3.4.2 圆周角定理的推论 课件-2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第三章　圆　 4 圆周角和圆心角的关系 　 北师大版-数学-九年级下册 第2课时 圆周角定理的推论　 学习目标 1.掌握圆周角定理的推论. 2.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质，并学会运用. 【重点】掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题. 【难点】培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式． 新课导入 问题1 什么是圆周角？ 特征： ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交. 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角. ●O B A C D E 问题2 什么是圆周角定理？ 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ●O A B C ●O A B C ●O A B C 即 ∠ABC = ∠AOC. 新课导入 小明想用直尺检查某些工件是否恰好为半圆，下图所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形吗？ 新课导入 新知探究 知识点 直径所对应的圆周角 1 问题 3 如图，点A、B、C在⊙O 上，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？ 你能证明你的结论么？ 解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90°. 结论1：直径所对的圆周角是直角. =90°. 理由： ∵BC为直径, ∴∠BOC=180°. ∴ 新知探究 问题 4 如图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？ 解：弦BC是直径，连接OC、OB. ∵∠BAC=90°, ∴∠BOC=2∠BAC=180°. （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半） ∴B、O、C三点在同一直线上. ∴BC是⊙O的一条直径. 结论2：90°的圆周角所对的弦是直径. 回归到最初的问题，你能判断哪个是半圆形吗？ 新课导入 第（2）个 新知探究 圆周角定理的推论2： 1. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 2. 90°的圆周角所对的弦是直径. 用于判断某个圆周角是否是直角 用于判断某条线是否过圆心 归纳总结： 提示：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解. 新知探究 知识点 圆内接四边形及其性质 2 四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 新课导入 问题 5（1）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？ 解：∠BAD与∠BCD互补. ∵AC为直径， ∴∠ABC=90°，∠ADC=90°. ∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°， ∴∠BAD+∠BCD=180°. ∴∠BAD与∠BCD互补. A B C O D 新课导入 （2）若C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系 还成立吗？为什么？ 1 2 解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立. 如图，连接OB，OD. 则 ∠2=2∠BAD，∠1=2∠BCD. （圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一） 又 ∵∠1+∠2=360°， ∴∠BAD+∠BCD=180°.∴∠BAD与∠BCD互补. A B C O D 新课导入 A B C O D （3）观察总结，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？ 结论1：圆内接四边形的对角互补. A B C O D 新知探究 想一想：如图， ∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角， ∠A与∠DCE的大小有什么关系？ 解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180° （圆内角四边形的对角互补）. ∵∠BCD+∠DCE=180°， ∴∠A=∠DCE. 结论2:圆内接四边形的一个外角等于它的内对角． 新知探究 归纳总结： 圆周角定理的推论3： 1. 圆内接四边形的对角互补. 2. 圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角). 圆周角定理的推论 推论2 推论3 圆内接四边形的对角互补. 直径所所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径. 课堂小结 课堂训练 1.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD为(　　) A．30° B．50° C．60° D．70° C 课堂训练 2．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D= . 3．如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 、D 是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD =＿＿＿_. 70º 100º A B O C D 50° 课堂训练 C 4.如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E,连接AC，AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为(　　) A．20° B．25° C．30° D．35° 课堂训练 5.如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（　　） A．3 B． C． D．2 A 课堂训练 6.如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠E=40°，∠F=60°，求∠A的度数. 解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ADC+∠CBA=180°（圆内接四边形的对角互补）. ∵∠EDC+∠ADC=180°， ∠EBF+∠ABE=180°， ∴∠EDC+∠EBF=180°. ∵∠EDC=∠F+∠A，∠EBF=∠E+∠A， ∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°. ∴∠A=40°. A B D O C E F $$