上海市南洋中学2024-2025学年高二上学期12月学习能力诊断测试数学试卷

2421高二年级数学学科12月学习能力诊断测试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 直线和的夹角为_____.（用反三角形式表示） 2. 方程表示圆，则的取值范围是__________ 3. 直线绕点逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为______． 4. 若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为___________ 5. 已知，，，若、、三向量共面，则实数等于_____. 6. 在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是_____. 7. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，，则原图形周长是____． 8. 如图，在三棱锥D-AEF中，分别是DA，DE，DF的中点，B，C分别是AE，AF的中点，设三棱柱的体积为，三棱锥D-AEF的体积为，则___________. 9. 已知圆与直线相切，则圆关于直线对称的圆的标准方程为_____. 10. 在四棱锥中，底面为正方形，，为空间中一动点，为的中点，平面.若，则的轨迹围成封闭图形的体积为________. 11. 新定义：如图，圆与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，交圆于、两点（在、之间），我们把点称为圆关于直线的“近点”，把的值称为圆关于直线的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作圆.若与直线相离，点是圆关于直线的“近点”，且圆关于直线的“秘钥数”是，则直线的表达式为_____. 12. 如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，、分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为_____. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13分，其中13题每题4分，15~16题每题5分） 13. 已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 14. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 以上都不正确 15. 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是弧的中点，设是弧上的一点，且，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 16. 已知一圆锥底面圆的直径为，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. （1）求直线的方程； （2）直线恒过定点，求点到直线的距离. 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． （1）求证：CE∥平面PAD； （2）求点B到平面PCF的距离. 19. 如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C. （1）求球冠所在球的半径R(结果用h､r表示)； （2）已知球冠表面积公式为，当，时，求的值及球冠所在球的表面积. 20. 如图，在直角梯形中，，，且现以为一边向外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，如图． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的正切值． 21. 在平面直角坐标系中，已知射线OA：x﹣y＝0（x≥0），OB：2x+y＝0（x≥0）．过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B． （1）当AB的中点在直线x﹣2y＝0上时，求直线AB的方程； （2）当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程； （3）当|PA|•|PB|取最小值时，求直线AB的方程． 2421高二年级数学学科12月学习能力诊断测试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】12 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】或 【12题答案】 【答案】2 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13分，其中13题每题4分，15~16题每题5分） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】B 二、解答题（本大题共有5题，满分78分） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明：取 中点 ，连接、， 由于 是 的中点，则，， 由于，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 由于 ，平面 ， 所以 平面 . （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）； 【20题答案】 【答案】（1）证明：在正方形中，， 又平面平面，且平面平面，平面， 平面，又平面，， 在直角梯形中，，，得． 在中，，，， ．，，平面 平面． （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $