2025年九年级中考数学专项复习-几何压轴题专项突破16 圆综合题

几何压轴题专项突破 中考压轴题专项突破 圆综合题 2025年中考数学一轮复习 1 1.如图，已知是的直径，弦于点，是上的一点， ， 的延长线交于点，连接,, ． 2 （1）若 ，求 的度数. [答案] ， . 又 ， . 是的直径，弦于点 ， ， . 3 （2）若点是 的中点． 4 ①写出与 的数量关系并证明你的结论； [答案] . 证明：由（1）知， . 又 ， ， . 点是 的中点， ， ， . 由（1）得， ， ， . ②若，，求的长（用含， 的代数式表示）． [答案] 点是 的中点， . 由①知，， ， , 即 , ， ， 7 ， , . 2.如图，是四边形的外接圆，，连接，过点作 的 平行线交于点，交的延长线于点，连接 ． 9 （1）求证：四边形 是平行四边形． 证明： ， . ， ， ， ， ． 又 ， 四边形 是平行四边形． 10 （2）已知 ， . 11 ①用含的代数式表示 的长. [答案] 如图（1），连接 ． 图（1） ，, ， ， . ， . ， ， 图（1） ②点，分别在线段，上，且．当与 相似时， 求 的值． [答案] 四边形是平行四边形， . 又, . 令，则， ． 由 可知，分以下两种情况讨论. 14 如图（2），当时， ， 图（2） 15 ， ， , ， ． 图（2） 16 如图（3），当时， ， 图（3） 17 , ． , ， . 综上所述，的值为 或4． 图（3） 18 3.如图，为的弦，点在上，平分，过点作 于 点，交于点，连接 ． 19 （1）求 的值； 图（1） [答案] 如图（1），过点作于点 ， 则 . 平分 ， . ， , , , 20 . 又 , 四边形 为矩形， ， . 图（1） （2）求证： ； [答案] 证法一：如图（1），连接 ． ， . 平分 ， , , . 由（1）知，, , . 图（1） 22 证法二：如图（1），连接 ． 由（1）知，四边形 为矩形， ， . ， ， . 又 ， ， . 图（1） 23 ， ， ，即 . 图（1） （3）当时，判断 的形状，并说明理由． [答案] 是等腰三角形.理由如下： 由（1）可知 . 又 , . , ， . 图（2） 25 如图（2），过点分别作，的垂线，垂足分别为， ． 图（2） 设，则 ， ， 26 , . , , . 又 , , ,即 , , . 图（2） ， ， . 又 ， , , . 在中， ， ， 是等腰三角形． 图（2） 4.如图，在以线段为直径的上取一点，连接，，将 沿 翻折后得到 . 29 （1）试说明点在 上； [答案] 如图，连接 ， 是 的直径， . 30 由折叠的性质，得 . 又 ， ， 为 的半径， 即点在 上. （2）在线段的延长线上取一点，使，求证：为 的 切线； 证明：由折叠的性质，可得 . 又 ， ，即 . 又 ， ， ，即 . 又是 的半径， 为 的切线. 32 （3）在（2）的条件下，分别延长线段，相交于点，若 ， ，求线段 的长. [答案] 在中， ，， ， . 由折叠的性质，可得 . 由（2）得，即 ， ， . ， ， 33 ， . 设，，则， ， , ， , . 5.如图，在的边上取一点，以为圆心，长为半径画 ， 与边相切于点，，连接交于点，连接 ，并延长 交线段于点 . （1）求证：是 的切线; 35 证明:如图, 连接 , 与边相切于点 , ,即 . 36 在和中, , . 又是 的半径, 是 的切线. （2）若，，求 的半径长; [答案] 在中,, ， ， , . 在中, , , 解得 , 的半径长为 . 38 （3）在（2）的条件下，若是的中点，求 的值. [答案] 由（1）易得， . 是的中点, , , . ,， . , , ,即 , , . 39 6.如图，在中，是锐角，，，在射线 上取一 点，过点作于点，过，，三点作 ． （1）当 时， 40 ①如图（1），若与相切于点，连接，求 的长； 图（1） 41 [答案] ，即 ，点,,在 上， 是 的直径. 与相切于点 ， ． ， ， ， 根据勾股定理，得 . 图（1） 42 ②如图（2），若经过点，求 的半径长． 图（2） 43 [答案] 如图（1），连接， . 图（1） ， 是的直径， . 44 四边形 是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， . 根据勾股定理，得 ， ． 的半径长为 . 图（1） （2）如图（3），已知与射线交于另一点，将沿 所在的直 线翻折，点的对应点记为，且恰好同时落在和边上，求此时 的长． 图（3） 46 图（2） [答案] 如图（2），过点作 交 的延长线于点，连接， ，记 与的交点为 . 由折叠知，， . ， . ， . ， 是 的直径， 47 ， ， . ， . ， ， ． 为平行四边形 边上的高， 图（2） . 又 ， ． 设，则， . ， . 根据勾股定理，得，即 ， 解得 ， ． 图（2） $$