3.6.1 直线和圆的位置关系及切线的性质 教案 2024—2025学年北师大版数学九年级下册

第三章 圆 6 直线和圆的位置关系 2 直线和圆的位置关系及切线的性质 一、教学目标 1.了解直线和圆的位置关系； 2.理解直线和圆的三种位置关系圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的 数量关系； 3.掌握切线的性质定理，会用切线的性质解决问题 二、教学重难点 重点：了解直线与圆的不同位置关系时的有关概念 难点：能运用直线与圆的位置关系解决实际问题 三、教学过程 【新课导入】 [提出问题]看课件上的图片，想一想如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？ [课件展示] [解答]学生回答后，教师明确：如图1所示，直线和圆的公共点个数有2个；如图2所示，直线和圆的公共点个数有1个；如图3所示，直线和圆没有公共点.因此可以猜测直线和圆有3种位置关系. [提出问题]接下来请同学在纸上作一个圆，将直尺的边缘看成一条直线.固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？ [解答]学生回答后，教师明确，如图所示，直线和圆有3种位置关系，并展示课件.这节课我们就具体来学习下直线与圆的位置关系. [课件展示] 【新知探究】 （1） 直线与圆的位置关系 [解答]如图所示，第一种情况，就类似太阳完全升起时的情况.如果一条直线与一个圆没有公共点，那么我们就说这条直线与这个圆相离.同样我们可以反过来说，如果直线和圆相离，那么此时圆和直线是否有公共点？（学生齐答：没有）公共点个数是多少？（学生齐答：0） [课件展示] [解答]接下来我们看第二种情况，如图所示.就类似太阳与地平线正好相交时的情况.如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么我们就说这条直线与这个圆相切.此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点.同样我们可以反过来说，如果直线和圆相切，那么此时圆和直线是否有公共点？（学生齐答：有）公共点个数是多少？（学生齐答：1）. [课件展示] [解答]接下来我们看第三种情况，如图所示.类似太阳与地平线相交刚刚升起时的情况.如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么我们就说这条直线与这个圆相交.此时这条直线叫做圆的割线.同样我们可以反过来说，如果直线和圆相交，那么此时圆和直线是否有公共点？（学生齐答：有）公共点个数是多少？（学生齐答：2）. [课件展示] [提出问题]接下来我们把三种情况绘制成了表格来总结复习，由同学们自己填写表格中空缺的内容.（老师提问学生回答或学生齐答） [课件展示] [提出问题]接下来我们看几道判断题，我们分成几个小组，分别作答，并且由同学们解释原因.教师明确补充. [课件展示] （2） 用数量关系判断直线与圆的位置关系 [提出问题]同学们用直尺在圆上移动的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？ [解答]教师明确：圆心到直线的距离也在改变：首先距离大于半径，然后距离等于半径，最后距离小于半径.我们说点到直线的距离是指从直线外一点 (A) 到直线 (l) 的垂线段 (OA) 的长度. [提出问题]那我们思考下怎样用圆心到直线的距离 d 来判定直线 l 与 ⊙O 的位置关系呢？ [解答]教师明确：可以通过圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分.当直线和圆相交时，d< r；当直线和圆相切时，d= r；当直线和圆相离时，d> r.那反过来我们也可以总结，当d< r时，直线和圆相交；当d= r时，直线和圆相切；当d> r时，直线和圆相离.这也是我们数学学习中重要的数形结合，通过位置关系可以推出数量关系，推出公共点个数；反过来，通过公共点个数，我们可以推出数量关系，推出位置关系. （三）圆的切线性质 [提出问题]通过我们对切线的学习，请举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例. [提出问题]课本中图3-22中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？（学生回答，教师明确） [提出问题]如图，直线 CD与☉O 相切于点 A，直径 AB 与直线 CD 有怎样的位置关系？ 说说你的理由. [课件展示] [解答]教师明确答案.通过例题我们可以得出切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.如图，我们通过几何语言表示：因为CD是☉O的切线，A是切点，OA是☉O的半径，所以CD⊥OA.注意切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据，作过切点的半径是常用辅助线之一. [提出问题]接下来我们看一道课本上简单的例题.（学生自己作答，教师补充） [归纳总结]今天我们学习了直线与圆的三种位置关系，分别是相切、相交和相离，并了解了交点的个数，之后我们又学了用数量关系判断直线与圆的位置关系，即通过半径和圆心和直线的距离关系判断直线与圆的位置关系，并判断交点个数，反过来也能推出，最后我们学习了圆中重要的切线性质. 【课堂小结】 【课堂训练】学生完成本课时PPT练习题，教师讲评. 【布置作业】 【板书设计】 第三章 圆 6 直线和圆的位置关系 2 直线和圆的位置关系及切线的性质 1.直线与圆的位置关系 相离、相切、相交 交点个数：0/1/2 2.用数量关系判断直线与圆的位置关系 d＞r，d=r，d＜r 3.切线的性质 【教学反思】 一、案例的“亮点” 1.通过复习已经学过的知识，让学生既能温习学过的知识，又能和即将学习的新的知识产生联系，让知识之间互相关联；通过生活中太阳与海平面的关系，抽象出直线和圆的位置关系，并通过学生自己动手操作，进一步了解到直线和圆的位置关系，增加学习的兴趣. 2.数形结合思想，充分学习直线和圆的位置关系，学习三种情况下交点的情况，进一步学习用数量关系判断直线与圆的位置关系，即通过半径和圆心和直线的距离关系判断直线与圆的位置关系，并判断交点个数，反过来也能推出. 3.对切线的性质的学习后结合课本例题趁热打铁. 二、教学中易出现的问题 学生小组讨论的过程中，注意学生是否参与到问题的探究中，总结知识点的过程中注意对学生的引导，让学生自己能够总结出相应的答案、结论与定义.教学过程中，强调学生从实际生活中感受,体会直线与圆的几种位置关系，并会用数学语言来描述归纳，经历将实际问题转化为数学问题的过程，即数形结合思想的感受与理解.强调切线的性质在圆的问题中的重要性，并强调解题思路中常用的辅助线作法. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$