精品解析：吉林省长春外国语学校2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

长春外国语学校2024-2025学年第一学期高一年级第二次月考 数学试卷 出题人：尹璐 审题人：刘健豪 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式转化为锐角三角函数，即可求值. 【详解】， 故选：A 2. 用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再判断区间端点处的函数值的符号，结合零点存在性定理判断即可. 【详解】设函数， 因为函数和都是增函数， 所以函数在上单调递增； 又，， 因此，所取的第一个区间可以是， 故选：B. 3. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义计算，逐项判断即可. 【详解】由题意，，为坐标原点， 则，，， 又，则， 故选：C 4. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过多少天．（参考数据；，）（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】先根据天后的“进步值”是“退步值”的5倍列方程，利用指对转化求值. 【详解】设天后的“进步值”是“退步值”的5倍， 则，即，两边同时取对数得， 化简得， 所以． 故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天． 故选：B． 5. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据区间上函数值的符号判断即可. 【详解】由题意，，定义域为， 又， 所以函数为偶函数；故排除AD； 当时，令，解得，， 当时，，故排除C； 故选：B. 6. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故选：D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的定义及单调性得出参数范围即可. 【详解】由对数的定义可得或， 又因为，所以， 因为，所以可得， 又因为，可得， 即，解得. 故选：C. 8. 设是定义在上的偶函数，且对任意的，有，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单调性的定义判断函数的单调性，结合偶函数的对称性即可求解. 【详解】由题意，对任意的，有， 所以函数在上单调递增，又是定义在上的偶函数， 所以函数在上单调递减， 由，得，则， 因为是定义在上的偶函数， 所以， 当时，需满足，此时函数单调递减，且，解得； 当时，需满足，此时函数单调递增，且，解得； 综上所述，解集为， 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合，，若集合与“相交”，则等于（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两个集合“相交”的定义，利用元素与集合的关系求解即可. 【详解】由题意，集合与“相交”， 当时，由，解得， 此时方程的解为，，则，满足集合与“相交”； 当时，由，解得， 此时方程的解为，，则，满足集合与“相交”； 综上所述，或； 故选：AC. 10. 下列各式正确的是（ ） A. 设，则 B. 已知，则 C. 若，，则 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：将根式化为分数指数幂，再结合指数幂运算求解；对于B：根据指数幂运算求解；对于C：将对数式化为指数式，再结合指数幂运算求解；根据对数运算求解. 【详解】对于选项A：因为，则，故A正确； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项C：若，，则， 所以，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：ABC. 11. 设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得关于，的方程，结合同角三角函数的关系，完全平方公式，平方差公式，逐项判断即可. 【详解】对于A，由题意，，是方程的两根，则， 由，得，即， 解得，则，解得，故A错误； 对于B，， 因为，所以，又，所以， 则，因此，故B正确； 对于C，由，解得， 则，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：BD. 二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知满足，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意令，解得，再令即可得解. 【详解】因为，且， 令，可得，解得； 令，可得. 故答案为：. 13. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域和单调性，二次函数的单调性，结合复合函数的单调性判断方法列不等式，求解即可. 【详解】由题意，在上恒成立，即在上恒成立， 又，则，解得，则； 因为函数是增函数，所以，在上单调递减， 则，解得； 综上所述，， 故答案为：. 14. 已知函数，，函数，，对于，，使得成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析得到在上的值域是在上的值域的子集，再根据集合间的关系进行求解. 【详解】因为， 所以且， 则的值域为； 因为对于，使得成立， 所以的值域是在上的值域的子集，显然， 当时，在上单调递增， 所以，即， 所以，解得； 当时，在上单调递减， 所以，即， 所以，解得； 综上所述，实数a的取值范围是或. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，满分77分，要求写出必要的解题过程．） 15. 已知. （1）化简； （2）若，且为第三象限角，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用诱导公式化简，再结合同角三角函数关系，即可求值. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由，得， 又为第三象限角，则， 所以，则. 16. 如图，点A，B，C是圆上的点． （1）若，，求扇形AOB的面积和弧AB的长； （2）若扇形AOB的面积为，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时的值． 【答案】（1）面积为，弧AB的长为 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据扇形的弧长公式和面积公式进行计算即可.（2）根据扇形的弧长公式和面积公式结合基本不等式的应用进行求解. 【小问1详解】 由题意知，设，所以 根据扇形弧长； 扇形面积； 【小问2详解】 由，即， 扇形的周长为当且仅当等号成立， 所以由知：． 17. 已知函数 （1）当时，求函数的定义域； （2）当时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数式中的真数大于零列不等式，结合指数函数的性质，求解即可； （2）分离参数，将能成立问题转化为函数的最值问题，利用函数的单调性求最值即可. 【小问1详解】 当时，， 则，得，解得， 因此，函数的定义域为； 【小问2详解】 由题意知，， 由，得，即， 设，， 令，， 因为函数在上单调递增，对数函数是增函数， 所以函数在上单调递增， 所以，即. 因为存在使得不等式成立， 所以，即， 因此，实数的取值范围是. 18. 已知函数，其中为第三象限角，且 （1）求的值： （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简，根据为第三象限角得到，再将弦化切，代入计算可得. （2）根据同角三角函数关系化简原式为，代入数据计算得到答案. 【小问1详解】 因为 ， 又为第三象限角，，所以， 所以. 【小问2详解】 . 19. 已知函数，． （1）若函数的图象与直线没有公共点，求的取值范围； （2）若函数，，是否存在，使的最小值为0．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由题知方程无解，利用指数函数和对数函数的性质求得函数的值域即可； （2）由题知，，利用换元法得，，最后分类讨论求函数最值即可. 【小问1详解】 由题意，方程无解， 即方程无解. 令， ， 因为，所以，则， 因此，即，所以函数的值域是. 故a的取值范围是. 【小问2详解】 由题意，. 令，则. 则，. ①当时，，，解得； ②当时，，，解得（舍去）； ③当时，，，解得（舍去）. 综上所述，存在，使得最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2024-2025学年第一学期高一年级第二次月考 数学试卷 出题人：尹璐 审题人：刘健豪 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过多少天．（参考数据；，）（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 5. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 设是定义在上的偶函数，且对任意的，有，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合，，若集合与“相交”，则等于（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 10. 下列各式正确的是（ ） A. 设，则 B. 已知，则 C. 若，，则 D. 11. 设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知满足，且，则__________． 13. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________． 14. 已知函数，，函数，，对于，，使得成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题（本题共5小题，满分77分，要求写出必要的解题过程．） 15. 已知. （1）化简； （2）若，且为第三象限角，求的值. 16. 如图，点A，B，C是圆上的点． （1）若，，求扇形AOB的面积和弧AB的长； （2）若扇形AOB的面积为，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时的值． 17. 已知函数 （1）当时，求函数的定义域； （2）当时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数，其中为第三象限角，且 （1）求的值： （2）求的值． 19. 已知函数，． （1）若函数的图象与直线没有公共点，求的取值范围； （2）若函数，，是否存在，使的最小值为0．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $