专题05 概率（考点清单，5考点&8题型解读）（期末复习知识清单）高二数学上学期北师大版

专题05 概率 【清单01】随机事件的条件概率 （一）定义 一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． （二）性质 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． （3）如果与互斥，则． 注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； （2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 【清单02】相互独立与条件概率的关系 （一）相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （2）概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （3）相互独立事件的性质 如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． （二）事件的独立性 （1）事件与相互独立的充要条件是． （2）当时，与独立的充要条件是． （3）如果，与独立，则成立． 【清单03】基全概率公式 （一）全概率公式 （1）； （2）定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②；③，． 则对中的任意事件，都有，且． 注意：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （二）贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②；③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 注意：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系． 【清单04】离散型随机变量及其分布列 1、随机变量 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示． 2、离散型随机变量 对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列的表示 一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： 我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列． 4、离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1），；（2）． 【清单05】离散型随机变量均值和方差 1、均值 若离散型随机变量的分布列为 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2、均值的性质 （1）（为常数）． （2）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （3）． （4）如果相互独立，则． 3、方差 若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差． 4、方差的性质 （1）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （2）方差公式的变形：． 【清单06】二项分布 1、定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2、二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差 若，则，． 【清单07】超几何分布 1、定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2、超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 【清单08】正态分布 1、定义 随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2、原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 【考点题型一】随机变量的条件概率和相互独立 【例1】.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】.“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】.已知事件 和 相互独立，且则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】.高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一-排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．理论上，小球落入2号容器的概率是多少（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】.（多选）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于4”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（   ） A． B．事件A与事件C互斥 C．事件A与C相互独立 D． 【变式1-5】.（多选）已知随机事件，则下列说法正确的是（   ） A．若，则事件与事件相互独立 B．若，则事件与事件互为对立 C．若事件两两独立，则 D．若事件两两互斥，则 【考点题型二】全概率公式 【例2】.已知某家族有A、B两种遗传性状，该家族某位成员出现A性状的概率为，出现B性状的概率为，A、B两种遗传性状都不出现的概率为．则该成员在出现A性状的条件下，出现B性状的概率为 ． 【变式2-1】.已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（多选）现有编号分别为的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为的盒中”，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自盒的概率最小 【变式2-3】.（多选）假设甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.下列选项正确的是（   ） A．从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为 B．从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为 C．从乙袋中取出的2个球是红球的概率为 D．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为 【变式2-4】.甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色外，其他均相同．现从甲乙两袋中各自任取一个球，且交换放入另一袋中，重复进行n次这样的操作后，记甲袋中的白球数为，甲袋中恰有一个白球的概率为 (1)求； (2)求的解析式； (3)求． 【考点题型3】随机变量的分布列 【例3】.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得分，没有命中得分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得分。假设该射手完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立. (1)求该选手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分的分布列及其数学期望. 【变式3-1】.下表是离散型随机变量的概率分布，则常数a的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 【变式3-2】.（多选）某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为，则（    ） A．乙组同学恰好命中2次的概率为 B．甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率 C．甲组同学命中次数的方差为 D．乙组同学命中次数的数学期望为 【变式3-3】.某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个200元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数T的分布列为 4 5 6 7 0.3 0.2 0.4 0.1 表示2台设备使用期间需更换的零件个数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数. (1)求的分布列； (2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选择哪一个? 【变式3-4】.门卫室有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，由于借钥匙开门的员工不知哪把是开门的钥匙，他只好逐一尝试．若不能开门，则标记后换一把钥匙继续尝试开门，记打开门时，试开门的次数为X． (1)试求X的分布； (2)该员工至多试开3次的概率． 【考点题型四】二项分布、超几何分布 【例4】.（多选）已知离散型随机变量，其中，则（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则为奇数的概率为 【变式4-1】.数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动次，则质点位于的位置的概率是（    ）    A． B． C． D． 【变式4-2】.（多选）一纸盒中共有6张形状和质地一样的卡片，其中4张是红色卡片，2张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地随机取4次，每次取1张卡片，取到红色卡片记1分，取到黄色卡片记0分，记4次取卡片所得的总分数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】.某导弹试验基地对新研制的两种导弹进行试验，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为. (1)若一枚导弹击中一个空中目标，且一枚导弹击中一个地面目标的概率为，一枚导弹击中一个地面目标，且一枚导弹击中一个空中目标的概率为，比较的大小； (2)现有两枚A导弹，一枚导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标（每枚导弹各射击一个目标），请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目标的个数的分布列和期望. 【变式4-4】.某校为了了解学情，对各学科的学习兴趣作了问卷调查，经过数据整理得到下表： 语文兴趣 数学兴趣 英语兴趣 物理兴趣 化学兴趣 生物兴趣 答卷份数 350 470 380 400 300 500 兴趣良好频率 0.7 0.9 0.8 0.5 0.8 0.8 假设每份调查问卷只调查一科，各类调查是否达到良好的标准相互独立． (1)从收集的答卷中随机选取一份，求这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率； (2)从该校任选一位同学，试估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两科兴趣良好的概率； (3)按分层抽样的方法从参与物理兴趣和化学兴趣调查的同学中抽取7人，再从这7人中抽取3人，记3人中来自化学兴趣的人数为，求的分布列和期望． 【变式4-5】.北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列. 【考点题型五】正态分布 【例5】.某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛．已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率； (2)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩近似服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (3)复赛规则如下：①复赛题目由、两类问题组成，答对类问题得分，不答或答错得分；答对类问题得分，不答或答错得分；②、两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．已知参加复赛的学生甲答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关．为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由． 附：若，则，，；． 【变式5-1】.（多选）某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，则（    ） A． B．越小，越大 C． D． 【变式5-2】.已知随机变量X服从二项分布，且随机变量Y服从正态分布．若，则 ． 【变式5-3】.某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 58 60 63 64 件数（单位：件） 5 25 45 20 5 (1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线和第2条生产线生产的零件件数比是3:1．若第1、2条生产线的废品率分别为0.004和0.008，且这两条生产线是否产出废品是相独立的．现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件． （ⅰ）求抽取的零件为废品的概率； （ⅱ）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率． 参考数据：若随机变量，则，， 【变式5-4】.某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩，现规定：成绩在的同学为“成绩顶尖”，在的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”. (1)已知高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数（小数按四舍五入取整处理）； (2)现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率： (3)为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分.请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由. （参考数据：若，则，）. 1．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 若随机变量，则等于（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 2．设随机变量，若，则的最大值为（   ） A．4 B．3 C． D． 3．（多选）下列命题正确的是（   ） A．数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6 B．设随机变量，若，则的最大值为 C．对于随机事件A，B，若，，，则与相互独立 D．已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120 4．（多选）如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生.设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（    ） （参考数据：） A．变量服从正态分布 B． C． D． 5．（多选）下列命题中，真命题有（   ） A．若随机变量，则 B．数据的第百分位数是 C．若事件满足且，则与独立 D．若随机变量，则 6．（多选）已知随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A．随机变量的均值为8 B．随机变量的方差为16 C． D． 7．甲､乙两气象站同时作天气预报，如果甲站､乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲､乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站､乙站预报都错误的概率为 . 8．通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中 班获胜的可能性更大． 9．已知随机变量服从二项分布，若，则 . 10．单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从A，B，C，D四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分. (1)考生甲有一道单项选择题不会做，他随机选择一个选项，求他猜对本题得5分的概率； (2)考生乙有一道答案为ABD多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他猜对本题得4分的概率； (3)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为.丙、丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18分的概率. 11．某中学举办科学竞技活动，报名参加科学竞技活动的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，设有三门考试科目且每门是否通过相互独立，至少有两门通过，则认为是笔试合格.若笔试不合格，则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.面试合格者代表年级组参加全校的决赛.现有某年级甲、乙两名学生报名参加本次竞技活动，假设笔试中甲每门合格的概率均为，乙每门合格的概率分别是，，，甲、乙面试合格的概率分别是，. (1)求甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率； (2)求甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率. 12．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题. (1)学生甲恰好答对两题的概率是多少？ (2)求学生甲答对的题数X的分布列. 13．从某学校的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人.    (1)求第七组的频率； (2)估计该校名男生的身高的中位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，，事件，求. 14．转盘游戏的规则如下：将转盘进行十等分，从1到10依次进行标注，参与者转动转盘，转盘停止时，指针指到的数字记为分数，转盘游戏可进行多轮，每轮转动两次转盘，进行两次分别计分，选手甲参加十轮游戏，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 8 5 9 7 10 7 7 6 8 9 第二次分数 8 9 8 7 7 9 8 7 9 10 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于8分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”． (1)若从以上选手甲的十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； (2)假设选手甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否“稳定发挥”以频率估计概率．记X为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数，求X的分布列和数学期望． 15．北京地铁四号线被誉为“学霸地铁”，因为它贯穿了几所国内特别有名的高校，某校5名高中生利用暑假假期去北京游学，他们在动物园站开始乘坐4号线，以下几个站：国家图书馆，魏公村，人民大学，中关村，北京大学为他们的可能参观点，由于时间安排和个人喜好不同，他们各自行动，每人选一个自己最喜欢的景点，每个人在北京大学站下车的概率为，在其他站下车的概率均为，且不走回头路，在圆明园站汇合，每个人在各个车站下车互不影响.    (1)求在魏公村下车的人数的分布列及期望； (2)已知贾同学比李同学先下车，求贾同学在魏公村下车且李同学在北京大学站下车的概率. 16．某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下： 决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军； 如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3∶0，则不需再答第4轮了； 设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望； (2)求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率． 17．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望和方差； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（写出证明）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 概率 【清单01】随机事件的条件概率 （一）定义 一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． （二）性质 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． （3）如果与互斥，则． 注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； （2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 【清单02】相互独立与条件概率的关系 （一）相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （2）概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （3）相互独立事件的性质 如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． （二）事件的独立性 （1）事件与相互独立的充要条件是． （2）当时，与独立的充要条件是． （3）如果，与独立，则成立． 【清单03】基全概率公式 （一）全概率公式 （1）； （2）定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②；③，． 则对中的任意事件，都有，且． 注意：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （二）贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②；③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 注意：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系． 【清单04】离散型随机变量及其分布列 1、随机变量 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示． 2、离散型随机变量 对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列的表示 一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： 我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列． 4、离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1），；（2）． 【清单05】离散型随机变量均值和方差 1、均值 若离散型随机变量的分布列为 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2、均值的性质 （1）（为常数）． （2）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （3）． （4）如果相互独立，则． 3、方差 若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差． 4、方差的性质 （1）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （2）方差公式的变形：． 【清单06】二项分布 1、定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2、二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差 若，则，． 【清单07】超几何分布 1、定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2、超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 【清单08】正态分布 1、定义 随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2、原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 【考点题型一】随机变量的条件概率和相互独立 【例1】.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”， 连续上两天班，上班、下班的次数共有4次. (1)4次均不下雨，概率为：； (2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：； (3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况： ①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨； 概率为：； (4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨， 概率为：； (5)4次均下雨，概率为：； 两天都不淋雨的概率为：， 所以至少有一天淋雨的概率为：. 故选：D. 【变式1-1】.“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为约定连胜两场者赢得比赛， 所以比赛6场后甲赢得比赛的情况为： 第一场甲胜，第二场乙胜，第三场甲胜，第四场乙胜，第五场甲胜，第六场甲胜， 所以所求概率为. 故选：C. 【变式1-2】.已知事件 和 相互独立，且则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由事件A与事件B相互独立，得. 故选：C 【变式1-3】.高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一-排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．理论上，小球落入2号容器的概率是多少（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件表示“小球落入2号容器”， 若要小球落入2号容器，则需要在通过的四层中有三层向左，一层向右， 所以． 故选：B． 【变式1-4】.（多选）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于4”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（   ） A． B．事件A与事件C互斥 C．事件A与C相互独立 D． 【答案】ACD 【详解】由题意可得， 对A，，故A正确； 对B，事件A与事件C可以同时发生，故B错误； 对C，，， 所以事件A与C相互独立，故C正确； 对D，，故D正确； 故选：ACD. 【变式1-5】.（多选）已知随机事件，则下列说法正确的是（   ） A．若，则事件与事件相互独立 B．若，则事件与事件互为对立 C．若事件两两独立，则 D．若事件两两互斥，则 【答案】AD 【详解】对于A，根据事件独立性的定义可得独立，故A正确； 对于B，记事件A：投掷一个骰子，骰子的点数为奇数， 事件：投掷一枚硬币，正面朝上，则，满足， 但不是对立事件，故B错误；. 对于C：考虑从1，2，3，4中随机选出一个数字， 记事件“取出的数字为1或2”，“取出的数字为1或3”，“取出的数字为1或4”， 则“取出的数字为1”， 显然， ， 满足，，， 所以事件A，B，C两两独立，但是，故C错误. 对于D，若两两互斥， 根据互斥事件的概率性质可得， 故选：AD 【考点题型二】全概率公式 【例2】.已知某家族有A、B两种遗传性状，该家族某位成员出现A性状的概率为，出现B性状的概率为，A、B两种遗传性状都不出现的概率为．则该成员在出现A性状的条件下，出现B性状的概率为 ． 【答案】 【详解】记事件A为该家族某位成员出现A性状；事件B为该家族某位成员出现B性状，由题意得： ，，又， 则,且， 则，因此， 则． 故答案为：． 【变式2-1】.已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品， 则，，， 由全概率公式可得. 所以，任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为. 故选：B. 【变式2-2】.（多选）现有编号分别为的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为的盒中”，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自盒的概率最小 【答案】ACD 【详解】A：由题，，故A正确； B：由选项A可得，故B错误； C：因为，所以， 所以，故C正确； D：由题该球来自的概率为，该球来自的概率为，该球来自的概率为， 所以该球来自的概率最小，故D正确. 故选：ACD. 【变式2-3】.（多选）假设甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.下列选项正确的是（   ） A．从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为 B．从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为 C．从乙袋中取出的2个球是红球的概率为 D．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为 【答案】ACD 【详解】从甲袋中取出个球有个红球的事件为，从乙袋中取出个球红球的事件为， ，，， ，，， 对于A，从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为，A正确； 对于B，从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为，B错误； 对于C，从乙袋中取出的2个球是红球的概率，C正确； 对于D，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率 ，D正确. 故选：ACD 【变式2-4】.甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色外，其他均相同．现从甲乙两袋中各自任取一个球，且交换放入另一袋中，重复进行n次这样的操作后，记甲袋中的白球数为，甲袋中恰有一个白球的概率为 (1)求； (2)求的解析式； (3)求． 【答案】(1)， (2) (3)1 【详解】（1）记第次交换后甲袋中恰有两个白球的概率为， 则第次交换后甲袋中恰有零个白球的概率为， 由题意得． ； （2）由（1）知， 所以，且， 从而数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 即； （3）显然的所有可能取值为0，1，2， 且， ， 即，从而， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 【考点题型3】随机变量的分布列 【例3】.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得分，没有命中得分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得分。假设该射手完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立. (1)求该选手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分的分布列及其数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为2 【详解】（1）记：“该射手恰好命中一次”为事件，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件，“该射手射击乙靶命中”为事件． 由题意知，， 所以 ． （2）根据题意，的所有可能取值为0，1，2，3，4． ，， ， ， ， 故的分布列是 0 1 2 3 4 ． 【变式3-1】.下表是离散型随机变量的概率分布，则常数a的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得， 故选：C. 【变式3-2】.（多选）某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为，则（    ） A．乙组同学恰好命中2次的概率为 B．甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率 C．甲组同学命中次数的方差为 D．乙组同学命中次数的数学期望为 【答案】BCD 【详解】对于A中，设“乙组同学恰好命中2次”为事件，则，所以A错误； 对于B中，设“甲组同学恰好命中2次”为事件，则，因为，所以B正确； 对于C中，因为甲组同学每次命中的概率都为，设甲组同学命中次数为，则，可得，所以C正确； 对于D中，设乙组同学命中次数为随机变量，则的所有可能取值为， 所以， ， ， 故，所以D正确. 故选：BCD. 【变式3-3】.某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个200元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数T的分布列为 4 5 6 7 0.3 0.2 0.4 0.1 表示2台设备使用期间需更换的零件个数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数. (1)求的分布列； (2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选择哪一个? 【答案】(1)答案见解析 (2)应选 【详解】（1）由题意，的可能取值为8，9，10，11，12，13，14， 则， ， ， ， ， ， ， 则的分布列为： 8 9 10 11 12 13 14 0.09 0.12 0.28 0.22 0.2 0.08 0.01 （2）记为当时购买零件所需费用，的可能取值为2000，2320，2640，2960，3280， 则，， ， ， ， 则. 记为当时购买零件所需费用，的可能取值为2200，2520，2840，3160， 则，， ， ， ， 显然， 所以应选择. 【变式3-4】.门卫室有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，由于借钥匙开门的员工不知哪把是开门的钥匙，他只好逐一尝试．若不能开门，则标记后换一把钥匙继续尝试开门，记打开门时，试开门的次数为X． (1)试求X的分布； (2)该员工至多试开3次的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【详解】（1）X的可能取值为1，2，3，4，5． ，，， ，． 因此X的分布为： X 1 2 3 4 5 P （2） 【考点题型四】二项分布、超几何分布 【例4】.（多选）已知离散型随机变量，其中，则（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则为奇数的概率为 【答案】ABD 【详解】对于A选项，若，则，，所以，故A正确； 对于B选项，由，得，所以，故B正确； 对于C选项，若则， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以，即，故C错误； 对于D选项，若则， 所以， 所以为奇数的概率为，故D正确. 故选：ABD. 【变式4-1】.数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动次，则质点位于的位置的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意此实验满足重伯努利实验，设向左移动次数为，则， 从原点出发，共移动次，最后质点位于，则需向右移动次，向左移动次， 所以质点位于的位置的概率为. 故选：D 【变式4-2】.（多选）一纸盒中共有6张形状和质地一样的卡片，其中4张是红色卡片，2张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地随机取4次，每次取1张卡片，取到红色卡片记1分，取到黄色卡片记0分，记4次取卡片所得的总分数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意可知每次取到红色卡片的概率为，则，故A项错误； ，故B项正确； ，故C项正确； ，故D项错误. 故选：BC 【变式4-3】.某导弹试验基地对新研制的两种导弹进行试验，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为. (1)若一枚导弹击中一个空中目标，且一枚导弹击中一个地面目标的概率为，一枚导弹击中一个地面目标，且一枚导弹击中一个空中目标的概率为，比较的大小； (2)现有两枚A导弹，一枚导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标（每枚导弹各射击一个目标），请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目标的个数的分布列和期望. 【答案】(1) (2)安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标，分布列见解析， 【详解】（1）由题意得，，所以. （2）因为，所以安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标. 设导弹击中目标的个数为，则， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 所以. 【变式4-4】.某校为了了解学情，对各学科的学习兴趣作了问卷调查，经过数据整理得到下表： 语文兴趣 数学兴趣 英语兴趣 物理兴趣 化学兴趣 生物兴趣 答卷份数 350 470 380 400 300 500 兴趣良好频率 0.7 0.9 0.8 0.5 0.8 0.8 假设每份调查问卷只调查一科，各类调查是否达到良好的标准相互独立． (1)从收集的答卷中随机选取一份，求这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率； (2)从该校任选一位同学，试估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两科兴趣良好的概率； (3)按分层抽样的方法从参与物理兴趣和化学兴趣调查的同学中抽取7人，再从这7人中抽取3人，记3人中来自化学兴趣的人数为，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析；期望为 【详解】（1）设“这份试卷的调查结果是英语兴趣良好”为事件A， 答卷总份数为， 其中英语兴趣良好有，故． （2）设“语文兴趣良好”“数学兴趣良好”“生物兴趣良好”分别为事件，，， ，，，则所求的概率为： ． （3）从参与物理兴趣和化学兴趣调查的700人中按分层抽样的方法抽取7人， 其中参与物理兴趣调查的抽取4人，参与化学兴趣调查的抽取3人， 再从中选取3人，则的所有取值为0，1，2，3． ，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 故． 【变式4-5】.北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）设甲测试合格为事件A，则. （2）甲答对的试题数X可以为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【考点题型五】正态分布 【例5】.某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛．已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率； (2)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩近似服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (3)复赛规则如下：①复赛题目由、两类问题组成，答对类问题得分，不答或答错得分；答对类问题得分，不答或答错得分；②、两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．已知参加复赛的学生甲答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关．为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由． 附：若，则，，；． 【答案】(1) (2)有，理由见解析 (3)先答类问题，理由见解析 【详解】（1）由题意可知，抽取的人中，预赛成绩不低于分的人数为， 预赛成绩不低于分的学生人数为， 因此，从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人， 至少有人预赛成绩优良的概率为. （2）由频率分布直方图可知，， ，， ， 所以，小明有资格参加复赛. （3）若学生甲先答类问题，设他的得分为随机变量，则的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 则， 若学生甲先答类问题，设该同学的得分为随机变量，则的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 则， 所以，，因此，学生甲应先回答类问题. 【变式5-1】.（多选）某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，则（    ） A． B．越小，越大 C． D． 【答案】ABC 【详解】由条件可知，由正太密度曲线的对称性可知： ，，， 越小，说明数据越集中，故越大， 故选：ABC 【变式5-2】.已知随机变量X服从二项分布，且随机变量Y服从正态分布．若，则 ． 【答案】 【详解】因为随机变量X服从二项分布， 所以，故， 又随机变量Y服从正态分布，所以， 所以. 故答案为：. 【变式5-3】.某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 58 60 63 64 件数（单位：件） 5 25 45 20 5 (1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线和第2条生产线生产的零件件数比是3:1．若第1、2条生产线的废品率分别为0.004和0.008，且这两条生产线是否产出废品是相独立的．现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件． （ⅰ）求抽取的零件为废品的概率； （ⅱ）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率． 参考数据：若随机变量，则，， 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）由题意可知:， 则， 所以 （2）（i）设事件表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”， 事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”， 事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”， 则，，，， 所以； （ii）因为， 所以， 所以． 【变式5-4】.某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩，现规定：成绩在的同学为“成绩顶尖”，在的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”. (1)已知高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数（小数按四舍五入取整处理）； (2)现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率： (3)为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分.请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由. （参考数据：若，则，） 【答案】(1)“成绩优秀”和“不及格”的同学人数分别为人、人 (2) (3)班级成绩由于年级成绩 【详解】（1）由已知， “成绩优秀”的概率为： . “不及格”的概率为： ， 所以“成绩优秀”的人数为人， “不及格”的人数为人. （2）设事件：至少一名“成绩顶尖”同学入选，事件：丙入选， 则， （3）由条件知年级中， 而在该班随机抽查中，同学成绩在一次随机事件中就发生了， 这说明班级成绩由于年级成绩. 1．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 若随机变量，则等于（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【详解】因为，所以. 故选：A. 2．设随机变量，若，则的最大值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】随机变量，由，得，解得， ，则当时，取得最大值， 所以的最大值为. 故选：C 3．（多选）下列命题正确的是（   ） A．数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6 B．设随机变量，若，则的最大值为 C．对于随机事件A，B，若，，，则与相互独立 D．已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120 【答案】BC 【详解】对于A，由于，则数据的第50百分位数为，故A错误； 对于B，随机变量，由，解得， 所以方差， 即方差在单调递增，故，故B正确； 对于C，若,根据条件概率公式则有, 则,故与相互独立，故C正确； 对于D，分层抽样的平均数，， 按分层抽样样本方差的计算公式， ,故D错误. 故选：BC. 4．（多选）如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生.设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（    ） （参考数据：） A．变量服从正态分布 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】依题意，，， 对于A，变量服从正态分布，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 5．（多选）下列命题中，真命题有（   ） A．若随机变量，则 B．数据的第百分位数是 C．若事件满足且，则与独立 D．若随机变量，则 【答案】BCD 【详解】A：因为，所以，故错误； B：将从小到大重新排列可得，，所以第百分位数是，故正确； C：因为，且，所以， 所以，所以相互独立，故正确； D：因为，所以， 所以，故正确； 故选：BCD. 6．（多选）已知随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A．随机变量的均值为8 B．随机变量的方差为16 C． D． 【答案】ACD 【详解】随机变量服从正态分布，所以随机变量的均值为8，故A正确； 随机变量的方差为256，标准差为16，故B错误； 由正态分布的对称性知，，故C正确； 由正态分布的对称性知，，所以，故D正确. 故选：ACD. 7．甲､乙两气象站同时作天气预报，如果甲站､乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲､乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站､乙站预报都错误的概率为 . 【答案】 【详解】解：记“甲预报准确”，“乙预报准确”， 则 所以甲､乙都预报错误的概率为 故答案为：0.06 8．通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中 班获胜的可能性更大． 【答案】B 【详解】从分布密度曲线可以得到如下结论： （1）B班的平均成绩大于A班的平均成绩； （2）B的方差小于A的方差，故B发挥较为稳定， 故B班获胜的可能更大. 故答案为：B. 9．已知随机变量服从二项分布，若，则 . 【答案】 【详解】因为，由二项分布的期望公式可得， 由期望的性质可得，解得. 故答案为：. 10．单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从A，B，C，D四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分. (1)考生甲有一道单项选择题不会做，他随机选择一个选项，求他猜对本题得5分的概率； (2)考生乙有一道答案为ABD多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他猜对本题得4分的概率； (3)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为.丙、丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18分的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）甲同学所有可能的选择答案有A，B，C，D共4种可能结果，样本空间， 其中正确选项只有一个，设M=“猜对本题得5分”，故. （2）乙同学所有可能的选择答案有10种：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD， 样本空间，共有10个样本点， 设N=“猜对本题得4分”，，有3个样本点，故. （3）由题意得丙得0分的概率为，丁得0分的概率为， 丙丁总分刚好得18分的情况包含： 事件A：丙得12分有6+6一种情况，丁得6分有6+0，0+6，3+3三种情况， 则； 事件B：丙得9分有6+3，3+6两种情况，丁得9分有6+3，3+6两种情况， 则； 事件C：丙得6分有6+0，0+6，3+3三种情况，丁得12分有6+6一种情况， 则； 所以丙丁总分刚好得18分的概率. 11．某中学举办科学竞技活动，报名参加科学竞技活动的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，设有三门考试科目且每门是否通过相互独立，至少有两门通过，则认为是笔试合格.若笔试不合格，则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.面试合格者代表年级组参加全校的决赛.现有某年级甲、乙两名学生报名参加本次竞技活动，假设笔试中甲每门合格的概率均为，乙每门合格的概率分别是，，，甲、乙面试合格的概率分别是，. (1)求甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率； (2)求甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率为： ； （2）由题意乙能够代表年级组参加全校的决赛的概率为： ， 所以甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率为： . 12．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题. (1)学生甲恰好答对两题的概率是多少？ (2)求学生甲答对的题数X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）学生甲恰好答对两题的概率. （2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3. 且， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 13．从某学校的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人.    (1)求第七组的频率； (2)估计该校名男生的身高的中位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，，事件，求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由频率分布直方图可知身高在的频率为， 频数为， 所以第七组的人数为人， 频率为； （2）设中位数为， 由频率分布直方图可知， ， 所以中位数， 即， 解得； （3）由已知， 则事件表示抽取的两人出自同一组， 又第六组共人，第八组共人， 所以. 14．转盘游戏的规则如下：将转盘进行十等分，从1到10依次进行标注，参与者转动转盘，转盘停止时，指针指到的数字记为分数，转盘游戏可进行多轮，每轮转动两次转盘，进行两次分别计分，选手甲参加十轮游戏，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 8 5 9 7 10 7 7 6 8 9 第二次分数 8 9 8 7 7 9 8 7 9 10 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于8分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”． (1)若从以上选手甲的十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； (2)假设选手甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否“稳定发挥”以频率估计概率．记X为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，． 【详解】（1）解：由题意，结合表格数的数据，可得选手甲在第一、三、九、十轮“稳定发挥”． 设从以上选手甲十轮游戏中任选两轮，这两轮均"稳定发挥"为事件， 则． （2）解：甲在每轮游戏中"稳定发挥"的概率为，且， 其中随机变量可能的取值为， 则， 所以变量的分布列为 X 0 1 2 3 则变量X的数学期望为． 15．北京地铁四号线被誉为“学霸地铁”，因为它贯穿了几所国内特别有名的高校，某校5名高中生利用暑假假期去北京游学，他们在动物园站开始乘坐4号线，以下几个站：国家图书馆，魏公村，人民大学，中关村，北京大学为他们的可能参观点，由于时间安排和个人喜好不同，他们各自行动，每人选一个自己最喜欢的景点，每个人在北京大学站下车的概率为，在其他站下车的概率均为，且不走回头路，在圆明园站汇合，每个人在各个车站下车互不影响.    (1)求在魏公村下车的人数的分布列及期望； (2)已知贾同学比李同学先下车，求贾同学在魏公村下车且李同学在北京大学站下车的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【详解】（1）的可能取值为， 由题意知每个人在魏公村下车的概率均为，且相互不影响，所以，， 0 1 2 3 4 5 . （2）设事件：贾同学比李同学先下车；事件：贾同学在魏公村下车，且李同学在北京大学站下车， 则，， 所以. 17．某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下： 决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军； 如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3∶0，则不需再答第4轮了； 设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望； (2)求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【详解】（1）由题可得，的可能取值为、、、， 所以，， ，， 所以，的分布列为： 所以. （2）将“在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出”记为事件， “在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件， “在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，则、互斥，且， 则， ， 所以. 因此，在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出的概率为. 18．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望和方差； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（写出证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析，， (3)，证明见解析 【详解】（1）由频率分布直方图得： ， 解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20； （2）由频率分布直方图得： 这500名学生中日平均阅读时间在，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人， 现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴数学期望，. （3），理由如下： 由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50， 从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生， 恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布， ， 由组合数的性质可得，且当时递增，故当时最大. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$