2025年九年级中考数学专项复习课件-几何压轴题专项突破18 图形变换问题

几何压轴题专项突破 中考压轴题专项突破 图形变换问题 2025年中考数学一轮复习 1 类型1 平移 1.如图（1）,中, ,为边上的中线,将 沿射线 的方向平移,得到,其中点,，的对应点分别为,, . 图（1） 2 （1）如图（2）,当线段经过点时,连接,,请判断四边形 的形状, 并说明理由. 图（2） 3 [答案] 四边形 是矩形. 理由如下: 平移得到 , ,, , . 是中 边上的中线, , , . ， 四边形 是平行四边形. ， 四边形 是矩形. 图（2） 4 （2）将图（2）中的绕点按逆时针方向旋转得到,其中点, 的对应点分别为,,线段,分别与边交于点, .如图（3）,当 时,试猜想线段和 的数量关系,并证明. 图（3） 5 [答案] . 证明：在题图（2）中， 平移得到 ， ，，， ， . 由（1）可得， ， ， . 在题图（3）中，旋转得到 ， ， . ， 图（3） 6 ， ， . 由（1）可知，四边形 是矩形， . ， ， , . 图（3） 2.如图，是菱形的对角线，将沿射线平移得到 ， 其中交于点，点是的中点，直线交于点 . （1）如图（1），当点在的延长线上时，线段与 的数量关系是 __________. 8 （2）如图（2），当点在线段上时，（1）中线段与 的数量关系 是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由. [答案] 成立. 证明： 四边形 是菱形， ，，， ， . 由平移得，，， ， ，， ， ，四边形 是平行四边形， ， ， 9 . 点是的中点， , . 又 ， . 又 ， ， ， ， . （3）如图（3），连接,若 ，，点是 的中点，求线 段 的长. [答案] 由（2）可知 . 点是的中点， , . 在菱形中， ， . 11 过点作于点 ，如图，则 ， ， ， . 12 类型2 对称 3.如图，在矩形纸片中，点是边上一动点，连接，将 沿 折叠得到 ，并展开铺平． 13 （1）在图中，过点作，垂足为点，交于点 ;（要求：尺规作 图，保留痕迹，不写作法） [答案] 如图（1）所示. 图（1） 14 （2）在（1）所作的图形中连接，猜想并证明与 之间的关系. [答案] ， . 证明：如图（2）. 图（2） 15 四边形是矩形， . 由折叠知， ， ， . ， ， ， ， . 又 ， ， 图（2） 16 ， . 又 ， 四边形 是平行四边形， ， . 图（2） 17 4.[2024三明质检] 在中,点在上,将沿翻折得到 . （1）如图（1）,的延长线与的交点为点.求证: . 图（1） 18 证明： 四边形 是平行四边形， ， . 由折叠可得 ， ， . 图（1） 19 （2）如图（2）,的延长线恰好经过点,若为的中点.求证: . 图（2） 20 [答案] 证法一：由（1）可得 . 由折叠可得， . 为 的中点， ， ， ， ， ， . 图（2） 21 图（1） 证法二：如图（1）,连接,交于点 . 沿翻折得到 , , . 垂直平分 , 为 的中点. 为 的中点, . 四边形 是平行四边形, . 22 由（1）可得 , , ， 为 的中点. 是 的中位线， . 图（1） （3）如图（3）,交于点,若, ,.求 的长. 图（3） 24 [答案] 如图（2）,连接, . 图（2） 四边形是平行四边形, , 是菱形, , . 25 , 是等边三角形, , , . 沿翻折得到 , ,, , , , , , 即 , . 图（2） 过点作,交延长线于点,则 . , . 在中, , . 整理,得 , 解得 . 图（2） 5.综合与实践课上，伍老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动. 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边， 重合，再展开， 折痕与交于点 . 28 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点 的对应点 为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点 的对应点落 在上,折痕与交于点 . 图（1） 图（2） 29 【初步发现】 （1）图（2）中和 的位置关系为_________. [解析] 解法提示：， . 由折叠的性质，得， ， ， . 30 【深入探究】 （2）勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点 与点 重合，按步骤折叠后发现，点，,共线.请你帮他们求出 的值. 图（3） 31 图（1） [答案] 设， . 如图（1），连接 ， 在和 中， ，， ， ， . 又， . 由（1）得， ， ， ， 32 , . 在中， ， ， ，， . 图（1） 【拓展延伸】 （3）奋进小组的同学们选用了， 的矩形纸片，按步骤 进行多次折叠（选取不同位置的点），且第二步折叠中，折痕与 交于点 ，把纸片展开后，连接 （图（4）是奋进小组的一次折叠样例）.请你解 决：当为直角三角形时，直接写出 的长. 图（4） [答案] 的长为或 . 34 图（2） [解析] 解法提示：分两种情况讨论. ①当 时，如图（2），此时 . 又 ， , 四边形是正方形， . 35 图（3） ②当 时，如图（3），过点作 于 点 ， 则 . 在和 中， ，， ， ， . 又， ， . 易证 ， ，即 ， . 综上可知，的长为或 . 36 类型3 旋转 6.如图，已知和 都是等腰直角三角 形， ，, .将 绕点旋转，使得点落在 内部，连接 , . （1）求证： ; 证明：和都是等腰直角三角形， , ， ,即 ， ，即 ， ． 37 （2）当时，求 的值. [答案] 如图， 当时， ， 又 ， ． 由（1）得 ， 38 ， ， 即，， 三点共线． 在中， ， ， ， ， ． 7.[2024成都中考节选] 数学活动课上,同学们将两个全等的三角形纸片完全 重合放置,固定一个顶点,然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转,来探究图形旋 转的性质.已知三角形纸片和中,, , . 40 图（1） （1）如图（1）,连接,,在纸片绕点 旋转的过程中,试探究 的值； [答案] 由勾股定理，得 . 由旋转的性质，得 . 又 ， ， . 41 （2）如图（2）,在纸片绕点旋转的过程中,当点恰好落在 的中 线的延长线上时，延长交于点，求 的长. 图（2） 42 [答案] 如图，连接，延长交于点，延长 交 于点,连接交于点 . 点为的中点， ， ， . 由旋转可知，， ， , , . ,， ， ， 43 ， 四边形 是平行四边形. 又 ， 四边形 是矩形， ,, , ， ， . 连接 . ，， ， ， . 设，则， ， . 由勾股定理，得 ， ，解得 ， ， ， . ， ， ， . 8.如图,在中,,将绕点逆时针旋转 度 得 到,与交于点,连接,, . 46 （1）如图（1）,求证: ； 证明：设，的交点为 . ， . 又 ， . （2）如图（2）,若 ,求证:四边形 是菱形； 证明：， . 又由（1）得 ， ， . 同理可得， 四边形 是平行四边形. 又， 四边形 是菱形. 47 （3）如图（3）,若,且,求 的值. [答案] , ， 又， ， ，， . 过点作于点，则 , . 48 方法一：， . 如图（1），过点作于点 ， 图（1） 则 . 设，则，， ， . 49 方法二：如图（2），延长交的延长线于点 . 图（2） 设，则， . ， 50 ， ， ， ， ， . 图（2） 9.[2023福州质检] 如图（1）,在中, ,, ,将 绕点顺时针旋转得到,其中点是点 的对应点,且 ,连接, . 52 （1）求证: ; 证明:在中, ,, , . 绕点顺时针旋转得到 , ,, , ,, . 53 （2）如图（2）,当点在线段上时,求 的面积; [答案] 如图（1）,过点作的垂线,垂足为 , 图（1） . 记 ,则, . 54 由（1）可得, , , , . , ， . 图（1） 55 （3）直线与直线交于点,是边的中点,连接 ,在旋转过程中,求 的最大值. [答案] 由（2）得 . 当点,在 异侧时,如图（2）, 图（2） 56 , . 在四边形中, , , . 图（2） 57 当点,在 同侧时,如图（3）, 图（3） , , 58 即 , , . 取中点,连接, , . 为的中点,为 的中位线, , , 即 的最大值为4. 图（3） 59 10.如图（1），正方形 与正方形 有公共点，点， 分别在 ，上，点在正方形 的对 角线上.将正方形绕 点按逆 时针方向旋转，旋转角为 . （1）如图（1），当 时， ____; [解析] 解法提示： 四边形是正方形，四边形 是正方形， ， ， ，， . 60 （2）如图（2），当 时，连接，，求 的值; [答案] 如图（1），连接 ， 图（1） 由旋转知 . 61 在和 中， ， ， ， ， ， . 图（1） 62 （3）若，，当，，三点共线时，求 的长度. [答案] 同（2）可证 . 四边形 是正方形， ， . 四边形 是正方形， ， . ，，三点共线， . 分两种情况讨论： 63 ①当点在线段的延长线上时，如图（2），连接 . 图（2） ， . 64 ②当点在线段上时，如图（3），连接 . 图（3） ， ． 综上，当，，三点共线时，的长度为或 ． 65 11.在中， .将绕点顺时针旋转得到 ，旋转 角小于，点的对应点为点，点的对应点为点，交于点 ， 延长交于点 . 66 （1）如图（1），求证: . 证明:如图（1）,连接 . 图（1） 将绕点顺时针旋转得到 ,由旋转的性质可得 , , , , 67 ,即 , . 图（1） （2）当 时， ①如图（2），若，，求线段 的长; 69 [答案] 在中, ,, , . , , . 由旋转的性质可得 , , ,, . 由旋转的性质可得 , . 由（1）知, . 70 ②如图（3），连接，，延长交于点，判断是否为线段 的 中点，并说明理由. 图（2） [答案] 是线段 的中点. 理由如下:如图（2）,延长, 相交于点 . , . , , , . 由旋转的性质可得, . 又, , ,即是线段 的中点. 71 12.已知矩形,,,把矩形绕点 顺时针旋转,得到矩形 ,连接,交于点 . 72 （1）如图（1）,若点落在边上,过点作,垂足为点,连接 ,求 证: . 证明： , . 四边形 是矩形, , , , , . , , , 73 . , . 在与 中, . （2）如图（2）,若点在上方,连接交于点,连接,若 , ①求证: ; 75 证明：如图，过点作,垂足为点 . 四边形是矩形, , , , . , ， . , . , , ,, , （舍去）, . 76 , , , , . , , 可设,则 . 在中, , , 解得, （舍去）. ， . ②求 的长. [答案] ， ， . ， , . ,, , . 78 $$