7.4.1 二项分布课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

情景导入：俗话说“三个臭皮匠顶一个诸葛亮” 现诸葛亮和三个臭皮匠组成的团队,要解决一个攻城的难题，假设诸葛亮解决该攻城问题的概率是0.9,三个臭皮匠各自独立解出该题目的概率都是0.6,问诸葛亮和臭皮匠团队,哪个解出这一题目的可能性大？（臭皮匠团队成员每人独立解题,且只要有人解出即可） 设事件A:“臭皮匠团队解决该难题” 解1：（间接法） 因为0.936＞0.9 ,所以臭皮匠团队胜出的可能性较大. 思考1：我们还有其他方法解决这个问题吗？ 本节将研究一类重要的概率模型---二项分布.也可以帮我们解决以上问题,让我们带着这个疑问,看看学完本节,你可以用另一种方法解决这个问题吗？ 7.4.1 二项分布 人教A版2019选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 7.4.1 二项分布 大悟县第一中学 高二（7）班 李勇 探究1：观察下列一次随机试验的共同点 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 试验 出现的结果 共同点 1、掷一枚硬币 2、检验一件产品 3、飞碟射击 4、医学检验 正面朝上;反面朝上 合格;不合格 中靶;脱靶 阴性;阳性 只包含两个结果 伯努利试验—— 伯努利家族 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 伯努利试验—— 在实际问题中,有许多随机试验属于伯努利试验.例如,接生一个婴儿，或者是男孩或者是女孩；我们经历24小时的一天，或者遇到流星或者遇不到流星，某次数学考试或者及格或者不及格等. 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为 n重伯努利试验. n重伯努利试验具有如下共同特征: n重伯努利试验—— (1)每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生; (2)各次试验中的事件是相互独立的; (3)每次试验是在同样条件下进行的; (4)每次试验,某事件发生的概率是相同的. 例题1 判断下列试验是不是n重伯努利试验: 　　(1)依次投掷四枚质地不同且不均匀的硬币; 　　(2)某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次; 　　(3)口袋中装有5个白球,3个红球,2个黑球,依次从中抽取5个球, 恰好取出4个白球. (1)由于试验的条件不同（质地不同）,因此不是n重伯努利试验; (2)某人射击且击中的概率是稳定的,因此是n重伯努利试验; (3)依次从中抽取5个球,不是有放回地抽样,每次白球出现的可能性不同,因此不是n重伯努利试验. √ × × n重伯努利试验是有放回抽样试验 问题1：阅读下面3个问题并填写表格： (1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次,求恰有4次正面向上的概率? (2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3次,求恰有2次中靶的概率? (3)一批产品的次品率为5%, 有放回地随机抽取20件,求恰有5件次品的概率? 随机试验 是否为 n重伯努利试验 伯努利试验 定义“成功”的事件为事件A P(A) 重复试验的次数n 关注的随机变量X （1） （2） （3） 掷硬币 正面向上 0.5 10 正面向上的次数 射击 中靶 0.8 3 中靶的次数 有放回抽产品 抽到次品 0.05 20 抽到次品的件数 是 是 是 追问: (1)伯努利试验与n重伯努利试验有何不同？ (2)在伯努利试验中,我们关注什么？在n重伯努利试验中呢？ (1) 伯努利试验做一次试验, n重伯努利试验做n次试验. (2)在伯努利试验中, 我们关注某个事件A是否发生;在n重伯努利试验中,我们关注事件A发生的次数X . 3次独立重复试验的结果两两互斥,每个结果都是由3个相互独立事件的积. 用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3), 探究2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击,中靶次数X的概率分布列是怎样的? 用下图的树状图表示试验的可能结果： 用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)，用下图的树状图表示试验的可能结果： 探究2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击,中靶次数X的概率分布列是怎样的? 则X的概率分布列为: P(X=0) 你能求出剩下的概率吗？ 用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)， 探究2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击,中靶次数X的概率分布列是怎样的? 则X的概率分布列为: P(X=0) P(X=1) P(X=2) P(X=3)= P(A1A2A3) = 3×0.8×0.22 = 3×0.82×0.2 = 0.83 于是,中靶次数X的分布列可简写为: P(X=k) =×0.8k×0.24-k, (k=0, 1, 2, 3). 共6个. (2)中靶次数X的分布列为 思考2: 如果连续射击4次,类比上面的分析,表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列. (1) 表示中靶次数X等于2的结果有： P(X=k)=×0.8k×0.24-k, (k=0, 1, 2, 3, 4). 中靶次数X的分布列可简写为： 用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3,4)，则X的概率分布列为: 二项分布 一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为: 二项分布 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布, 记作X ~ B(n, p). P(X=k)=×pk×(1-p)n-k, (k=0, 1, 2, …, n). 提醒:正确理解其条件以及参数的意义 k—— 事件 A 发生的次数 n—— 实验总次数 p—— 事件 A 发生的概率 1-p—— 事件 发生的概率 二项分布 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布, 记作X ~ B(n, p). P(X=k)=×pk×(1-p)n-k, (k=0, 1, 2, …, n). 随机变量X服从二项分布的三个前提条件： (1) 每次试验都是在同一条件下进行的； (2) 每一次试验都彼此相互独立； (3) 每次试验出现的结果只有两个. 提醒：一般含有“恰好”“恰有”等字样的问题往往考虑独立重复试验的模型. 一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率p(0<p<1),求事件A发生的次数X的分布列为: 例2 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,求: (1) 恰好出现5次正面朝上的概率; (2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率. () () 归纳总结：一般地,确定一个二项分布模型的步骤如下: （1）明确伯努利试验及事件的意义,确定事件发生的概率 （2）确定重复试验的次数,并判断各次试验的独立性; （3）设次独立重复试验中事件发生的次数, 则. 1.据某网站报道:一综艺节目《新闻挖挖挖》的参与嘉宾称,因为台湾天弓导弹的远距离定点轰炸成功率是70%,所以只要三发该导弹各自独立的同时对定点实施轰炸,则轰炸成功率是210%,该言论引起了广大网友的热议.请你结合你所学的知识,分析该言论对吗？如果不对,设X为击中目标的次数，请求出X的分布列,并计算出轰炸成功的概率. (0.973) 最后我们回到“三个臭皮匠顶一个诸葛亮”的问题 现诸葛亮和三个臭皮匠团队,要解决一个攻城的难题，假设诸葛亮解决该攻城问题的概率是0.9,三个臭皮匠各自独立解出该题目的概率都是0.6,问诸葛亮和臭皮匠团队,哪个解出这一题目的可能性大？（臭皮匠团队成员每人独立解题,且只要有人解出即可） 思考4：经过今天课程的学习,你还能用其他方法解决这个问题吗？ 设事件A:“臭皮匠团队解出该题” 解2：（直接法） 3. 二项分布： 一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布, 记作X ~B(n，p). 课堂小结： P(X=k)=×pk×(1-p)n-k, (k=0, 1, 2, …, n). 1.伯努利试验:我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 2.n重伯努利试验:我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. 课堂作业： 1.书本第77页:练习第三题; 3.书本第81页:综合运用第5题. 2.书本第80页:复习巩固第二题; 改编自课本77页第二题 1. 大悟某养殖场老板决定引进一种河南地区品质优良的鸡种养殖,作为实验性引进,第一批引进了5只该种鸡作为实验养殖.为了防止该鸡感染某病毒,鸡需接种一种疫苗,已知,某疫苗机构宣称若鸡注射了该种疫苗,则有80%不会感染某种病毒.李老板理解为只要5只鸡都注射该种疫苗以后,则5只鸡都不会被感染的概率为80%,思考:你认为李老板的理解对吗？你能用所学的知识,设X为注射疫苗以后，感染病毒的鸡的数量，你能求出X的分布列吗？ 解： 课本77页 3. 判断下列表述正确与否，并说明理由: (1) 12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X~B(12, 0.25)； (2) 100 件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y~B(6, 0.1). 每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故猜对答案的题目数X服从二项分布，即X~B(12, 0.25). (1) 正确. 理由如下： 每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项分布的条件. (2) 错误. 理由如下： 思考 二项分布和两点分布有什么联系？ 二项分布的分布列如下表： 当n=1时，可以得到两点分布的分布列如下表： 两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布； 二项分布可以看做两点分布的一般形式. 例2 如图是一块高尔顿板的示意图. 在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃. 将小球从顶端放人，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落人底部的格子中. 格子从左到右分别编号为0，1，2，‧‧‧，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列. 解： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设＝“向右下落”，则＝“向左下落”， 且（）＝0.5. 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以. 于是，的分布列为 ＝0，1，2，…，10. 例2 如图是一块高尔顿板的示意图. 在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃. 将小球从顶端放人，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落人底部的格子中. 格子从左到右分别编号为0，1，2，‧‧‧，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列. 解： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的概率分布图如图所示. 变式：设诸葛亮解出某个题目的概率是0.9,三个臭皮匠各自独立解出该题目的概率都是p,若臭皮匠团队能解出这一题目的可能性大于诸葛亮,则p至少为多少？ （臭皮匠团队成员每人独立解题,且只要有人解出即可） 解：设事件A:“臭皮匠团队解出该题”。 臭皮匠胜出。 拓展练习：设诸葛亮解出某个题目的概率是0.9,三个臭皮匠各自独立解出该题目的概率都是0.6,问诸葛亮和臭皮匠团队哪个解出这一题目的可能性大？（臭皮匠团队成员每人独立解题,且只要有人解出即可） 设事件A:“臭皮匠团队解出该题” 解1：（间接法） 解2：（直接法） 因为0.936＞0.9 ，所以臭皮匠胜出的可能性较大 例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利? 解1： 若采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜. 因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为 类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3:0, 3:1或3:2. 因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为 因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利. 实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利. . . 例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利? 解2： 若采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3, 0.6)，所以甲最终获胜的概率为 同理，若采用5局3胜制，则X~B(5, 0.6)，所以甲最终获胜的概率为 思考 为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率? 采用3局2胜制赛满3局时，若前2局获胜，那第3局的胜负并不影响甲获胜；同样，采用5局3胜制赛满5局，若前3局获胜，那后2局的胜负并不影响甲获胜，若前4局胜3局，那第5局的胜负也不影响甲获胜. 所以赛满3局或5局，均不会影响甲最终获胜的概率. 本节将研究一类重要的概率模型---二项分布. (1) P(A∪B) = P(A) + P(B) (当A与B互斥时); (3) P(AB) = P(A)·P(B|A) 前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义, 这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型, 吻合模型用公式去求概率更加简便. 那么求概率还有什么模型呢？ 复习回顾： 特别地： 当A与B相互独立时，P(AB) = P(A)·P(B) (2) P(B|A) = ; 从简单开始, 先考察n较小的情况. (1)当n=1时, X服从两点分布, 分布列为 P(X=0)=1-p, P(X=1)=p. 均值和方差分别为 E(X)=p, D(X)=p(1-p). (2)当n=2时, X的分布列为 P(X=0)=(1-p)2, P(X=1)=2p(1-p), P(X=2)=p2. E(X)=0×(1-p)2+1×2p(1-p)+2×p2 =2p. D(X)= 02×(1-p)2+12×2p(1-p)+22×p2 -(2p)2=2p(1-p). 均值和方差分别为 猜想：如果X~B(n, p), 那么 E(X)= np, D(X)=np(1-p). 探究：假设随机变量服从二项分布，那么的均值和方差各是什么？ 一般地，可以证明： 如果X~B(n, p), 那么 E(X)= np, D(X)=np(1-p). 对均值的证明： 令，可得: 令，则 一般地，可以证明： 如果X~B(n, p), 那么 E(X)= np, D(X)=np(1-p). 对方差的证明： 解： 课本76页 1. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数. (1) 求X的分布列； (2) E(X)＝_______，D(X)＝_________. 思考3 对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗? 服从二项分布的事件A恰好发生k次的概率P(X=k)=×pk×(1-p)n-k 正好是二项式定理[(1-p)+p]n展开式的第k＋1项,故有 从侧面也说明二项分布也服从分布列的性质:对于随机变量的所有可能的取值,其相应的概率之和为1. 例2 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,求: (1) 恰好出现5次正面朝上的概率;() (2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率.() 解： 设A＝“正面朝上”,则P(A)＝0.5. 用X表示事件A发生的次数 则 X ~ B(10, 0.5). (1) 恰好出现5次正面朝上的概率为 (2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.60]内等价于4≤X≤6,于是所求概率为 ＝ ×0.510＝＝； ×0.510+ ×0.510+ ×0.510＝＝. $$