2025年九年级中考数学专项复习课件-几何压轴题专项突破13 三点共线问题

几何压轴题专项突破 中考压轴题专项突破 三点共线问题 2025年中考数学一轮复习 1 方法一 方法二 方法三 方法四 方法五 _____________________________ ____________________________ _________________________ _______________________ ______________________________ __________________________ __________________________ 若 ，则 ，， 三点共线. 直线 交 线段 于 点 ，若 ， 则点 ， 重 合，即 ，， 三点共线. 若 ， ，则 ，， 三点 共线. 若 ， ，则 ， ， 三点 共线. 若 平分 ， 平分 ，则 ，， 三点共线. 点, 在 直线 同 侧，若 ，则 ，， 三点共线. 若， 则， ， 三点共线. 2 类型1 几何中的三点共线问题 1.[2024泉州质检节选] 如图，点,分别为的边, 上的点，作 关于的轴对称图形，延长交于点，延长至点 ， 使得，连接 . 3 （1）若 ，求证：平分 ； 证明：与关于 对称， ， . 在和中， , ， 平分 . 4 （2）在（1）的条件下，取的中点，求证：,, 三点共线. 图（1） [答案] 证法一：如图（1），连接, . 由（1）证得 ， ， ， . 设 ， ， ， . 5 在中，是 的中点， ， ， . ， ， ,, 三点共线. 图（1） 图（2） 证法二：如图（2），连接,, . ，为 的中点， ， . 由（1）知 ， 点,在以 为直径的圆上， . 同理可得 . 由（1）知 ， ， 7 . 在中， ， ， ,, 三点共线. 图（2） 2.如图，在中， ，，，将绕点 按顺 时针方向旋转得到，当点恰好落在线段上时，连接， 的 平分线交于点，连接 ． 9 （1）求 的长； [答案] ，， ， . 将绕点按顺时针方向旋转得到 ， ，，， ， ， ， . 平分， ， ， 在中， . 10 （2）求证：，， 三点共线． 证明：如图，连接 ， 由（1）知， ， 11 . 平分，且 ， ， . 又 ， ， ， ， . ， . ， ， ， ， ，， 三点共线． 3.在中，是的平分线，过点 作 ，在上截取，过作 ， 垂足为 ． （1）补全图形；（尺规作图，并在图中标出相应字母，保留作图痕迹，不 写作法） [答案] 补全图形如图（1）所示. 图（1） 14 （2）连接，求证：，， 三点共线． 图（2） 证明：如图（2），延长交于点 ． ， . 平分 ， ， . ， ， 点， 重合， ，， 三点共线． 15 4.如图，是矩形 的对角线． 16 （1）尺规作图：作绕点顺时针旋转一定角度得到的，点 的对 应点，点的对应点在 的延长线上；（要求：不写作法，保留作图痕迹） [答案] 如图（1）， 即为所求. 图（1） 17 （2）在（1）的条件下，求证：，， 三点共线． 证明：如图（2），连接，， ． 图（2） 四边形 是矩形， ，， ， 18 . 由旋转知，， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， . ， ，，， 四点共圆， ， ， ，， 三点共线． 图（2） 5.如图，在等边三角形中，为 边上一 点（点不与点，重合），连接，将 沿平移得到（其中点和点 对应），连 接．将绕点逆时针旋转至 ， 其中，分别是， 的对应点． 20 （1）用无刻度的直尺和圆规作 ；（保留作图痕迹，不写作法） [答案] 如图， 即为所求. 21 （2）求证：，， 三点共线． 证明：如图，连接， . 为等边三角形， . 由平移得，， ， 四边形 为平行四边形， ， . 由旋转得， ， ， 22 为等边三角形， ， ，， 三点共线． 6.已知两直线交于点，，，是其中一条直线上的三个点，，， 是 另一条直线上的三个点，且，．求证： ， ， 三线共点． 24 证明：如图，连接，．设和交于点 ． 在中，， ， . 在中，， ， 25 为 的中点. 在中，， ， 为 的重心， 即过点 ． ，， 三线共点． 7.四边形的对角线，点，分别是，的中点，过点 作 于点，过点作于点，求证：，， 三直线交于 一点． 27 证明：如图，取的中点，连接，， . 点，分别为， 的中点， 为 的中位线， . ， 28 垂直直线 . 同理可得，是的中位线，直线垂直于，是 的中 位线， ， 的三条高分别在直线，，上，直线，， 的交点 为 的垂心， 直线，， 交于一点． 类型2 代数中的三点共线问题 代数中三点共线问 题的证明思路 任选两点确定一条直线，利用待定系数法求出该直线的 解析式，将第三个点坐标代入，若满足解析式，则三点 共线. 30 8.[2023福建中考节选] 已知抛物线交轴于， 两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与， 重合的相异两点，记 的中点为，直线，的交点为 . （1）求抛物线的函数表达式; [答案] 因为抛物线经过点， ， 所以解得 所以抛物线的函数表达式为 . 31 （2）若，，且，求证：，， 三点共线. 证明：设直线的函数表达式为 ， 因为为的中点，所以 . 又因为，所以解得 所以直线的函数表达式为 . 因为点在抛物线上，所以，解得或 . 又因为，所以，所以 . 因为，即满足直线 的函数表达式， 所以点在直线上，即，， 三点共线. 32 9.如图，在平面直角坐标系中，点为原点，函数 与函数 的图象交于点，．已知，点的横坐标是 ， 点的纵坐标是 ． 33 （1）求， 的值. [答案] 对于，当时， ， 点的坐标为 . 点在反比例函数 的图象上， ， 反比例函数的表达式为 . 对于，当时， ， 点的坐标为 ， 34 将代入，得 , 解得 ， ， . （2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第一象限交于点;过点 作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第三象限交于点．求证：，， 三点共线． 证明：由题易得，， ， 如图，作直线 . 36 设直线的表达式为 ， 将， 分别代入， 得解得 直线的表达式为 . 对于，当时， ， 坐标原点在直线上，即，， 三点共线． 37 10.直觉的误差：有一张的正方形纸片，面积是 ．把这张 纸片按图（1）所示剪成四张小纸片，其中两张是三角形，另外两张是梯 形．把剪出的四张小纸片按图（2）所示重新拼合，这样就得到了一个 的长方形，面积是，比剪之前多了 . 小明给出如下证明：如图（2），可知________， ___ _____． ， . ， ， ， 38 ，， 三点不共线， 同理，， 三点不共线， 拼合的长方形内部有空隙，故面积多了 ． 图（1） 图（2） 39 （1）将小明的证明补充完整； [答案] ; 40 （2）小红给出的证明思路为：以点为原点，所在的直线为 轴，建立平 面直角坐标系，证明三点不共线，请你帮小红完成她的证明． 证明：以为原点，所在的直线为轴， 所在的 直线为轴建立平面直角坐标系，延长交 于点 ，如图所示. 依题意得拼接的四边形 为矩形， 则四边形，四边形 都是矩形， ，， , , ， ， 41 ，，， ， 连接，设直线的表达式为 ， 将， 分别代入， 得解得 直线的表达式为 . 对于，当时， ， 点不在直线 上， ，， 三点不共线. 对于，当时， ， 点不在直线 上， ，， 三点不共线. 拼合的长方形内部有空隙，故面积多了 ． $$