2025年九年级中考数学专项复习课件-函数压轴题专项突破5 二次函数中的角度问题

函数压轴题专项突破 中考压轴题专项突破 培优专项 二次函数中的角度问题 2025年中考数学一轮复习 1 例 如图，二次函数 的图象与 轴交 于点，（点在点的左侧），与 轴交于点 ，二次函数图象的顶点为．连接， ， ，若，求点 的坐标． 2 图（1） [答案] 方法一：如图（1），过点作 交于点 ， 则 . 又， ， . ， . 令，解得 或 ， 3 ， . 当时，， . 设直线的解析式为 ，将 ， 分别代入， 得解得 直线的解析式为 . 直线的解析式为 . 用待定系数法可求得直线 的解析式为 . 图（1） 联立，得解得 ， ， ， ， ， 解得 ， . 方法二：令，解得或 ， 图（1） ， . ， . 当时，， . ， . 图（1） 如图（2），过点作轴的平行线，过点作于点 ， 图（2） 7 则 . ， . 又 ， ， ， ，， ， ，解得或 . ， . . 图（2） 提分特训 1.如图，二次函数的图象与轴交于，（点在点 的左 侧）两点，与轴交于点．直线经过，两点，连接 ． 9 （1）求抛物线的函数表达式． [答案] 在直线 中， 当时，，当时， ， ，两点的坐标分别为， . 将，两点的坐标分别代入 ，得 解得 抛物线的函数表达式为 . 10 （2）在抛物线上是否存在除点外的点，使得 ？若存在， 请求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由． 11 [答案] 存在. 如图，设点关于轴的对称点为点，则 ， ，且直线 与抛物线的交点 （异于点）即为点 . 令，解得， ， 则 . 设直线的函数表达式为，将点， 的 坐标分别代入，得 12 解得 . 令，解得， . 对于，当时， ， 点的坐标为 . 2.如图，二次函数的图象与 轴分别交于点 ，，与轴交于点，， 为抛物线上的两点． 14 （1）求二次函数的表达式. [答案] 方法一：抛物线与轴交于点 ， 抛物线的表达式为 . 把，分别代入 ， 得解得 二次函数的表达式为 . 方法二：二次函数的图象与轴分别交于点 ， ， 二次函数的表达式可写为 . 将代入，得，解得 ， 二次函数的表达式为 . 15 （2）当，两点关于抛物线对称轴对称，是以点 为直角顶点的直 角三角形时，求点 的坐标. [答案] ， 抛物线的对称轴为直线 ， 16 如图，，两点关于抛物线的对称轴对称， ， . 设 . 17 ， ， ， 整理，得 ， 解得， （不合题意，舍去）， ， 点的坐标为 . 3.如图，抛物线经过 ， 两点，与轴交于点， 为第四象限内抛 物线上一个动点，过点作轴于点 ，连 接，，与轴交于点 . 19 （1）求抛物线的函数表达式； [答案] 将，分别代入 ， 得解得 抛物线的函数表达式为 . （2）求四边形 面积的最大值； [答案] 设点的坐标为，则 ， ， 当时，四边形 的面积最大，最大值为6. 20 （3）当时，求直线的函数表达式及点 的坐标. [答案] 如图，， . 21 又， ， , ， . 设 ， 由，得 , ，解得， . 设直线的函数表达式为 . 将， 分别代入， 得解得 直线的函数表达式为 . 联立，得解得（舍）或 . 4.如图（1），已知抛物线与轴交于， 两点， 与轴交于点，作直线 ． 图（1） 备用图 24 （1）求抛物线的函数表达式，并直接写出点 的坐标. [答案] 将,分别代入 中， 得 解得 该抛物线的函数表达式为 . 点的坐标为 . 25 图（2） （2）如图（2）， 是第二象限抛物线上的一 个动点，过点作 轴的垂线，与第一象限的抛 物线交于点，与直线交于点，与 轴交于 点，点关于直线的对称点为 轴上的点 ．设点的横坐标为 ．请探究如下问题： 26 ①当时，求 的值. [答案] 是抛物线上的一个动点，横坐标为 ， 点的坐标为 . 轴交轴于点，在第一象限交抛物线于点 ， 点的纵坐标为 . 点， . 点关于直线的对称点为点 , . 点和点 是抛物线上的一对对称点， 27 即关于直线 对称， . ， , 解得（舍去）, , . ②试探究：点在运动过程中，是否存在某一位置，使得 ？ 若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由． 29 [答案] 在中， ， ， . 在线段的延长线上截取，连接 ，如 图，则 . 易得 ， 当时， ， . 当点在轴下方时， ； 当点在轴上方时， . 综上，的长为或 . 30 $$