精品解析：福建省厦门集美中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

集美中学2024-2025学年第一学期初二年级期中考 数学学科试题 （考试时间：120分钟） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也只有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，能组成三角形的是（　　） A. 2，4，6 B. 2，3，6 C. 2，5，6 D. 2，2，6 3. 已知，，则的值为（　　） A. 9 B. 18 C. 3 D. 2 4. 中，作边上的高，以下各图作法正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两直线平行，内错角相等 D. 三角形具有稳定性 6. 如图，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 8. 已知平分，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ） A. 顶角 B. 顶角的2倍 C. 顶角的一半 D. 底角的一半 10. 如图，平面直角坐标系中，直线轴于点A，，B、C分别为线段和射线上的一点，若点B从点A出发向点O运动，同时点C从点A出发沿射线方向运动，点B和点C速度之比为，运动到某时刻t秒同时停止，且点D在y轴正半轴上，若与全等，则点D的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 点关于x轴对称的点的坐标是______． 12. 如图，是等腰的顶角平分线，，则___________． 13. 如图，垂直平分线段，若，，则四边形的周长为_______． 14. 如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘cm，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为________cm． 15. 下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度． 16. 如图，等边三角形的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值为__________． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 已知一个多边形的内角和与外角和的差是1440°，求这个多边形的边数． 18. 如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 19. 如图，在中，是高，是角平分线．若，求的度数． 20. 尺规作图：有一块土地形状是三角形，其中，． （1）在图1中，要把这块三角形的土地均匀分给甲、乙两家农户，要使这两家农户所得土地是面积相等的等腰三角形，请用无刻度直尺和圆规画出分法；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在图2中，要把这块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请用无刻度直尺和圆规画出分法．（保留作图痕迹，不写作法） 21. 已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，．求证：． 22. 如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求长． 23. 在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： （1）比较，，的大小（用“＜”号连接起来）． （2）计算：． 24. 已知中，，，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1所示，若A的坐标是（，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标； （2）如图2，过点C作轴于D，求证：； （3）如图3，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点C作轴于F，求证：． 25. 我们已经学习了等腰三角形，知道在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等． （1）如图1，如果在一个三角形中，两个角不相等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？猜想：在中，如果，则______（填写“＞”“＜”或“＝”），并且请证明你的猜想； （2）如图2，在中，平分交于点，连接、，判断并证明与的大小关系； （3）如图3，在中，，的角平分线、交于点，若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集美中学2024-2025学年第一学期初二年级期中考 数学学科试题 （考试时间：120分钟） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也只有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义“在平面内，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”逐项判断即可得． 【详解】A、不是轴对称图形，此项不符题意 B、不是轴对称图形，此项不符题意 C、是轴对称图形，此项符合题意 D、不是轴对称图形，此项不符题意 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解题关键． 2. 下列各组线段中，能组成三角形的是（　　） A. 2，4，6 B. 2，3，6 C. 2，5，6 D. 2，2，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：、，不能构成三角形； 、，不能构成三角形； 、，能够组成三角形； 、，不能构成三角形． 故选． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，注意用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形． 3. 已知，，则的值为（　　） A. 9 B. 18 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了活用“同底数幂乘法的逆用”法则，熟知是解题的关键． 【详解】∵ ∴ 故选：B． 4. 中，作边上的高，以下各图作法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的高的定义对各个图形观察后即可解答． 【详解】根据三角形的高的定义，边上的高是过点C向作垂线段，观察各图形，A，B，D都不符合三角形的高的定义，只有C符合三角形的高的定义， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，熟练掌握概念是解题的关键． 5. 人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两直线平行，内错角相等 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答． 根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：D． 6. 如图，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的对应边相等推知，然后根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键． 7. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，因此到三角形三边距离相等的点是三个内角平分线的交点． 【详解】解：∵ 角平分线上的点到角的两边距离相等， ∴ 三个内角平分线的交点到三角形的三边距离相等， ∴ 该点是三条内角平分线的交点． 故选：B． 8. 已知平分，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．先根据线段之间的关系求出，再由角平分线的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， 故选A． 9. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ） A. 顶角 B. 顶角的2倍 C. 顶角的一半 D. 底角的一半 【答案】C 【解析】 【分析】作出图象根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理和直角三角形两锐角互余列式求解． 【详解】解：如图， △ABC中， ∵AB=AC，BD是高， ∴∠ABC=∠C=， 在Rt△ADC中， ∠CBD=90°-∠C=90°-， 故选C. 10. 如图，平面直角坐标系中，直线轴于点A，，B、C分别为线段和射线上的一点，若点B从点A出发向点O运动，同时点C从点A出发沿射线方向运动，点B和点C速度之比为，运动到某时刻t秒同时停止，且点D在y轴正半轴上，若与全等，则点D的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，动态问题中清晰的分类讨论是解本题的关键；本题分两种情况讨论：当时，当时，再利用全等三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】解：依题意，∵， ∴， ∵，使与全等， 分两种情况，当时，点B和点C速度之比为， ∴， ∴ 即， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∴ 即， 解得：， ∴， 综上所述，或． 故选C． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 点关于x轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：与点关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为． 12. 如图，是等腰的顶角平分线，，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质即可得到答案． 【详解】解：∵是等腰的顶角平分线， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质． 13. 如图，垂直平分线段，若，，则四边形的周长为_______． 【答案】##10厘米 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．也考查了四边形周长的定义．根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据周长的定义计算即可． 【详解】解：∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：． 14. 如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘cm，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为________cm． 【答案】65 【解析】 【分析】过点A作于点E，过点B作于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案． 【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点F， ∵，， ∴， 由对称性可知：， ∴通过闸机的物体最大宽度为cm， 故答案为：65 cm． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型． 15. 下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度． 【答案】 ①. 减少 ②. 10 【解析】 【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：①减少；②10． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 16. 如图，等边三角形的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】连接，由轴对称的性质可得也是边长为4的等边三角形，从而得到，，从而得到，证明得到，从而得到，由“两点之间，线段最短”可知，当与点重合，即点，共线时，取得最小值，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， 等边三角形的边长为4， ，， 与关于直线对称， 也是边长为4的等边三角形， ，， ， 在和中，，，， ， ， ， 由“两点之间，线段最短”可知，当与点重合，即点，共线时，取得最小值， ， 的最小值为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、两点之间，线段最短等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 已知一个多边形的内角和与外角和的差是1440°，求这个多边形的边数． 【答案】12 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据多边形内角和公式，结合所有多边形外角和都为360度列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：， 解得， ∴这个多边形的边数为12． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和与外角和综合，熟知多边形内角和公式和多边形外角和为360度是解题的关键． 18. 如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴。 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可． 【详解】略 19. 如图，在中，是高，是角平分线．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的高线，角平分线的知识，准确识图并熟记性质与定理是解题的关键．首先根据三角形的内角和等于列式求出，再根据角平分线的定义求出，接下来在中，利用直角三角形两锐角互余列式计算即可求出，然后列式计算即可求出，即可得到题目的结论． 【详解】解：， AE是角平分线， ， 是高， ， ， ， ． 20. 尺规作图：有一块土地形状是三角形，其中，． （1）在图1中，要把这块三角形的土地均匀分给甲、乙两家农户，要使这两家农户所得土地是面积相等的等腰三角形，请用无刻度直尺和圆规画出分法；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在图2中，要把这块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请用无刻度直尺和圆规画出分法．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质、三角形中线的性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）以、为圆心，大于的长度为半径画弧，相交于两点，连接两点交于，连接，、即为所求； （2）以、为圆心，大于的长度为半径画弧，相交于两点，连接两点交于，交于，连接，、、即为所求． 【小问1详解】 解：如图，、即为所求， ， 由作图可得：为的中点， ， ， 为的中线， ，， 、均为等腰三角形且面积相等； 【小问2详解】 解：如图，、、即为所求， ， 由作图可得：垂直平分， ，，， ， ， 在中，，， ， ，， ， ， ， 、、即为所求． 21. 已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，如图所示，过点A作于F，由三线合一定理得到，，再由线段的和差关系即可证明． 【详解】证明：如图所示，过点A作于F， ∵（已知）， ∴， 又∵（已知）， ∴， ∴，即（等式的性质）． 22. 如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，运用了恒等变换的思想，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案； 【小问1详解】 证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为． 23. 在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣． （i）阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小． 分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下： 解：，，， ． （ii）阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值． 分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：，， ． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： （1）比较，，的大小（用“＜”号连接起来）． （2）计算：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆用与幂的乘方法则的逆用，读懂材料并逆用这两个法则是关键； （1）发现指数606，404，202都是101的倍数，于是把这三个数都转化为指数为101的幂，然后通过比较底数的方法，即可比较大小； （2）把化为后，再利用幂的乘方及逆用同底数幂的法则、逆用积的乘方即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，，，， 而， ； 【小问2详解】 解： ． 24. 已知中，，，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1所示，若A的坐标是（，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标； （2）如图2，过点C作轴于D，求证：； （3）如图3，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点C作轴于F，求证：． 【答案】（1）C（，4） （2） 证明：如图2， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3） 证明：如图3，和的延长线相交于点D， ∴， ∵轴， ∴， 又， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵x轴平分，轴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（ 1）作轴于H，如图1，易得，，根据，，再利用等角的余角相等得到，则可根据“”证明，得到，，所以C（，4）； （ 2）与（ 1）一样的方法可证明，得到，，易得； （ 3）如图3，和的延长线相交于点D，先证明得到，再利用对称性质得，所以． 【小问1详解】 解：作轴于H，如图1， ∵点A的坐标是（，0），点B的坐标是（0，1）， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴C（，4）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质．本题的关键是利用等腰直角三角形的性质添加辅助线构建全等三角形． 25. 我们已经学习了等腰三角形，知道在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等． （1）如图1，如果在一个三角形中，两个角不相等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？猜想：在中，如果，则______（填写“＞”“＜”或“＝”），并且请证明你的猜想； （2）如图2，在中，平分交于点，连接、，判断并证明与的大小关系； （3）如图3，在中，，的角平分线、交于点，若，求． 【答案】（1）>，见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）在上截取，连接，则，由，得，因为，所以，于是得到问题的答案； （2）延长到点，使，连接，则，因为，所以，再证明，得，所以； （3）在上截取，连接，可证明，则，，所以，由，得，则，作于点，于点，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【小问1详解】 解：， 证明：如图1，在上截取，连接，则， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 证明：如图2，延长到点，使，连接，则， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图3，在上截取，连接， ，的角平分线，交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， 作于点，于点， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角、三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $