16.3 角的平分线（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

16.3 角的平分线 数学（冀教版） 八年级 上册 第十六章 轴对称和中心对称 学习目标 1.掌握角的平分线性质； 2.掌握角的平分线判定； 　 温故知新 角平分线的概念 一条射线 把一个角 分成两个相等的角， 这条射线叫做 o B C A 1 2 这个角的平分线。 　 导入新课 1.下图中表示点P到直线l的距离的是________________. 线段PC的长 点到直线的距离是指： 点到直线的垂线段的长度. ● P ● A ● B ● D ● C 2. 如果点P在线段AB的垂直平分线上，那么____________； 反过来，如果QA=QB，那么点Q在______________________. PA=PB 线段AB的垂直平分线上 讲授新课 知识点一 角平分线的性质 如图，OC是∠AOB的平分线。 把∠1沿OC翻折， ∵∠1=∠2， ∴射线OA与射线OB重合。 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。 O B C A 1 2 讲授新课 操作——如图，在∠AOB的平分线上任意取一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD。PC与PD相等吗？ O B A D P C 讲授新课 我们可以运用图形运动的方法，利用角的轴对称性，证明PC=PD。 O B A D P C O B(A) D(C) P 把图中的△POC沿PO翻折，∵∠AOP=∠BOP，∴OA=OB重合。 ∵PC⊥OA，PD⊥OB，依据基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，可知PC与PD重合，∴PC=PD。 讲授新课 角平分线的性质定理： 角平分线上的点 到角两边的距离相等． O A B C P D E P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 ∵OC平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE（角平分线上的点 到角两边的距离相等）. 符号语言： 注意：一定要表明是两条垂线段. 用途： 推出相等的线段. 讲授新课 典例精析 【例1】点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于7，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（　　） A．PQ＜7 B．PQ＞7 C．PQ≥7 D．PQ≤7 C 【分析】 ∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于7， ∴点P到OB边的距离等于7，（角平分线上的点到角两边的距离相等） 由“垂线段最短”可知：PQ≥7。 讲授新课 练一练 1、如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直，若AD=12，则点P到BC的距离是________。 【分析】如图，过P作PE⊥BC交于E， ∵AB∥CD，AD⊥AB， ∴AD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD， ∴PA=PE=PD，（角平分线上的点到角两边的距离相等） ∴PE=AD=6。 6 E 讲授新课 2、如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，S△ABC=30，DE=4，BC=10，则AC的长是________。 【分析】如图，过点D作DF⊥AC，垂足为F， F ∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE=DF=4，（角平分线上的点到角两边的距离相等） ∵S△ABC=S△ADC+S△BDC=30，BC=10， ∴AC•DF+BC•DE=30， ∴AC×4+×10×4=30，解得：AC=5。 5 讲授新课 3、如图，在△ADC中，AD=DC，且AB∥DC，CB⊥AB于点B，CE⊥AD交AD的延长线于点E。 (1)求证：CE=CB； (2)连接BE，求证：AC垂直平分BE。 证明：(1)∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA， ∵AB∥CD，∴∠DCA=∠CAB， ∴∠DAC=∠CAB，即AC是∠EAB的平分线， ∵CE⊥AE，CB⊥AB， ∴CE=CB；（角平分线上的点到角两边的距离相等） 讲授新课 (2)∵CE⊥AE，CB⊥AB，∴∠CEA=∠CBA=90°， 在Rt△CEA和Rt△CBA中， ， ∴Rt△CEA≌Rt△CBA（HL），∴AE=AB，∴点A在线段BE的垂直平分线上， ∵CE=CB，∴点C在线段BE的垂直平分线上， ∴AC垂直平分BE。 讲授新课 知识点二 角平分线的判定 A B O 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD =PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 想一想 ？ D E P 讲授新课 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△CEO和Rt△CFO 中， （全等三角形的对应角相等）. OC=OC（公共边）， CE=CF （已知 ）， ∵CE⊥OA,CF⊥OB. ∴∠CEO=∠CFO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD =PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上. A B O D E P 讲授新课 A B O 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD =PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 想一想 ？ 角的平分线的判定： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. D E P 符号语言 ∵ ∴ 讲授新课 角的平分线的判定： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. A B O D E P （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等。 定理的作用：判断点是否在角平分线上。 讲授新课 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点 三角形的内角平分线 讲授新课 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等 你能证明这个结论吗？ 讲授新课 想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上. 结论： 三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等。 D E F A B C P N M 讲授新课 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 讲授新课 复习——用直尺和圆规分别作△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，再作△ABC的角平分线CQ。由此你有什么发现？ A C B E D P Q 角平分线CQ也经过点P。 讲授新课 你能证明上述结论吗？ 已知：如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P。 求证：点P在∠C的平分线上。 证明：如图，过点P作PF⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC，垂足分别为F、M、N， ∵AD平分∠BAC，点P在AD上， ∴PF=PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 同理：PF=PM，∴PM=PN， ∴点P在∠C的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。 A C B D E P N F M 讲授新课 如图，三角形的3条角平分线交于一点，且该点到三角形三边的距离相等。 A C B D E P N F M 讲授新课 典例精析 【例2】已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E、F. 求证：EB=FC. A B C D E F 证明： ∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE=DF，∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 讲授新课 练一练 1、如图所示，在△ABC中，BD=CD，∠ABD=∠ACD. 求证：AD平分∠BAC. A B C D M N 证明：如图，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，则∠BMD=∠CND=90°.在△BDM和△CDN中, ∴△BDM≌△CDN(AAS). ∴DM=DN.又∵DM⊥AB，DN⊥AC, ∴AD平分∠BAC. 讲授新课 1. 应用角平分线的性质时，“角的平分线”“角平分线上的点到角两边的距离”两个条件缺一不可，不能错用为“角平分线上的点到角两边任意点的距离相等”. 2. 应用角平分线的判定时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”. 3.常用辅助线：过角平分线上一点向两边作垂线段. 当堂检测 1. 如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是(　　) A.2 B.3 C. 1 D.4 D E O B A ● D P C 当堂检测 2. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B. 下列结论中不一定成立的是(　　) A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP D O ● B P A 当堂检测 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是_____ 6 cm A C D B E 当堂检测 4.如图，AD为△ABC的角平分线，DF⊥AC于点F，∠B=90°，DE=DC. 求证：BE=FC. B A D C E F 证明:∵∠B=90°, ∴BD⊥AB.又∵AD为△ABC的角平分线，且DF⊥AC, ∴DB=DF.在Rt△BDE和Rt△FDC中, ∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL).∴BE=FC. 当堂检测 5.已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG. 求证：OC是∠AOB的平分线. O B A E C D P F G 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDF=∠PEG=90°. 在Rt△PFD和Rt△PGE中, ∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL), ∴PD=PE. ∵P是OC上点，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴OC是∠AOB的平分线. 当堂检测 6. 如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N. 求证：PM=PN. P M B C N A D 证明：∵BD是∠ABC的平分线, ∴∠ABD=∠CBD. 在△ABD和△CBD中, ∴△ABD≌△CBD, ∴∠ADB=∠CDB. ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN. 当堂检测 7、如图，已知△ABC的∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D。 证明：AD是∠BAC的平分线。 【分析】如图，过D作DE⊥AB交于E，过D作DF⊥AC交于F，过D作DG⊥BC交于G， ∵△ABC的∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D， ∴DE=DG，DF=DG，（角平分线上的点到角两边的距离相等） ∴DE=DF， ∴点D在∠BAC的平分线上,（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上） 即AD是∠BAC的平分线。 E F G 当堂检测 8. 如图，AB∥CD，∠BAC、∠ACD的平分线相交于点P，过点P作PE⊥AB于点E，交CD于点F，EF=10，求点P到AC的距离.  B A F C E P D H 解：如图，过点P作PH⊥AC于点H. ∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC, ∴PE=PH. ∵AB∥CD，PE⊥AB， ∴PF⊥CD. ∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC, ∴PF=PH， ∴PH=PE=PF=EF=5, 即点P到AC的距离为5. 课堂小结 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段的长度相等 判定定理 在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 常用辅助线：过角平分线上一点向两边作垂线段. 谢 谢~ $$