精品解析：山东省烟台市招远市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024－2025学年度第一学期期中考试 初四数学 说明： 1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 函数是反比例函数，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 2. 已知抛物线的顶点在轴上，则的值为（ ） A. 25 B. －5 C. 5 D. 10 3. 利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂=动力动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图象的顶点坐标为 B. 函数的最小值为2 C. 当时，的值为22 D. 其图象的对称轴为直线 6. 在 Rt 中，，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数和一次函数图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，延长等腰直角的斜边到，使，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 9. 如图，的一条直角边在轴上，双曲线经过斜边上的点，且，与另一直角边交于点，若，则的值为（ ）． A. B. C. D. 10. 已知二次函数图象一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 将反比例函数写成的形式，则的值为_____． 12. 把抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 13. 如图，在四边形中，，，，对角线平分．，则的面积为_____． 14. 如图，抛物线的对称轴为直线，如果关于的方程的一个解为，那么该方程的另一个解为______． 15. 如图，反比例函数图象与的两边、分别交于点、，已知轴，点A在y轴上，点C在x轴上，F为的中点，则的值为___________． 16. “十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在点观察到观景塔顶端的仰角为；再沿水平方向继续往前走到处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为，测得之间的水平距离为10米，则观景塔的高度约为_____米．（结果保留根号） 三、解答题（本大题共9个小题，满分72分，解答题要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在中，，为上的一点，，，求，，的值． 19. 已知二次函数． （1）画出函数的图象； ①把下表补充完整： x … 0 1 … y … … ②在所给的直角坐标系中，画出此函数图象． （2）根据所画的图象直接写出当时，的取值范围． 20. 行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”，刹车距离是分析交通事故的重要依据，在一条限速的公路上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后测得甲车的刹车距离为，乙车的刹车距离超过，但小于，根据两车车型查阅资料可知：甲车的车速与刹车距离之间有关系：；乙车的车速与刹车距离之间则有关系：．请从两车的速度方面分析相撞是因为谁超速了． 21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为． （1）若反比例函数的图象经过点，求此反比例函数的解析式； （2）若将向下平移个单位长度，、两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，求的值． 22. 为避免伤害器官，医学领域发明了一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器，采用新型检测技术的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离B处的C处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 23. 某市拥有丰富旅游资源，在一景区研发一款纪念品，每件成本为元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，部分数据如上表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（元/件） … 90 75 60 … （1）当销售单价为元时，每天销售的数量为_____件； （2）直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； （3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 24. 阅读下面材料． 小明遇到这样一个问题： 如图，在四边形中，，，，，求的长． 小明发现，延长与相交于点，通过构造．经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）．解决下列问题： （1）请直接写出的长为_______； （2）请你用其他与小明的发现不一样的方法来求得的长． （3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图，在四边形中，，，，，求的长． 25. 如图，抛物线的图象经过点，交轴于点，（点在点B左侧），连接，过点作交抛物线于D． （1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标； （2）若点为抛物线对称轴上一动点，连接、、．请直接写出周长的最小值及此时点的坐标； （3）若点为直线上方抛物线上一个动点，点为直线上一动点，连、、、，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第一学期期中考试 初四数学 说明： 1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 函数是反比例函数，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义的基本条件是解题的关键．根据定义，得到，计算即可． 【详解】∵函数是反比例函数， ∴， 解得， 故选C． 2. 已知抛物线的顶点在轴上，则的值为（ ） A. 25 B. －5 C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，在x轴上的点的坐标特点，先把二次函数解析式化为顶点式得到顶点坐标为，再由在x轴上的点的纵坐标为0得到，则． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， ∴， 故选：A． 3. 利用科学计算器计算，下列按键顺序正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了计算器－三角函数．简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果． 【详解】解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是： 故选：A． 4. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂=动力动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴动力F和动力臂l之间的函数解析式为， 则，是反比例函数， 又∵动力臂， 故选：B． 5. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图象的顶点坐标为 B. 函数的最小值为2 C. 当时，的值为22 D. 其图象的对称轴为直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据解析式得出开口向下，有最大值，对称轴以及增减性，即可求解． 【详解】解：关于， ，则抛物线开口向下，其图象的顶点坐标为，对称轴为直线， 最大值为， 当时，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 6. 在 Rt 中，，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用锐角三角函数关系进而表示出AB的长． 【详解】解：如图所示： ∠A＝α，AC＝1， cosα＝， 故AB＝． 故选：D 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确得出边角关系是解题关键． 7. 已知二次函数和一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，二次函数的图象性质，先由原图得出，，再分析函数的图象的开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴的负半轴，据此即可作答． 【详解】解：∵原图的二次函数的开口向上， ∴中的， ∵原图的一次函数经过第一、二、三象限， ∴一次函数中的， 则函数的开口向上， ∵， ∴， ∴函数与轴交于负半轴， ∵，， ∴，即函数的对称轴在轴的负半轴， ∴符合上述条件是C选项， 故选：C． 8. 如图，延长等腰直角的斜边到，使，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练解直角三角形是解题的关键．过点作垂直于的延长线于点，设，根据勾股定理得，由等腰直角三角形的性质得，从而得，在中，解直角三角形得，，进而求得即可求得． 【详解】解：过点作垂直于的延长线于点，如下图， ∵等腰直角的斜边为， ∴，， ∴，， 设， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，的一条直角边在轴上，双曲线经过斜边上的点，且，与另一直角边交于点，若，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比函数的几何意义，双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是．过点作轴，垂足为，根据、在双曲线上得到，再根据题意可推出，，得到，从而得到，最后由，得到，解方程即可． 【详解】解：过点作轴，垂足为， ∵， ∴， 由题意可知，， ， ， ， ∴，，， 中为底时与中为底时等高， ， 双曲线的解析式为，即， ， ，， ， 由， 得：， 解得：， 故选：D． 10. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象和系数的关系．分别判断a、b、c的符号，即可判断①；根据图象与x轴交点个数，即可判断②；把代入即可判断③；根据该二次函数的最大值，即可判断④；根据该函数的开口方向判断其增减性，即可判断⑤． 【详解】解：①由图可知：∵图象开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与y轴相交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵函数图象与x轴有两个交点， ∴，故②不正确； ③∵该函数图象经过点，对称轴为直线， ∴该函数与x轴另一个交点坐标为，， ∴， ∴当时，，故③正确； ④∵对称轴为直线，函数开口向下， ∴当时，y有最大值， 把代入得：， 把代入得：， ∵， ∴，则，故④正确； ⑤∵函数开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵对称轴为直线，， ∴，故⑤不正确， 综上：正确的有①③④． 故选：B． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 将反比例函数写成的形式，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，由即可求得k的值． 【详解】解：∵反比例函数， ∴； 故答案为：． 12. 把抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，直接根据二次函数图象平移的法则“上加下减，左加右减”即可得出结论． 【详解】解：把抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的新抛物线解析式为， 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，，，，对角线平分．，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，角平分线定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，利用角平分线的定义可得，求出的长度，利用勾股定理求出的长度，然后利用三角形的面积进行计算即可． 【详解】解：过点作，垂足为， 对角线平分．， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，抛物线的对称轴为直线，如果关于的方程的一个解为，那么该方程的另一个解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性．根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点可得答案． 【详解】解：∵关于的方程的一个解为， ∴当时，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即的另一个解为， 故答案为． 15. 如图，反比例函数的图象与的两边、分别交于点、，已知轴，点A在y轴上，点C在x轴上，F为的中点，则的值为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法求反比例函数解析式．过点F作轴于点D，过点B作轴于点G，可得，再由轴，，可得，即，从而求得，再根据反比例函数解析式求得，即可求得结果． 【详解】解：过点F作轴于点D，过点B作轴于点G， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 又∵F为的中点，， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：12． 16. “十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在点观察到观景塔顶端的仰角为；再沿水平方向继续往前走到处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为，测得之间的水平距离为10米，则观景塔的高度约为_____米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题．延长交于F，则，作于H，，根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义用表示出，根据题意列式求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：延长交于F，则，作于H， ∵坡度为的斜坡， ∴设，则， ∴，即， 解得， ∴，， 在中，， 则， 在中，， ∴， 由题意得，， 解得，， 则， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，满分72分，解答题要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接利用特殊角的三角函数值代入，再运算乘方，乘法，最后运算加减，即可作答． （2）直接利用特殊角的三角函数值代入，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，，为上的一点，，，求，，的值． 【答案】，，． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理．利用勾股定理求出的长，然后由三角函数的定义进行解题． 【详解】解：在中，，， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 已知二次函数． （1）画出函数的图象； ①把下表补充完整： x … 0 1 … y … … ②在所给的直角坐标系中，画出此函数图象． （2）根据所画的图象直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． （1）将分别代入二次函数即可补充表格； （2）由函数图象即可得出结论． 【小问1详解】 解：①表格补充如下： … 0 1 … … 0 0 … 画出图象如下图： ； 【小问2详解】 解：由图象可知： 当时，则或， 故答案为：或． 20. 行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”，刹车距离是分析交通事故的重要依据，在一条限速的公路上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后测得甲车的刹车距离为，乙车的刹车距离超过，但小于，根据两车车型查阅资料可知：甲车的车速与刹车距离之间有关系：；乙车的车速与刹车距离之间则有关系：．请从两车的速度方面分析相撞是因为谁超速了． 【答案】由于乙车超速行驶，导致两车相撞． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，由，求出乙车的速度大于，小于，可知乙车超速；由，求出甲车的速度为，可知甲车未超速，从而判断事故原因即可． 【详解】解：∵乙车的刹车距离超过，但小于， ∵ ∴乙车的速度大于，小于， ∵公路限速， ∴.乙车超速； ∵甲车的刹车距离为， 解得，或（舍去） ∵， ∴甲车未超速； ∴由于乙车超速行驶，导致两车相撞． 21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为． （1）若反比例函数的图象经过点，求此反比例函数的解析式； （2）若将向下平移个单位长度，、两点对应点恰好同时落在反比例函数图象上，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，等腰三角形的性质，矩形的判定及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，等腰三角形的性质是解题的关键； （1）根据已知求出与点坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）表示出相应的平移后与坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解． 【小问1详解】 解：过作于，过作轴于，延长交轴于点， ∵，且， ，， ， ∵， ∴ ∴轴 ∵点的坐标为． ∴， ∵轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得，， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，，轴， ∴点， ∵点的坐标为 ∴将向下平移个单位长度，， ∵平移后两点同时落在反比例函数图象上， ， ． 22. 为避免伤害器官，医学领域发明了一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器，采用新型检测技术的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离B处的C处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】新生物处到皮肤的距离约为． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关键．过点作，垂足为，在，用 与的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，联立求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为． 由题意得，，， 在中，． 在中，． ∵， ∴， ∴． 答：新生物处到皮肤的距离约为． 23. 某市拥有丰富的旅游资源，在一景区研发一款纪念品，每件成本为元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，部分数据如上表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（元/件） … 90 75 60 … （1）当销售单价为元时，每天销售的数量为_____件； （2）直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； （3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）与的函数关系式为； （3）当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用．理解题意，掌握利用待定系数法求函数解析式和正确的找出等量关系，列出等式是解题关键． （1）根据销售单价每增加元，销售数量就减少件进行求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）设每天所获利润为元，根据题意可列出关于与的关系式，再利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，销售单价每增加元，销售数量就减少件， ∴当销售单价为元时，每天销售的数量为件， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设与的函数关系式为， ∵销售单价不低于成本且不高于元， ∴， 根据表格可得：， 解得：， ∴与的函数关系式为； 【小问3详解】 解：设每天所获利润为元， 根据题意有：， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 24. 阅读下面材料． 小明遇到这样一个问题： 如图，在四边形中，，，，，求的长． 小明发现，延长与相交于点，通过构造．经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）．解决下列问题： （1）请直接写出的长为_______； （2）请你用其他与小明的发现不一样的方法来求得的长． （3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图，在四边形中，，，，，求的长． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）延长与相交于点，解直角三角形，得出的长，那么，再解直角三角形，即可求出； （2）过点作于，交于，过作于顶，由，，，得四边形是矩形，，从而，，，进而利用解直角三角形即可求得，，从而即可得解； （3）延长与相交于点．由，得出，那么，．设，则，，．在中，由，得出，求出，那么，，，再利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 解：如图，延长与相交于点，     ∵，， ∴．， ∴， ∴． 在中， ∵，，， ∴． 故答案为：； 小问2详解】 解：如图，过点作于，交于，过作于顶， ∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长与相交于点． ∵， ∴， ∴，． 设，则，，． 在中，． ∵， ∴，即， ∴． 经检验是所列方程解，且符合题意， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查的是解直角三角形，度直角三角形的性质，等角对等边，矩形的判定及性质，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 25. 如图，抛物线的图象经过点，交轴于点，（点在点B左侧），连接，过点作交抛物线于D． （1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标； （2）若点为抛物线对称轴上一动点，连接、、．请直接写出周长的最小值及此时点的坐标； （3）若点为直线上方的抛物线上一个动点，点为直线上一动点，连、、、，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1）；，； （2）的周长最小为；点的坐标为， （3）四边形的面积最大为9，此时． 【解析】 【分析】（1）把代入抛物线的解析式，求解得到的值，再令，解方程即可得出答案； （2）求得，待定系数法求出直线的解析式，从而得出直线的解析式，联立求得得出，关于抛物线的对称轴对称，直线与对称轴的交点即为点，此时，的周长为最小，据此计算即可得解； （3）过点作轴的垂线，交直线于点，设，则，则，由得到关于的二次函数，由二次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线的图象经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 解方程， 得，， ∴，； 【小问2详解】 解：由抛物线可得，对称轴为直线， 设直线的解析式为，代入点的坐标得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为，代入点的坐标得，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴， ∵如图，关于抛物线的对称轴对称， ∴直线与对称轴的交点即为点，此时， ∴最小， ∴的周长为最小， ∵直线的解析式为，当时，， 的坐标为， ∵， ∴的周长最小为； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴的垂线，交直线于点， 设点的坐标为，则，其中， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大为9，此时． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的综合应用、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$