广东省深圳市宝安区富源学校2024-2025学年上学期九年级12月月考考试数学试卷

深圳市宝安区富源学校2024-2025学年上学期九年级12月月考考试数学试卷 数学试卷 考试范围：九年级上册；考试时间：90分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共8小题） 1．某物体如图所示，其左视图是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．菱形的对角线相等 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的菱形是正方形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 3．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．在一个不透明的纸箱中，共有个蓝色、红色的玻璃球，它们除颜色外其他完全相同．小柯每次摸出一个球后放回，通过多次摸球试验后发现摸到蓝色球的频率稳定在，则纸箱中红色球很可能有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个5．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为6，则的周长是（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 6．若，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A．  B．  C． D．   7．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．在正方形中，，点 E 是边的中点，连接将沿翻折，点 A 落在点 F 处，与交于点 H，点 O 是 的中点，则的长度是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共5小题） 9．已知，则的值是 ． 10．在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为 m． 11．如图，三个气球分别被三根绳子系住，绳子一同穿过封闭的纸筒，另一端固定在木板上，无法判断绳子在纸筒中纠缠情况，随机解开木板上两根绳子，能取下气球C的概率是 ．    12．如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，边与x轴交于点C，且，反比例函数（）的图象经过点A，若，则 ． 13．如图，四边形中， ，若 ，则的长为 ． 三、解答题（共7小题） 14．解方程： (1)； (2)． 15．本期开学以来，初2017级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解考体育科目训练的效果，九年级学生中随机抽取了部分学生进行了以此中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：             （1）本次抽样测试的学生人数是　　；             （2）图1中D等所在的百分比是　　，并把图2条形统计图补充完整；             （3）我校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为　　； 16．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）    (1)如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点． (2)如图2，在边上找一点，使得． 17．如图，在中，，为边上的中线，点E与点D关于直线对称，连接、．    (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，则的长为 ． 18．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元． 问题解决 任务1 若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？ 任务2 设镇流器补进x件，若，刚补进镇流器的单价为________元，补进灯管的总价为____________（用含x的代数式表示）； 任务3 若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？ 19．生活中许多问题的解决既可以采用“代数”的方法解决．也可以从“图形”的角度来研究．某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．小组成员进行了如下研究： 【问题探究】 （1）设矩形的长和宽分别为，，当时，这样的矩形存在吗？如果存在，请你求出矩形的长与宽；如果不存在，请你说明理由． （2）从矩形的面积为4可得到y与x的函数关系式为，从矩形的周长为10可得到y与x的函数关系式为： ，将满足要求的可以看成这两个函数图象在第一象限内的交点坐标．观察图象可看出交点坐标为 ，即当矩形面积为4周长是10时，这样的矩形是存在的． （3）根据上述方法请直接写出m的取值范围 ． 【拓展应用】 （4）我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图2，函数的图象G经过点，直线l：与图象G交于点B，与y轴交于点C．记图象G在点A，B之间的部分与线段，，围成的区域（不含边界）为W．若区域W内恰好有4个整点，结合图象请直接写出b的取值范围 ． 20．综合与实践 问题背景： 活动课上，同学们以正方形为背景，探究图形运动中的数学结论．已知，正方形中，，点E是射线上的一个动点，连接，以为边作正方形（点F在边所在直线的上方），连接． 探索发现： （1）如图1，勤学小组画出了点E与点C重合时的图形，此时点F到边所在直线的距离为__________； （2）如图2，创思小组画出点E恰好是线段中点时的图形，请你解答如下问题： ①判断线段与的数量关系，并说明理由； ②直接写出此时点F到边所在直线的距离； 拓展延伸： （3）如图3，博闻小组画出了点E在线段延长线上时的情形，与交于点P．若点P是线段的三等分点，请直接写出此时的长． 初三数学 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 17页 深圳市宝安区富源学校 2024-2025 学年上学期九年级 12 月月考考试数学试卷 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C D B D A A 1．A 【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯 视图，从左边看到的图形是左视图．根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：A．该图是所给几何体的左视图，符合题意； B．该图是所给几何体的俯视图，故不符合题意； C．该图不是所给几何体的左视图，故不符合题意； D．该图不是所给几何体的三视图，故不符合题意； 故选 A． 2．B 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，根据平行四边形、矩形、菱 形、正方形的判定定理逐一判断，即可得到结论，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、菱形的对角线不一定相等，故 A不符合题意； B、四个内角都相等的四边形是矩形，故 B符合题意； C、菱形的邻边本来就是相等，无法得到正方形，故 C不符合题意； D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，故 D不符合题意； 故选：B． 3．C 【分析】因为关于 x的一元二次方程 2 6 9 0kx x   有两个不相等的实数根，所以 0k  且 2 4 0b ac    ，建立关于 k的不等式组，解得 k的取值范围即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为 0 这一隐含条件． 【详解】解：∵关于 x的一元二次方程 2 6 9 0kx x   有两个不相等的实数根， 0 Δ 36 36 0 k k      ， 解得 1k  且 0k  ． 第 2页，共 17页 故选：C． 4．D 【分析】根据篮球的频率得出概率，再根据概率计算得出结论即可． 【详解】解：  20 1 20% 16   ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率的知识，根据题意得出红球的概率是解题的关键． 5．B 【分析】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．根据位似变换 的性质计算即可． 【详解】解： ABCV 和 1 1 1A BC△ 是以点 P为位似中心的位似图形，若 1 1 2 AP A P ， 故 ABCV 的周长和 1 1 1A BC△ 的周长比为1: 2， 故 1 1 1A BC△ 的周长是12， 故选：B． 6．D 【分析】根据一次函数的图象与反比例函数的图象特征逐项判断即可得． 【详解】解：A、由一次函数 2y ax  的图象与 y轴的交点在 x轴下方，则此项不符合题意； B、由一次函数 2y ax  的图象与 y轴的交点在 x轴下方，则此项不符合题意； C、由一次函数 2y ax  的图象可知 0a  ，由反比例函数 2by x  的图象可知 0b  ，则 0ab  ， 不满足 0ab  ，则此项不符合题意； D、由一次函数 2y ax  的图象可知 0a  ，由反比例函数 2by x  的图象可知 0b  ，满足 0ab  ，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象和反比例函数 的图象特征是解题关键． 7．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得出 2 12 64x x  ，设 4 12a  ，则 3a  ， 再根据题意先构造一个面积为 2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 3x的矩形，得到大正方形的面积为 264 3 4 64 36 100     ，即可得解，理解题意，准确进 第 3页，共 17页 行计算是解此题的关键． 【详解】解：∵阴影部分的面积为 64， ∴ 2 12 64x x  ， 设 4 12a  ，则 3a  ， 先构造一个面积为 2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形， 得到大正方形的面积为 264 3 4 64 36 100     ，则该方程的正数解为10 6 4  ， 故选：A． 8．A 【分析】先连接 AF ，根据翻折的性质得 AF BE⊥ ，且 AG FG ，再根据勾股定理求出 BE， 然后根据面积相等求出 AG，即可知 AF ，再以点 D为原点， AD所在的直线为 x轴，作出 平面直角坐标系，过点 F作 FK AD ，可知 AFK BEA∽ ，根据相似三角形的对应边成比 例求出 ,AK FK ，接下来得出点 F，B，A，C的坐标，即可求出直线 ,AC BF的关系式，再联 立求出方程组的解即可得出答案． 【详解】先连接 AF ， ,BE AF 交于点 G， 根据翻折的性质得 AF BE⊥ ，且 AG FG ． ∵四边形 ABCD是正方形， ∴ 4, 90AB BC CD DA BAD      ． ∵点 E是 AD的中点， ∴ 1 2 2 AE AD  ． 根据勾股定理求出 2 2 2 5BE AB AE   ， ∴ 1 1 2 2ABE S AB AE BE AG   △ ， 解得 4 5 5 AG  ， ∴ 8 5 5 AF  ． 以点 D为原点， AD所在的直线为 x轴，作出平面直角坐标系，过点 F作 FK AD ， ∵ 90FAK BAF BAF ABE     ， ∴ FAK ABE   ． ∵ 90AKF BAE    ∴ AFK BEA∽ ， 第 4页，共 17页 ∴ 8 5 45 52 5 AF FK AK BE AE AB     ， 解得 16 8, 5 5 AK FK  ， ∴ 4 8( , ), (4,0), (4, 4), (0, 4) 5 5 F A B C ， 设直线 ,AC BF的关系式为 ,AC BFy ax b y mx n    ，根据题意，得 4 44 0 , 4 84 5 5 m na b b m n          ， 解得 31 , 4 4 1 a m b n         ， ∴ 34, 1 4AC BF y x y x     ． ∴ 4 3 1 4 y x y x        ， 解得 12 16( , ) 7 7 H ． ∵点 (2, 2)O ， ∴ 2 2 12 16 2 2( 2) ( 2) 7 7 7 OH      ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定， 求一次函数关系式，平面直角坐标系内点的坐标等，作出辅助线构造相似三角形是解题的关 键． 9． 1 3 【分析】本题考查了比例的性质，根据 2 3 a b  ，设 2 3a t b t ， ，代入即可得出答案． 第 5页，共 17页 【详解】解：∵ 2 3 a b  ， ∴设 2 3a t b t ， ， ∴ 3 2 1 3 3 b a t t b t     ， 故答案为： 1 3 ． 10．12 【分析】根据某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长即可得出答 案. 【详解】设旗杆的高度为 x m, ∵ 0.8 0.6 9 x  ∴ 12x  故答案为 12 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，掌握某物体的实际高度：影长=被测物体的实际 高度：被测物体的影长是解题的关键. 11． 2 3 【分析】根据题意可知解开木板上两根绳子可能有 AB AC BC， ， 三种等可能情形，再确定 其中能取下气球C的有两种，最后根据概率公式计算即可． 【详解】随机解开木板上两根绳子可能有 AB AC BC， ， 三种等可能情形，其中能取下气球C 的有两种，所以概率为 2 3 ． 故答案为： 2 3 ． 【点睛】本题考查简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键． 12． 12 【分析】本题考查反比例函数 k值的几何意义，作 AD x 轴，垂足为D，证明 ADC BOC∽ ， 得到 2 1 4 ADC BOC S AC S BC       ，继而 2ADCS △ ，再根据 8OBCS △ ， 2BC AC ，得到 4AOCS V ， 则 6AOD ADC AOCS S S  △ △ △ ，最后由 2 AODk S 即可得解．解题的关键是熟练掌握反比例函 数 k值的几何意义：反比例函数图象上任意一点作 x轴、 y轴的垂线，所得的矩形的面积为 k ． 第 6页，共 17页 【详解】解：作 AD x 轴，垂足为D， ∵ AD y∥ 轴， 8OBCS △ ， 2BC AC ， ∴ ADC BOC   ， CAD CBO  ， ∴ ADC BOC∽ ， ∴ 2 2 1 2 4 ADC BOC S AC AC S BC AC              ， ∴ 1 8 4 ADCS △ ， ∴ 2ADCS △ ， ∵ 8OBCS △ ， 2BC AC ， ∴ 1 1 8 4 2 2AOC OBC S S   △ △ ， ∴ 2 4 6AOD ADC AOCS S S    △ △ △ ， ∴ 2 2 6 12AODk S    ， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴ 12k   ． 故答案为： 12 ． 13．1 3 / 3 1 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形、相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线， 正确运用相关性质定理是解题的关键． 过 A作 AE DC 于 E，用三角函数求出 2 6, 2 2 DE AE  ，证 ACE DCF∽ ，得 1 3 3 3, 2 2 DF CF BF BC CF      ，进而可得答案． 【详解】解：过 A作 AE DC 于 E，作DF BC 于 F，与 BC的延长线交于点 F， 第 7页，共 17页 60ADC  ， 2AD  ， 1 2cos 2 2 2 DE ADC AD       ， 3 6sin 2 2 2 AE ADC AD       ， 60ABC  ， 2AB  ， AC BC ， 在 ABCV 中， 1 3cos 2 1, sin 2 3 2 2 BC ABC AB AC ABC AB            ， Rt ACE 中，   2 2 2 2 6 63 2 2 CE AC AE            ， AE CE  ， 45EAC ECA    ， 45DCF ECA     ， 90F AEC    ， ACE DCF△ ∽△ ， DF DC AE AC   ， 2 6 2 2 6 3 2 DF    ，得 1 3 2 DF CF   ， 3 3 2 BF BC CF     ， Rt BDF 中， 1 3 32tan 33 3 2 DFDBF BF       ， 30DBF  ， 第 8页，共 17页 1 3 2 1 3 1sin30 2 DFBD        ． 故答案为：1 3 14．(1) 1 2 7x    ， 2 2 7x    (2) 1 1 2 x  ， 2 2x  【分析】本题考查解一元二次方程，解答关键是熟练掌握一元二次方程的各种解法：直接开 平方法、配方法、因式分解法、公式法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：移项，得： 2 4 3x x  ， 配方得： 2 4 4 7x x   ， 即  22 7x   ， 开平方得： 2 7x    ， 解得： 1 2 7x    ， 2 2 7x    ． （2）解：    22 1 3 2 1 0x x   ，    2 1 2 4 0x x   ， 2 1 0x   或2 4 0x   ． 1 1 2 x  ， 2 2x  ． 15．（1）25；（2）12%，补图见解析；（3）216 【分析】（1）根据 B级的人数除以 B级所占的百分比，可得答案； （2）先求出 D等级的人数，即可将条形统计图补充完整；再求出 D等级所占比例，根据圆 周角乘以 D等级所占的比例，可得扇形的圆心角； （3）利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以 D级所占的比例，可得答案． 【详解】解：（1）本次抽样测试的学生人数为：10÷40%=25（人）， 故答案为：25； （2）D等级的人数为 25﹣4﹣10﹣8=3， 第 9页，共 17页 所以 D等所在的百分比是 3 25 ×100%=12% 故答案为：12％； 条形统计图补充为： （3）1800× 3 25 =216（人）， 故答案为：216. 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图以及用样本估计总体，准确从统计图中找到相关 信息是关键. 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在OA延长线上取格点 D，在OB延长线上取格点 E，使 2OD OA ， 2OE OB ， 连接OD，OE，DE，根据位似图形的判定和性质可知 ODE即为所求作； （2）在点 A的下方取格点 G，使 3AG  ，AG OB∥ ，连接 BG交 AO于点 F，根据相似三角 形的判定和性质可知 F即为所求． 本题主要考查了网格作图——位似变换，相似变换，熟练掌握位似三角形的判定与性质，相 似三角形的判定与性质，是解题的关键． 【详解】（1）如图所示，在OA延长线上取格点 D，在OB延长线上取格点 E，使 2OD OA ， 2OE OB ，连接OD，OE，DE， 则 2 2 1 OD OE OA OB    ， ∵ DOE AOB  ， ∴ ODE OAB△ ∽△ ， 故 ODE即为所求； 第 10页，共 17页 （2）如图所示，在点 A的下方取格点 G，使 3AG  ， AG OB∥ ，连接 BG交 AO于点 F， 则 AGF OBF∽ ， ∵ 2OB  ， ∴ 3 2 AF AG OF OB   ， 故点 F即为所求作． 17．(1)见解析 (2)2 3 【分析】（1）根据轴对称性质得出 ,AE AD CE CD  ，根据直角三角形斜边上的中线性质 求出 AD CD ，再根据菱形的判定得出即可； （2）连接DE，DE交 AC于 O，利用菱形的性质和含 30度角的直角三角形的性质进行额 即可． 【详解】（1）证明：∵点 E与点 D关于直线 AC对称， ∴ ,CE CD AE AD  ， ∵ 90ACB  ，CD为边 AB上的中线， ∴ 1 2 CD AB AD  ， ∴CE CD AD AE   ， ∴四边形 AECD是菱形； （2）解：连接DE，DE交 AC于 O， 第 11页，共 17页 ∵ 30 , 2ABC AC    ，四边形 AECD是菱形， ∴ 160 , 1, 2 CAD AO AC     DE AC ， ∴ 90AOD  ， ∴ 30ADO  ， ∴ 2 2AD OA  ， 2 2 3OD AD OA   ， ∴ 2 2 3DE DO  ． 故答案为： 2 3． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线，菱形的判定和性质，含 30度角的直角三角形．熟 练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 18．任务 1：若镇流器补进 90件，则学校补进镇流器和灯管共15600元；任务 2：    160 ; 12000 30x x  ；任务 3：补进镇流器100件 【分析】任务 1：根据题意“当镇流器购买数量超过 80件时，每多购买 1件，单价下降 1元， 但单价不低于 50元”列出算式即可求解． 任务 2：设镇流器补进 x件，根据题意列出代数式即可求解； 任务 3：根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：任务 1：依题意，镇流器补进 90件，学校补进镇流器和灯管共    80 90 80 1 90 400 90 30 15600          元， 答：若镇流器补进 90件，则学校补进镇流器和灯管共15600元 任务 2：设镇流器补进 x件，若80 110x  ，刚补进镇流器的单价为  80 80 160x x    （元） 补进灯管的总价为：  400 30 12000 30x x    （元） 故答案为：    160 ; 12000 30x x  ． 任务 3：依题意，    160 12000 30 15000x x x     第 12页，共 17页 解得： 1 30x  , 2  100x  ∵80 110x  ∴ 100x  答：补进镇流器100件 【点睛】本题考查了列代数式和一元二次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，分情况 列出方程． 19．（1）存在，矩形的长为 4，宽为 1；（2） 5y x  ，(1,4)或 (4,1)；（3） 8m  ；（4） 5 1 4 b    【分析】本题是一次函数与反比例函数图象综合题，考查了一次函数、反比例函数的图象和 性质，矩形的周长和面积等，画出图象并利用图象解决问题是解题关键． （1）根据矩形的周长和面积可得  5 4x x  ，解方程即可求得答案； （2）根据矩形的周长公式可得 5y x  ，画出反比例函数和一次函数的图象，观察图象即 可得出答案； （3）由题意得：函数 4 ( 0)y x x   和 1 (0 ) 2 y m x x m    有交点，即方程 22 8 0x mx   有实 数根，利用根的判别式即可求得答案； （4）画出图象，结合图象即可得出答案． 【详解】解：（1）这样的矩形存在，长为 4，宽为 1；理由如下： 当矩形周长 10m  时， 5x y  ， ∴ 5y x  矩形面积 4S  ， 4xy  ， ∴  5 4x x  ， 解得： 4x  或 1x  （舍，不符合题意）， ∴ 5 4 1y    ， 矩形的长为 4，宽为 1； （2）由矩形的周长为 10，得： 2( ) 10x y  ， 5y x   ， 在同一坐标系中画出函数 4 ( 0)y x x   和 5 (0 5)y x x    的图象，如图 1， 第 13页，共 17页 观察图象可知：函数 4 ( 0)y x x   和 5 (0 5)y x x    的图象有 2个交点 (1,4)或 (4,1)，故这样 的矩形存在． 故答案为： 5y x  ， (1,4)或 (4,1)； （3）当矩形的面积为 4，周长为m时，函数 4 ( 0)y x x   和 1 (0 ) 2 y m x x m    有交点，  4 1 2 m x x   即 22 8 0x mx   有实数根，  2 64 0m    ， ∴ 8 0 8 0 m m      ，解得： 8m  或 8 0 8 0 m m      ，解得： 8m   8m  或 8m   （不符合题意，舍去）， 故答案为： 8m  ； （4）如图 2， 第 14页，共 17页 当直线 1 4 y x b  经过 (0, 1) 时，区域内部有 3个整数点 (1,0)、 (2,0)、 (3,0)， 此时， 1b   ， 当直线 1 4 y x b  经过 (1, 1) 时，区域内部有 4个整数点 (1,0)、 (2,0)、 (3,0)， (4,0)， 此时， 11 4 b   ， 5 4 b   ， 当区域W内恰好有 4个整点时， 5 1 4 b    ； 故答案为： 5 1 4 b    ． 20．（1）6；（2）① AF DF ；②6；（3）3 3 3 或6 【分析】（1）由正方形的性质得出 AC AF ， 6CD AB  ， 90ADC  ，再由等腰三角 形的性质即可得解； （2）①作FH AD 于 H ， 90AHF  ，证明  AASAFH EAD≌ ，得出 6AH DE FH AD  ， ，证明 AH DH 即可得出结论；②由①可得： 6FH AD = ，即可 得出答案； （3）作 FM DA 于M ，作 AN DE∥ 交DF于N ，证明  AASAMF ADE≌ 得出 6ME AD AM DE  ， ，证明 APN EPD∽ ，得出 AN AP DE PE  ，设DE x ，则 AM x ， 6DM x  ，由点 P是线段 AE的三等分点，得出 2 1: :AP PE  或 : 1: 2AP PE  ，得到 2AN x 或 1 2 AN x ，分两种情况，分别利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1） 四边形 ABCD、 ACGF为正方形， AC AF  ， 6CD AB  ， 90ADC  ， 6DF DC   ， 此时点 F 到边 AD所在直线的距离为6； （2）①如图，作FH AD 于 H ， 90AHF  ， 第 15页，共 17页 四边形 ABCD、 ACGF为正方形， AF AE  ， 90FAE ADE     ， AD CD ， 90FAH DAE   ， 90FAH AFH    ， DAE AFH   ，  AASAFH EAD ≌ ， AH DE  ， 6FH AD = ， E为DC的中点， 1 2 DE CD  ， 1 2 AH AD  ， AH DH  ， FH AD ， AF DF  ； ②由①可得： 6FH AD = ， 此时点 F 到边 AD所在直线的距离为6； （3）如图，作 FM DA 于M ，作 AN DE∥ 交DF于 N， 四边形 ABCD、 ACGF为正方形， AF AE  ， 90 ∠FAE ， 90ADC ADE   ， 90FAM EAD    ， 第 16页，共 17页 90FAM AFM    ， EAD AFM   ， 90AMF ADE     ，  AASAMF ADE ≌ ，MF DE AN∥ ∥ ， 6ME AD   ， AM DE ， 设DE x ，则 AM x ， 6DM x  ， AN DE∥ ， APN EPD ∽ ， AN AP DE PE   ， 点 P是线段 AE的三等分点， : 2 :1AP PE  或 : 1: 2AP PE  ， 2 1 AN x   或 1 2 AN x  ， 2AN x  或 1 2 AN x ， 当 2AN x 时， AMF N∥ ， DAN DMF ∽ ， AD AN DM FM   ， 6 2 6 6 x x    ， 解得： 3 3 3x    或 3 3 3x    （不符合题意，舍去）， 3 3 3DE    ， 当 1 2 AN x 时， AMF N∥ ， DAN DMF ∽ ， AD AN DM FM   ， 1 6 2 6 6 x x    ， 第 17页，共 17页 解得： 6x  或 12x   （不符合题意，舍去）， 6DE  ， 综上所述，DE的长为 3 3 3  或6． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、 相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的 关键．