《第1章 直角三角形的边角关系》单元测试卷 2023--2024学年北师大版九年级数学下册

北师大版九年级数学下册《第1章 直角三角形的边角关系》 单元测试卷 一．选择题（共10小题） 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则sinA＝（　　） A． B． C． D． 2．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，AC＝13，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，每个小正方形的边长均为1，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，，那么AB等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．计算tan260°的结果为（　　） A． B． C． D．3 6．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°，则高BC是（　　） A．50sin24°米 B．50cos24°米 C．米 D．米 7．如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 8．已知：在锐角△ABC中，，则∠A的度数是（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，AB＝5，则∠B的正切值为（　　） A． B． C． D． 10．在正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为（　　） A．2 B． C． D． 二．填空题（共6小题） 11．计算：2sin30°﹣tan45°＝　 　． 12．已知α为锐角．若，则α＝　 　°． 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，BC＝3，则sinB的值是　 　． 14．计算：　 　． 15．小杰沿坡比为1：2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了　 　米． 16．光从空气射入液体中会发生折射现象．如图，水平放置的容器中装有某种液体，光线AO斜射到液面发生折射，折射光线为OB，折射角为∠BOD，测得∠BOD＝20°，OD⊥BD，OD＝10cm，则线段OB的长是 　 　cm．（结果精确到0.1，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 三．解答题（共7小题） 17．计算：cos30°+tan45°﹣tan60°•cos245°． 18．如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝30°，求BC的长． 19．如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D，AB＝6，，∠A＝30°． （1）求BD和AD的长； （2）求sinC的值． 20．如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于点D，AC的中点是E，且BC＝AD＝8，．求：（1）线段BD的长； （2）∠EDC的正切值． 21．如图，平地上建筑物AB与建筑物CD相距50m，在建筑物AB的顶部A处测得建筑物CD顶部C的仰角为28°，底部D的俯角为45°，求建筑物CD的高度．（结果保留整数．参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53） 22．如图，塔AD的高度为30m，塔的底部D与桥BC位于同一条水平直线上．由塔顶A测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为45°和30°，求BD，BC的长（结果精确到1m，参考数据：1.73） 23．如图，某小区内有AB和CD两栋家属楼，竖直的移动支架EF位于两栋楼之间，且高为4m，点A，E，C在同一条直线上．当移动支架EF运动到如图所示的位置时，在点F处测得点B，D的仰角分别为45°、60°，点A的俯角为30°，此时测得支架EF到楼CD的水平距离EC为15m．求两楼的高度差．（结果精确到1m，参考数据：，） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D C D A C D A A 一．选择题（共10小题） 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则sinA＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据特殊角的三角函数值求解． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴sinA＝sin30°． 故选：A． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 2．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，AC＝13，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据在直角三角形中锐角三角函数的定义解答． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，AC＝13， ∴BC5， ∴sinA． 故选：A． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦函数的定义，灵活运用所学知识解决问题． 3．如图，每个小正方形的边长均为1，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接CD，根据勾股定理及其逆定理得到∠CDB＝90°，根据正弦的定义计算即可． 【解答】解：如图，连接CD， 由勾股定理得，CD，BC＝2，BD， 则CD2+BD2＝BC2， ∴∠CDB＝90°， ∴sinB， 故选：D． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理及其逆定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，，那么AB等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据正弦三角函数的定义列式计算． 【解答】解：∵， ∴， 由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，代入可得： ， 解得AB＝5， 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是理解正弦三角函数定义． 5．计算tan260°的结果为（　　） A． B． C． D．3 【分析】根据特殊角三角函数值进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴原式＝（）2＝3， 故选：D． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 6．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°，则高BC是（　　） A．50sin24°米 B．50cos24°米 C．米 D．米 【分析】根据图形和锐角三角函数，可以表示出BC的值． 【解答】解：∵∠BCA＝90°，AB＝50m，∠A＝24°， ∴sinA， ∴BC＝50sinA＝50sin24°（米）， 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7．如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正切的定义即可求得答案． 【解答】解：∵在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴tanA， 故选：C． 【点评】本题考查正切的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 8．已知：在锐角△ABC中，，则∠A的度数是（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【分析】据特殊角的正切函数值解答即可． 【解答】解：∵， ∴∠A＝30°， 故选：D． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，AB＝5，则∠B的正切值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据正切的定义计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5， 则BC4， ∴tanB， 故选：A． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，熟记锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键． 10．在正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】根据图形找出角的两边经过的格点以及点O组成的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边解答． 【解答】解：如图，tan∠AOB2． 故选A． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．计算：2sin30°﹣tan45°＝　0　． 【分析】根据特殊角的三角函数值计算． 【解答】解：原式＝21＝0． 【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主． 【相关链接】特殊角三角函数值： sin30°，cos30°，tan30°，cot30°； sin45°，cos45°，tan45°＝1，cot45°＝1； sin60°，cos60°，tan60°，cot60°． 12．已知α为锐角．若，则α＝　60　°． 【分析】根据特殊角的三角函数值计算． 【解答】解：∵sin30°， ∴α＝60°． 故答案为：60． 【点评】本题考查特殊角三角函数值，熟记各特殊角三角函数值是解题的关键． 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，BC＝3，则sinB的值是　　． 【分析】由勾股定理求出AC，再根据锐角三角函数求出答案． 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC， ∴sinB， 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理、锐角三角函数的意义，掌握勾股定理和锐角三角函数的意义是正确解答的前提． 14．计算：　1　． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而化简得出答案． 【解答】解：原式＝2×（）2 ＝2（2） ＝1﹣2 1． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 15．小杰沿坡比为1：2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了　50　米． 【分析】设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：设他沿着垂直方向升高了x米， ∵坡比为1：2.4， ∴他行走的水平宽度为2.4x米， 由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302， 解得，x＝50，即他沿着垂直方向升高了50米， 故答案为：50． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 16．光从空气射入液体中会发生折射现象．如图，水平放置的容器中装有某种液体，光线AO斜射到液面发生折射，折射光线为OB，折射角为∠BOD，测得∠BOD＝20°，OD⊥BD，OD＝10cm，则线段OB的长是 　10.6　cm．（结果精确到0.1，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【分析】在Rt△OBD中，利用直角三角形的边角间关系可得结论． 【解答】解：∵OD⊥BD， ∴∠ODB＝90°， 在Rt△OBD中， OB10.6（cm）， 故答案为：10.6． 【点评】本题考查了解直角三角形，解决本题的关键是掌握直角三角形的边角间关系． 三．解答题（共7小题） 17．计算：cos30°+tan45°﹣tan60°•cos245°． 【分析】利用特殊锐角三角函数值计算即可． 【解答】解：原式1（）2 1 1 ＝1． 【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 18．如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝30°，求BC的长． 【分析】通过作高构造直角三角形，在两个直角三角形中，根据边角关系分别求出BD、CD即可． 【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ABD中，∠B＝45°，AB＝4， ∴BD＝ADAB＝2， 在Rt△ACD中，∠C＝30°， ∴CDAD＝2， ∴BC＝BD+CD＝22． 【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 19．如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D，AB＝6，，∠A＝30°． （1）求BD和AD的长； （2）求sinC的值． 【分析】（1）根据正弦、余弦定义求解即可； （2）根据线段的和差求出CD＝2，根据勾股定理求出BC，再根据正弦的定义求解即可． 【解答】解：（1）∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ABD中，AB＝6，∠A＝30°， ∴BD＝AB•sinA＝6×sin30°＝3，AD＝AB•cosA＝63； （2）∵AC＝5，AD＝3， ∴， 在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，BD＝3，， ∴， ∴． 【点评】此题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数定义是解题的关键． 20．如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于点D，AC的中点是E，且BC＝AD＝8，．求：（1）线段BD的长； （2）∠EDC的正切值． 【分析】（1）在Rt△ABD中，根据已知条件求出边AB的长，根据勾股定理可以求出CD的长； （2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出∠C＝∠EDC，从而求出∠C的正切值即求出了tan∠EDC的值． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴△ABD和△ACD是直角三角形， 在Rt△ABD中，sinB，AD＝8， ∴， ∴AB＝10， ∴BD6； （2）∵BC＝8，BD＝6， ∴CD＝BC﹣BD＝2， 在Rt△ACD中，E为斜边AC的中点， ∴ED＝ECAC， ∴∠C＝∠EDC， ∴tan∠EDC＝tanC4， 即∠EDC的正切值为4． 【点评】此题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握锐角三角函数定义及“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半“等是解题的关键． 21．如图，平地上建筑物AB与建筑物CD相距50m，在建筑物AB的顶部A处测得建筑物CD顶部C的仰角为28°，底部D的俯角为45°，求建筑物CD的高度．（结果保留整数．参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53） 【分析】解Rt△ADE，Rt△ACE，即可求解． 【解答】解：依题意，四边形ABDE是矩形，BD＝50m， 在Rt△ADE中，∠EAD＝45°，AE＝BD＝50m， ∴DE＝AE＝50m， 在Rt△ACE中，， ∴CE＝AE•tan∠CAE≈50×0.53＝26.5（m）， ∴CD＝CE+ED＝50+26.5≈77（m）， 答：建筑物CD的高度为77米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 22．如图，塔AD的高度为30m，塔的底部D与桥BC位于同一条水平直线上．由塔顶A测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为45°和30°，求BD，BC的长（结果精确到1m，参考数据：1.73） 【分析】在直角△ABD中首先求得∠DAB，然后利用三角函数求得BD的长，然后在直角△ADC中，利用三角函数求得DC，根据BC＝DC﹣BD即可求解． 【解答】解：在直角△ABD中，∠DAB＝90°﹣∠EAB＝90°﹣45°＝45°， 则BD＝AD•tan∠DAB＝30×1＝30（m）， 在直角△ADC中，∠ACD＝∠EAC＝30°， 则DC＝AD•cos∠ACD＝30（m）， 则BC＝DC﹣BD＝3030≈22（m）． 【点评】本题考查了解直角三角形，正确理解方向角的定义，理解直角三角形中的边和角的关系是关键． 23．如图，某小区内有AB和CD两栋家属楼，竖直的移动支架EF位于两栋楼之间，且高为4m，点A，E，C在同一条直线上．当移动支架EF运动到如图所示的位置时，在点F处测得点B，D的仰角分别为45°、60°，点A的俯角为30°，此时测得支架EF到楼CD的水平距离EC为15m．求两楼的高度差．（结果精确到1m，参考数据：，） 【分析】过点F作MN⊥AB，分别交AB于点M，CD于点N，由题意可知，AM＝EF＝CN＝4m，CE＝FN＝15m，∠AFM＝30°，∠BFM＝45°，∠DFN＝60°．通过直角三角形中三角函数求出MF，BM，DN，最后DN﹣BM即可求出两楼的高度差． 【解答】解：过点F作MN⊥AB，分别交AB于点M，CD于点N， 由题意可知，AM＝EF＝CN＝4，CE＝FN＝15，∠AFM＝30°，∠BFM＝45°，∠DFN＝60°． 在Rt△AMF中，由， 得． 在Rt△BFM中，由∠BFM＝45°， 得m． 在Rt△DFN中，由， 得（m）． 所以（m）． 答：两楼的高度差为19m． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 学科网（北京）股份有限公司 $$