精品解析：陕西省西安市铁一中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

2024-2025-1高一年级月考（2） 数学试题 第I卷（选择题） 一、选择题：共8小题，每小题4分，共32分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合满足，则不同的的个数为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】列举出满足要求的集合，得到答案. 【详解】由可得， ，故不同的的个数为. 故选：C 2. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由的定义域求的定义域，需使，解之即得. 【详解】因函数的定义域为， 对于函数，需使， 解得，则函数的定义域为. 故选：A. 3. 设计如图所示的四个电路图，条件“灯泡亮”；条件“开关闭合”，则是的必要不充分条件的电路图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据各电路的特点，判断两个命题之间的逻辑关系，即可判断出答案. 【详解】对于A，灯泡L亮，可能是闭合，不一定是S闭合， 当S闭合时，必有灯泡L亮，故p是q的必要不充分条件，A正确； 对于B，由于S和L是串联关系，故灯泡L亮，必有S闭合， S闭合，灯泡L亮，即p是q的充要条件，B错误； 对于C，灯泡L亮，则开关和S必都闭合， 当开关S闭合打开时，灯泡L不亮，故p是q的充分不必要条件，C错误； 对于D，灯泡L亮，开关S未必闭合，故p不是q的充分条件，D错误. 故选：A. 4. 已知函数在闭区间上的值域是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合二次函数的图象及性质求解即可. 【详解】函数的对称轴为，且，， 画出函数的图象， 由图象可知，要使函数在上的值域是， 则，即实数的取值范围是. 故选：D. 5. 若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数图象对称性、定义域、特殊函数值可利用排除法得出结论. 【详解】观察函数的图象，由图象关于原点对称，可知为奇函数， 图象与轴有两个交点，且，并且函数在处无定义. 函数在单调递减，在单调递增. A项，若，则，不符合图象，故A错误； B项，若，由图象可知函数在处无定义，而此选项中，故B错误； D项，若，，故D项错误； C项，若，由的定义域为，关于原点对称. 且，故为奇函数，图象关于原点对称， 且， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增； 综上分析，函数的性质与所给图象性质吻合， 所以的解析式可能是. 故选：C. 6. 函数在区间上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先减后增 D. 先增后减 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数图象即可判断单调性. 【详解】函数，即， 如图，在平面直角坐标系内分别作出函数与的图象， 则由题意可得到的图象（即图中两相交曲线下方实线部分）， 故函数在区间上先增后减. 故选：D. 7. 若函数有三个零点，，，若，则零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先可得，，从而得到，再由零点存在性定理判断即可. 【详解】依题意可得，则， 所以，显然为连续函数， 又，所以，，， ，， 根据零点存在性定理可知的第三个零点. 故选：A 8. 已知奇函数的定义域为R，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得出函数的周期性，再结合奇函数的性质得出函数的值域，从而不等式恒成立转化为新不等式有解，再根据和分类讨论可得． 【详解】由函数是奇函数得函数的图象关于原点对称， 由任意的x，总有成立，即恒成立， 于是得函数的周期是4，又当时，， 而是奇函数，当时，， 又，，从而行， 即时，，而函数的周期是4， 于是得函数在R上的值域是， 因为对任意，存在，使得成立， 从而得不等式在R上有解，当时，显然成立， 当时，在R上有解，必有，解得， 则有. 综上得. 故选：B． 【点睛】结论点睛：不等式恒成立问题的转化：的定义域是，的定义域是， （1）对任意的，存在，使得成立； （2）对任意的，任意的，恒成立； （3）存在，对任意的，使得成立； 二、多选题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得4分，部分选对得2分，有错选得0分. 9. 将下列角度与弧度进行互化正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用角度与弧度的换算公式计算即可一一判断. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 10. 下列式子恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由指数函数、对数函数的单调性比较大小判断选项AB；由对数式的运算和特殊角的正切值判断选项C；由对数式的运算判断选项D. 【详解】A项，指数函数在上单调递增， 由，则，故A正确； B项，对数函数在上单调递增，则， 又，所以，故B正确； C项，，故C错误； D项，，故D正确. 故选：ABD 11. 函数的定义域为，其图象上任一点满足．则下列命题中正确的是（ ） A. 函数可以是奇函数； B. 函数一定是偶函数； C. 函数可能既不是偶函数，也不是奇函数； D. 若函数值域是，则一定是奇函数． 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合的奇偶性、值域等知识确定正确答案. 【详解】由的定义域是，得当时，， 当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 作出的图象如图， 函数为该图象的一部分，且只需保证直线与的图象有且仅有一个交点即可，所以A正确； 例如,为非奇非偶函数，所以B错误，C正确; 若函数值域是，则一定是奇函数，D正确. 故选：ACD 12. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. C. 在上的最大值是10 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意令，求出，再令，即可得到，从而判断A；令得到，，从而得到关系即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式求解可得. 【详解】因为，则有， 令，则，则. A项，令则，即， 故的图象关于对称，故A正确； 设且，则，由， 令，，由A项结论， 则， 即， 由时，，得，则， 所以，所以， 故在R上单调递减. B项，令，则， 以代x，则， 即， 则，故B错误； C项， 由，所以，， 又，所以， 由在R上单调递减， 故当时，在上取到最大值，最大值为，故C正确； D项，由, ， 又因为，即， 所以，即， 由在R上单调递减，可得，解得， 所以原不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 若函数，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式求函数值. 【详解】因为，，故. 故答案为： 14. 周长为40的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是______. 【答案】 【解析】 【分析】设出扇形所在圆半径，借助扇形面积公式建立函数关系，再求出最大值即得. 【详解】设扇形所在圆半径为，则该扇形弧长，， 于是该扇形的面积，当且仅当时取等号， 所以当时，扇形的面积最大，此时扇形的圆心角等于. 故答案为： 15. 某机构研究某地区的流感爆发趋势，发现从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情暴发系数之间满足函数关系（为常数），当时，标志着疫情将要大面积暴发，若不进行任何干预，第50天时，病情暴发系数为0.5，则从确诊第一名患者开始到疫情大面积暴发至少经过天数为____________.（参考数据：） 【答案】40 【解析】 【分析】先由题意待定系数，再解不等式即可得. 【详解】因为， 又第50天时，病情暴发系数为0.5. 所 以，所以， 所以，解得，所以， 由，可得，所以， 所以，由已知，所以， 故由，得，解得， 所以从确诊第一名患者开始到疫情大面积暴发至少经过天数为天. 故答案为：. 16. 已知定义在正实数集上的函数，设是互不相同的实数，满足，则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】结合分段函数区间端点处的函数值与函数的单调性作出的图象，再结合图象得的范围，由对数运算性质可得，再由的范围可得范围. 【详解】， 令，解得； 令，解得； 令，则； 由， 则在上单调递减，在单调递增，在单调递减. 画出的图象如下图所示， 由题意是互不相同的实数，满足，不妨设. 则由图可知，. 则由， 可得，解得. 结合图象可知， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 计算下列式子 （1） （2） 【答案】（1） （2）640 【解析】 【分析】（1）利用对数运算的运算法则、对数恒等式化简求解可得； （2）以“5”为底与以“2”为底分两组分别进行同底数幂运算化简，然后再利用指数、对数运算性质及对数恒等式求值可得. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 由，， 且，， 则 . 18. 已知函数. （1）解不等式； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接代入方程，通过换元转化为一元二次函数即可求解； （2）恒成立问题转化为求解函数最小值，利用函数的单调性结合二次函数性质求解最小值可得. 【小问1详解】 由，得， 令，则， 解得，即，解得. 故不等式的解集是. 【小问2详解】 ，不等式恒成立，. 由于，，当且仅当时，等号成立； 由是上的增函数，则当时，， 所以当时，， 故要使不等式恒成立，则. 故实数的取值范围为. 19. 设全集，集合，或 （1）求图中阴影部分表示的集合； （2）已知集合，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得； （2）先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【小问1详解】 图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． 【小问2详解】 因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 20. 眼下正值金柚热销之时，某水果网店为促销金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表： 购买的金柚重量 金柚单价/（元） 不超过5kg的部分 10 超过5kg但不超过10kg的部分 9 超过10kg的部分 8 记顾客购买的金柚重量为，消费额为元． （1）求函数的解析式． （2）已知甲、乙两人商量在这家网店购买金柚，甲、乙计划购买的金柚重量分别为，．请你为他们设计一种购买方案，使得甲、乙两人的消费总额最少，并求出此时的消费总额． 【答案】（1）； （2）一起购买，111元. 【解析】 【分析】(1)根据表格即可列出各段函数解析式; (2)分别计算各自购买的金额和一起购买金额，作差即可得到节省金额, 【小问1详解】 当时，； 当时，； 当时，； 综上可得：； 【小问2详解】 当甲、乙两人各自购买时，消费总额为（元）； 当甲、乙两人一起购买时，消费总额为（元）； 故由上可知当甲、乙两人一起购买时比他们各自购买时节省了6元，此时消费总额是111元. 21. 设（为实常数），与的图像关于轴对称. （1）若函数为奇函数，求的取值； （2）当时，若关于的方程有两个不等实根，求的范围； （3）当时，求方程的实数根个数，并加以证明. 【答案】（1） （2） （3）有唯一实数根，证明： 令，. 由，即，可知， 则时，与均单调递增，故上单调递增， 当时，， 且， 故在上有唯一零点； 又当时，恒成立，即在上无零点. 综上可知，方程有且仅有一个实数根. 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质列方程即可求得的值； （2）把关于x的方程有两个不等实根，转化成一元二次方程根的分布去解决即可； （3）先构建一个新函数，再由函数的单调性，结合零点存在性定理判定函数的零点情况即可. 【小问1详解】 设点为图像上任意一点，关于y轴的对称点为， 由题意可知在上，则有，故. 由 为奇函数， 则有，故. 检验：当时，，定义域为， 任意，都有， 故是奇函数. 综上可知，. 【小问2详解】 当时，. 由，且，得，即， 令，则关于的方程有两个不等正根， 则有，解得. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于构造差函数，令，将方程的实数根个数转化为函数的零点个数，再结合函数的单调性与零点存在性定理求解. 22. 已知是行列的数表（，），用表示位于第行第列的数，且满足，，给定，若数表满足，则称具有性质. （1）直接写出数表，是否具有性质； （2）判断是否存在具有性质的数表，并加以证明； 【答案】（1）数表具有性质；数表不具有性质. （2） 不存在，理由如下： 假设数表具有性质，则，数表有5行5列， 由条件得， 由，可知数表中任意两行不同， 根据定义由，且， 则对于任意，，， 则当时，， 即数表中任意一行都恰有个1，其余为0， 当时，， 又由，且， 故任意不同两行中恰1列同为1，即，其余各列情况只能为或或， 由题意可知，，则 ①当时，不妨设第一行是， 则其他行只能是以下6种情况，，，，， 其中与至多出现1个， 与至多出现1个， 与至多出现1个， （假设同时出现，则当时，，不满足条件）， 从而该数表最多4行，故与题意5行5列矛盾， ②当时，不妨设第一行是， 则其它行只能是，，， 故数表至多4行，产生矛盾； ③当时，数表中任意不同两行至少有3个位置都是1， 则当时，，不满足性质； ④当时，数表中任意一行都是5个1，这与任两行不同矛盾； 综上所述，不存在具有性质的数表. 【解析】 【分析】（1）由数表结合取值，分别求解验证即可； （2）用反证法证明，结合性质，按的取值分类讨论分别推出矛盾可证明. 【小问1详解】 对于数表， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故可以看到，当时，， 且当时，， 所以数表具有性质， 对于数表, 当时，， 故数表不具有性质. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键在于条件的理解，转化为以下性质： （1）数表中任意两行不同； （2）数表中任意一行都恰有个1，其余为0，行共有个1， （3）故任意不同两行中恰1列同为1，即，其余情况只能为或或， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025-1高一年级月考（2） 数学试题 第I卷（选择题） 一、选择题：共8小题，每小题4分，共32分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合满足，则不同的的个数为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 2. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设计如图所示的四个电路图，条件“灯泡亮”；条件“开关闭合”，则是的必要不充分条件的电路图是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在闭区间上的值域是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先减后增 D. 先增后减 7. 若函数有三个零点，，，若，则零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数的定义域为R，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得4分，部分选对得2分，有错选得0分. 9. 将下列角度与弧度进行互化正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列式子恒成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 函数的定义域为，其图象上任一点满足．则下列命题中正确的是（ ） A. 函数可以是奇函数； B. 函数一定是偶函数； C. 函数可能既不是偶函数，也不是奇函数； D. 若函数值域是，则一定是奇函数． 12. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. C. 在上的最大值是10 D. 不等式的解集为 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 若函数，则__________. 14. 周长为40的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是______. 15. 某机构研究某地区的流感爆发趋势，发现从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情暴发系数之间满足函数关系（为常数），当时，标志着疫情将要大面积暴发，若不进行任何干预，第50天时，病情暴发系数为0.5，则从确诊第一名患者开始到疫情大面积暴发至少经过天数为____________.（参考数据：） 16. 已知定义在正实数集上的函数，设是互不相同的实数，满足，则的取值范围为_____________. 四、解答题：共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 计算下列式子 （1） （2） 18. 已知函数. （1）解不等式； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 设全集，集合，或 （1）求图中阴影部分表示的集合； （2）已知集合，若，求的取值范围. 20. 眼下正值金柚热销之时，某水果网店为促销金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表： 购买的金柚重量 金柚单价/（元） 不超过5kg的部分 10 超过5kg但不超过10kg的部分 9 超过10kg的部分 8 记顾客购买的金柚重量为，消费额为元． （1）求函数的解析式． （2）已知甲、乙两人商量在这家网店购买金柚，甲、乙计划购买的金柚重量分别为，．请你为他们设计一种购买方案，使得甲、乙两人的消费总额最少，并求出此时的消费总额． 21. 设（为实常数），与的图像关于轴对称. （1）若函数为奇函数，求的取值； （2）当时，若关于的方程有两个不等实根，求的范围； （3）当时，求方程的实数根个数，并加以证明. 22. 已知是行列的数表（，），用表示位于第行第列的数，且满足，，给定，若数表满足，则称具有性质. （1）直接写出数表，是否具有性质； （2）判断是否存在具有性质的数表，并加以证明； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $