【详解】因为函数存在零点且不能用二分法求该函数的零点， 所以由二次函数性质易知，函数仅有一个零点， ，解得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用指数、对数的运算法则计算可得出原式的值； （2）对等式平方可得出，再对等式两边平方可得出的值. 【详解】（1） ； （2）由题意得，得， 所以，故. 16. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）求函数在上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用构造方程组法求解析式，即可求解； （2）由（1）知，结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由可得： ， 通过消元可得. 【小问2详解】 由题意可得， 因为的图象的对称轴为，在上单调递增， 所以， ， 所以在上的值域为. 17. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性并证明． 【答案】（1）1 （2）在上单调递增，证明如下： 对任意、，且， 则， 因为，得，则， 又，则，即， 所以在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，求出的值，然后由奇函数的定义验证即可； （2）判断在上单调递增，利用定义法即可证明单调性. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 此时，定义域为， 因为，所以是奇函数， 故． 【小问2详解】 ，在上单调递增，证明略. 18. 已知函数， （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并给予证明； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）；（2）函数为奇函数；（3）. 【解析】 【分析】（1）真数位置大于0，得到的取值范围；（2）得到，然后判断与的关系，从而得到函数的奇偶性；（3）根据题意得到关于的不等式，从而得到的解集. 【详解】解：（1）真数部分大于零，即解不等式， 解得, 函数的定义域为. （2）函数为奇函数， 证明：由第一问函数的定义域为， ， 所以函数为奇函数. （3）解不等式， 即 即， 从而有， 所以. 不等式的解集为. 【点睛】本题考查函数的定义域，奇偶性，根据函数的性质解不等式，属于简单题. 19. 若一个集合仅有2个元素，且这2个元素之和等于这2个元素之积，则称该集合为2元“完美集”.例如就是一个2元“完美集”，这是因为. （1）请再写出一个不同于的2元“完美集”（无需写出求解过程）； （2）求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4； （3）是否存在某个2元“完美集”，其元素均为正整数？若存在，求出所有符合条件的2元“完美集”；若不存在，说明理由. 【答案】（1）（答案不唯一，满足均可）． （2） 设2元“完美集”为，其中，则， 由得，， 因为，所以． （3） 不存在，理由如下： 若为2元“完美集”，x，，且， 则， 由x，得，或， 即或这与矛盾， 故不存在满足题意的2元“完美集”． 【解析】 【分析】（1）根据“复活集”的定义写出一个2元“复活集”； （2）利用基本不等式证得结论成立； （3）根据题意可得，根据整数性分析判断即可. 【小问1详解】 因为， 所以2元“完美集”可以为（答案不唯一，满足均可）． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁中中学高一第二次质检数学试题 （2024.12） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列选项中与是同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若幂函数的图象关于原点对称，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7. 已知是定义在R上的偶函数，若在单调递增，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若且，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 的值域为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为_________. 13. 已知函数，则 ______用含的式子表示． 14. 若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则实数的取值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算； （2）若，求的值. 16. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）求函数在上的值域. 17. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性并证明． 18. 已知函数， （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并给予证明； （3）求不等式的解集. 19. 若一个集合仅有2个元素，且这2个元素之和等于这2个元素之积，则称该集合为2元“完美集”.例如就是一个2元“完美集”，这是因为. （1）请再写出一个不同于的2元“完美集”（无需写出求解过程）； （2）求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4； （3）是否存在某个2元“完美集”，其元素均为正整数？若存在，求出所有符合条件的2元“完美集”；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $