3.6.1 直线和圆的位置关系及切线的性质 课件 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

第三章　圆 6　直线和圆的位置关系 第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质 北师大版-数学-九年级下册 学习目标 1.了解直线和圆的位置关系. 2.理解直线和圆的三种位置关系圆心到直线的距离d和圆的半径r 之间的数量关系. 3.掌握切线的性质定理，会用切线的性质解决问题. 【重点】了解直线与圆的不同位置关系时的有关概念. 【难点】能运用直线与圆的位置关系解决实际问题. 新课导入 想一想：如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？ 作一个圆，将直尺的边缘看成一条直线.固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？ 新课导入 ● ● ● 新知探究 相关概念 知识点 直线与圆的位置关系 1 如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离，如图所示. 5 新知探究 如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切，如图所示.此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点. 相关概念 ● 6 新知探究 相关概念 如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，如图所示.此时这条直线叫做圆的割线. 7 新知探究 直线与圆的 位置关系 图形 公共点个数 公共点名称 直线名称 2个 交点 1个 切点 切线 0个 相离 相切 相交 割线 8 新知探究 直线与圆最少有一个公共点. （ ） ② 若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上. （ ） ③ 若 A 是☉O 上一点，则直线 AB 与☉O 相切. （ ） ④ 若 C 为☉O 外一点，则过点 C 的直线与☉O 相交或相离. （ ） ⑤ 直线 a 和☉O 有公共点，则直线 a 与☉O 相切.（ ） × × × × × 判断正误： 9 新知探究 知识点 用数量关系判断直线与圆的位置关系 2 问题：同学们用直尺在圆上移动的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？ 相关知识： 点到直线的距离是指从直线外一点 (A) 到直线 (l ) 的垂线段 (OA) 的长度. 圆心到直线的距离也在改变： 首先距离大于半径， 然后距离等于半径， 最后距离小于半径. 10 新知探究 怎样用圆心到直线的距离 d 来判定直线 l 与 ⊙O 的位置关系呢？ 思考： O d l 11 新知探究 直线和圆相交 d< r 直线和圆相切 d= r 直线和圆相离 d> r r d ∟ r d ∟ r d 数形结合： 位置关系 数量关系 可以通过圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分 o o o 公共点个数 12 新知探究 （1）请举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例. （2）课本中图3-22中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？ （3）如图，直线 CD与☉O 相切于点 A， 直径 AB 与直线 CD 有怎样的位置关系？ 说说你的理由. 知识点 圆的切线性质 3 C D B ●O A 新知探究 （3） 如图，直线 CD与 ☉O 相切于点 A，直径 AB 与直线 CD 有怎样的位置关系？说说你的理由. 直径 AB 垂直于直线 CD. 小颖的理由是： ∵圆是轴对称图形，AB 是对称轴， ∴沿直线 AB 对折图形时，AC 与 AD 重合， 因此∠BAC=∠BAD= 90°. C D B ●O A 新知探究 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 几何语言： ∵CD 是 ☉O 的切线，A 是切点，OA 是 ☉O 的半径， ∴CD⊥OA. 提示：切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据； 作过切点的半径是常用辅助线之一. C D B ●O A 新知探究 例1：已知 Rt△ABC 的斜边AB=8 cm，AC=4 cm. （1） 以点 C 为圆心作圆，当半径为多长时，AB 与☉C 相切？ B C A D 解：过点C 作AB的垂线，垂足为 D. ∵AB = 8cm，AC = 4cm， ∴cosA= = .∴∠A=60°. ∴CD=ACsinA=4sin60°= 2 新知探究 例1：已知 Rt△ABC 的斜边AB=8 cm，AC=4 cm. （2）以点 C 为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？ B C A D 解：由（1）可知，圆心C到AB的距 离d=2cm，所以 当r=2cm时，d＞r，☉C与AB相 离；当r=4cm时，d＜r，☉C与 AB相交. 课堂小结 直线和圆的位置关系及切线的性质 直线和圆的位置关系的性质 直线和圆的三种位置关系 相交：直线和圆有两个公共点 相切：直线和圆有一个公共点 相离：直线和圆没有公共点 (1) 直线和圆相交；d<r (2) 直线和圆相切；d=r (3) 直线和圆相离；d>r 切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． 课堂训练 1. 直线和圆相交，圆的半径为 r，且圆心到直线的距离 为 5，则有 ( ) A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5 2. ☉O 的最大弦长为 8，若圆心 O 到直线 l 的距离为 d = 5， 则直线 l 与☉O ( ) A. 相交 B.相切 C. 相离 D.以上三种情况都有可能 B C 课堂训练 B 课堂训练 4. 如图,C为☉O外一点CA与☉O相切,切点为A, AB为☉O的直径,连接CB.若☉O的半径为2, ∠ABC=60°,则BC=　. 8 5. 如图,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=22°,则∠OCB=　　°. 44 课堂训练 课堂训练 7.已知⊙O 的半径 r = 7 cm，直线 l1∥l2，且 l1 与⊙O 相切，圆心 O 到 l2 的距离为 9 cm. 求 l1与 l2 的距离. O l1 l2 A B l2 （1）当 l2 与 l1 在圆的同侧时， m = 9 - 7 = 2 (cm)； （2）当 l2 与 l1 在圆的异侧时， m = 9 + 7 = 16 (cm). 解：设 l2 与 l1 的距离为 m，则 C 课堂训练 8. 如图,已知AB为☉O的直径,CD,CB为☉O的两条切线,切点分别为D,B,连接AD. 求证:AD//OC. 课堂训练 证明:如图,连接OD. ∵CD,CB为☉O的两条切线, ∴OD⊥CD,OB⊥CB, ∴∠ODC=∠OBC=90°.又∵OD=OB,OC=OC, ∴Rt△COD ≌ Rt△COB, ∴∠BOD=2∠BOC. ∵OA=OD,∴∠ODA=∠A. ∵AB为☉O的直径,∠BOD是△AOD的外角, ∴∠BOD=∠ODA+∠A=2∠A. ∴∠BOC=∠A, ∴AD//OC. $$