精品解析：山东省德州市宁津县齐河三中教育集团 2024—2025学年上学期期中检测 九年级数学试题

齐河三中教育集团2024—2025学年第一学期期中检测 九年级数学试题 一、选择（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式为中（是常数，且）． 根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，该选项不符合题意； B、含义两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意； C、是分式方程，该选项不符合题意； D、是关于的一元二次方程，该选项符合题意； 故选： D． 2. 下列城市地铁的标志图案中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 已知函数y＝kx2﹣2x﹣3的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A. k＞﹣ B. k＞﹣且k≠0 C. k≥﹣ D. k≥﹣且k≠0 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数与一次函数的图像与性质即可求解. 【详解】解：∵函数y＝kx2﹣2x﹣3的图象和x轴有交点， ∴（﹣2）2﹣4×k×（﹣3）≥0或k＝0， 解得，k≥-， 故选C． 【点睛】此题主要考查函数的图像与性质，解题的关键是分析函数为二次函数或一次函数时的情况. 4. 把方程x2﹣4x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（　　） A. 2，3 B. 2，5 C. ﹣2，3 D. ﹣2，5 【答案】D 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解：∵x2﹣4x﹣1＝0， ∴x2﹣4x＝1， 则x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5， ∴m＝﹣2，n＝5， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的集中常用方法：直接开方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程特点选择合适、简便的方法是解题关键． 5. 将抛物线y＝（x﹣1）2+2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为（ ） A. y＝（x﹣1）2+5 B. y＝（x+2）2+6 C. y＝（x﹣4）2+6 D. y＝（x﹣3）2+5 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可． 【详解】抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后， 可得：， 即． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律． 6. 以下命题正确的是（ ） A. 任何一条直径都是圆的对称轴 B. 周长相等的圆是等圆 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 直径是圆上任意两点所连的线段 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的有关概念和性质，垂径定理等相关知识；需要特别注意的是轴对称图形的对称轴是一条直线． 根据圆的有关概念和性质，垂径定理等知识对各个命题进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、圆的直径是一条线段，而圆的对称轴是一条直线，故此选项说法错误，不符合题意； B、周长相等的圆的半径也相等，故是等圆，故此选项说法正确，符合题意； C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故此选项说法错误，不符合题意； D、通过圆心并且两端都在圆周上的线段叫做圆的直径，故此选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转90°得到点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B，由旋转90°可知，△OPA≌△OP′B，则P′B=PA=3，BO=OA=2，由此确定点P′的坐标． 【详解】如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B， ∵线段OP绕点O顺时针旋转90°， ∴∠POP′=∠AOB=90°， ∴∠AOP=∠P′OB，且OP=OP′，∠PAO=∠P′BO=90°， ∴△OAP≌△OBP′， ∴P′B=PA=3，BO=OA=2， ∴P′(3，-2)， 故选D． 【点睛】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系．关键是根据旋转的条件，确定全等三角形． 8. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为（ ）寸．（1尺寸） A. 13 B. 24 C. 26 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，通过勾股定理建立方程是解题的关键；连接，设，则，再根据垂径定理求出的长，在中根据勾股定理求出r的值，进而得出结论． 【详解】解：如图，连接，设寸， 则寸，寸； ∵尺， ∴寸； 在中，， 即， 解得（寸）． ∴寸． 故选：C． 9. 如图，四边形是边长为5的正方形，E是上一点，，将绕着点A顺时针旋转到与重合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转变换的性质求出、，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由旋转变换的性质可知，， ∴正方形的面积＝四边形的面积， ∴，， ∴，， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握性质的概念、旋转变换的性质是解题的关键． 10. 已知二次函数，若点，，在此二次函数图象上，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得二次函数的对称轴为直线，进而可得点，关于抛物线的对称轴对称，然后根据二次函数的性质可排除选项． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴点为二次函数的顶点， ∵点，， ∴根据二次函数的对称性可得：， ∴， ∵3＞0， ∴二次函数的开口向上， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 11. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案． 【详解】解：设方程的两根分别为a，b， ∴， ∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11， ∴，即， ∵菱形对角线垂直且互相平分， ∴该菱形的边长为 ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键． 12. 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①abc＞0；②4ac﹣b2＜0；③a+b+c＞0；④3a＜﹣c；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）．正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质依次判断即可. 【详解】解：由图象可得， a＜0，b＜0，c＞0， ∴abc＞0，故①正确， 该函数图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故②正确， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， ∴当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故③错误， ∵＝﹣1，得b＝2a， ∴当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＜0，得3a＜﹣c，故④正确， ∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c取得最大值， ∴am2+bm+c≤a﹣b+c，即am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），故⑤正确， 故选A． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知图像与各系数之间的关系. 二、填空（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 二次函数的解析式为与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，求出二次函数，当时求出的值，当时y的值，进而即可求解 【详解】解：∵， 当时，，解得： 当时，， ∴二次函数与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是． 故答案为：，． 14. 在平面直角坐标系中，点P（1，5）与点P′（2a+b，a+2b）关于原点对称，则a+b的值为_____． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】根据坐标与原点对称得到横纵坐标互为相反数列出方程即可求解. 【详解】解：∵点P（1，5）与点P′（2a+b，a+2b）关于原点对称， ∴， 故3a+3b＝﹣6， 则a+b＝﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知坐标关于原点对称的坐标特点. 15. 一个三角形的两边长分别为5和8，第三边长是方程的根，则三角形的周长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系等知识，正确求解一元二次方程是解题的关键；先求出一元二次方程的两个解为，再结合三角形三边关系判断所求的第三边是已知两边是否构成三角形，若是求出三角形周长即可． 【详解】解：， 方程左边分解因式得：， 解得：； 当时，由于，不符合构成三角形的条件； 当时，，符合构成三角形的条件，即三角形三边为5，8，9； 其周长为； 故答案为：22． 16. 如图所示是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水的最大深度为2cm，则该输水管的直径为___________． 【答案】10cm． 【解析】 【详解】解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA， ∵OD⊥AB，∴AD=AB==4cm， 设OA=，则OD=，在Rt△AOD中，，即，解得cm． ∴该输水管的直径为10cm． 故答案为10cm． 【点睛】本题考查垂径定理的应用． 17. 若二次函数的最大值是3，方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________. 【答案】k>-3 【解析】 【分析】根据的顶点坐标公式求得最值，根据一元二次方程根的判别式大于0，进而即可求得的取值范围. 【详解】∵二次函数的最小值是3 ∴，m2=12, ① ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴△=m2−4×1×(−k)>0,即m2+4k>0，把①代入②得， 12+4k>0， ∴k>-3. 故答案为k>-3. 【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式. 18. 如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②为等腰直角三角形；③平分；④．正确的是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①根据旋转的性质，可得，结合，即可判断， ③根据旋转的性质，可证，得到，即可判断， ④由，，在中，应用勾股定理，即可判断， ②根据与的关系，判断与的关系，即可判断， 本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握旋转的性质． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ，， ， ，故①正确， ， ，即：平分，故③正确， ， ， 在中，，即：，故④正确， 与不一定相等， 与不一定相等，故②不正确， 综上所述，①③④正确， 故答案为：①③④． 三．解答（本大题共7小题，共78分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 一元二次方程中，，，用公式法解方程即可； 移项可得：，提公因式得：，根据两数乘积为，则最少有一个因数为可得：或，分别解这两个一元一次方程得到一元二次方程的解． 【小问1详解】 解：， 整理得：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 整理得：， 分解因式得：， ，， 解得：， 20. 在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，在第二象限内，且顶点A、B、C都在格点上． （1）画出关于原点O成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕原点O顺时针方向旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在y轴上是否存在点P，使的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 解：关于原点O成中心对称的如下图所示，点的坐标为； （2） 解：绕原点O顺时针方向旋转后得到的如图所示，点的坐标为； （3）存在，P点的坐标为 【解析】 【分析】（1）作出A、B、C三点关于原点O的对称点，并依次连接这三点即可，同时也可写出点点的坐标； （2）作出A、B、C三点绕原点O的顺时针旋转的对应点，并依次连接这三点即可，同时也可写出点点的坐标； （3）作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P是使得最小的点；用待定系数法求出直线的解析式，即可求得点P的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P是使得最小的点； 由图知，，则， 设直线的解析式为， 把的坐标分别代入上式得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴P点的坐标为． 【点睛】本题考查了作图：作中心对称图形，作旋转图形，作轴对称图形，待定系数法求一次函数解析式等知识，掌握中心对称的性质，旋转的性质及轴对称的性质是解题的关键． 21. 如图，，是一次函数与二次函数的图象的两个交点． （1）求m，n的值和二次函数的解析式． （2）请结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式． （1）把代入一次函数求出，进而求出，再将代入二次函数，求出二次函数解析式即可解答； （2）根据函数图像，根据二次函数的图象与一次函数位置关系即可确定不等式的解． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得；即， 当时，， 把、代入， 得：， 解得， 所以二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意和函数图象可得：当或时，，即：的解集是或． 22. 如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2 m，拱高CD为2.4 m. (1)求拱桥的半径； (2)现有一艘宽3 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？ 【答案】（1）拱桥的半径为3.9 m；（2）此货船能顺利通过拱桥． 【解析】 【详解】 试题分析：（1）连接OB，根据垂径定理求出BD，设OB＝OC＝r，再在Rt△BOD中利用勾股定理求出r；（2）作出拱桥下的矩形，交拱桥于M，N，交CD于E，连接ON，通过求距离水面2米高处即ED长为2时，桥有多宽，即MN的长，当货船顶部宽度大于MN则货船不能通过，当货船顶部宽度小于等于MN则货船能通过． 解：(1)连接OB. ∵OC⊥AB，∴D为AB的中点． ∴BD＝AB＝3.6(m). 设OB＝OC＝r，则OD＝(r－2.4)m. 在Rt△BOD中，OB2=OD2+BD2，即r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9. ∴拱桥的半径为3.9 m. (2)作出拱桥下的矩形，交拱桥于M，N，交CD于E，连接ON. ∵CD＝2.4 m，DE=2 m， ∴CE＝CD－DE＝0.4(m)． ∴OE＝OC－CE＝3.9－0.4＝3.5(m)． 在Rt△OEN中，EN＝＝＝(m2)， ∵OD⊥MN， ∴MN＝2EN＝2×≈3.44 m＞3 m. ∴此货船能顺利通过拱桥． 23. 某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出250千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利3000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为； （2）每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系正确列出方程 （1）设每次降价的百分率为a，则两次降价的百分率为，再列出方程即可， （2）根据总盈利＝每千克盈利×数量，列出方程即可解答； 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为a，则两次降价后的百分率为， 或（舍去）， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克涨价x元， 依题意得： 解得：，， 要尽快减少库存， 则， 答：每千克应涨价5元， 24. 阅读材料题：有这样一个题目：已知，如图1，P是正方形内一点，连接，若，，，求的长． 小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将绕点A顺时针旋转得到，再利用勾股定理即可求解本题．请根据数学老师的提示帮小明求出图1中线段的长为______． 【方法迁移】：已知：如图2，为正三角形，P为内部一点，若，，，求的大小． 【能力拓展】：已知：如图3，等腰三角形中，D、E是底边上两点且，若，，求的长． 【答案】，， 【解析】 【分析】阅读材料题：将绕点A顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质得，，从而可得，则由勾股定理即可求解； 【方法迁移】：把绕点C顺时针旋转得到，连接；由旋转的性质得是等边三角形，由勾股定理逆定理知是直角三角形，且，则可求得的度数，从而求得结果． 【能力扩展】：把绕点C逆时针旋转得到，连接，过点G作于点F，由旋转的性质得，从而得，则有，由勾股定理得，在中由勾股定理得；再证明，则；从而求得结果． 【详解】解：阅读材料题：如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得： ，，， ∴，， ∴； 在中，由勾股定理得：； 故答案为：6． 解：【方法迁移】： 如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接； 由旋转的性质得：，，； ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴． 解：【能力拓展】： 如图，把绕点C逆时针旋转得到，连接，过点G作于点F； ∵， ∴； 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∴，由勾股定理得； ∵， 则在中，由勾股定理得； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是旋转的综合问题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质等知识，关键是旋转的运用． 25. 如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）点D的坐标为，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值； （3）在对称轴上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，直接写出M点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）把点点代入即可求解； （2）四边形面积S ，即可求解． （3）分三种情况：当时，当时，当时，根据勾股定理列方程分别求解即可． 【小问1详解】 解：把点,点代入得： ， 解得：； 故抛物线的表达式为： 【小问2详解】 连接，设点 四边形面积 ； ∵，故S有最大值，当时，S的最大值为； 【小问3详解】 解：∵抛物线 ∴抛物线的对称轴为：直线，与轴交点， 设点坐标为， ∵，， ∴， ， ， ①当时，即， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②当c时，即， ∴， 整理得， ∵，此方程无解， ∴对称轴上不存在点M使， ③当时，， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点坐标为，． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 齐河三中教育集团2024—2025学年第一学期期中检测 九年级数学试题 一、选择（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列城市地铁的标志图案中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数y＝kx2﹣2x﹣3的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A. k＞﹣ B. k＞﹣且k≠0 C. k≥﹣ D. k≥﹣且k≠0 4. 把方程x2﹣4x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（　　） A. 2，3 B. 2，5 C. ﹣2，3 D. ﹣2，5 5. 将抛物线y＝（x﹣1）2+2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为（ ） A. y＝（x﹣1）2+5 B. y＝（x+2）2+6 C. y＝（x﹣4）2+6 D. y＝（x﹣3）2+5 6. 以下命题正确的是（ ） A. 任何一条直径都是圆的对称轴 B. 周长相等的圆是等圆 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 直径是圆上任意两点所连的线段 7. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转90°得到点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为（ ）寸．（1尺寸） A. 13 B. 24 C. 26 D. 28 9. 如图，四边形是边长为5的正方形，E是上一点，，将绕着点A顺时针旋转到与重合，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，若点，，在此二次函数图象上，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A. B. C. D. 12. 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①abc＞0；②4ac﹣b2＜0；③a+b+c＞0；④3a＜﹣c；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）．正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 二次函数的解析式为与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______ 14. 在平面直角坐标系中，点P（1，5）与点P′（2a+b，a+2b）关于原点对称，则a+b的值为_____． 15. 一个三角形的两边长分别为5和8，第三边长是方程的根，则三角形的周长为______． 16. 如图所示是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水的最大深度为2cm，则该输水管的直径为___________． 17. 若二次函数的最大值是3，方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________. 18. 如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②为等腰直角三角形；③平分；④．正确的是______． 三．解答（本大题共7小题，共78分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，在第二象限内，且顶点A、B、C都在格点上． （1）画出关于原点O成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕原点O顺时针方向旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在y轴上是否存在点P，使的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 21. 如图，，是一次函数与二次函数的图象的两个交点． （1）求m，n的值和二次函数的解析式． （2）请结合图象直接写出不等式的解集． 22. 如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2 m，拱高CD为2.4 m. (1)求拱桥的半径； (2)现有一艘宽3 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？ 23. 某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出250千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利3000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 24. 阅读材料题：有这样一个题目：已知，如图1，P是正方形内一点，连接，若，，，求的长． 小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将绕点A顺时针旋转得到，再利用勾股定理即可求解本题．请根据数学老师的提示帮小明求出图1中线段的长为______． 【方法迁移】：已知：如图2，为正三角形，P为内部一点，若，，，求的大小． 【能力拓展】：已知：如图3，等腰三角形中，D、E是底边上两点且，若，，求的长． 25. 如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）点D的坐标为，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值； （3）在对称轴上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，直接写出M点坐标，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $