3.4.1 圆周角定理 教案 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

第三章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角定理 一、教学目标 1．经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程. 2．理解圆周角的概念，圆周角定理及其推论1，并能进行简单的推理和计算. 3．体会分类、归纳等数学思想方法，提高自己解决问题的能力. 二、教学重难点 重点：理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用. 难点：能运用圆周角定理及其推论1进行简单的推理和计算. 三、教学过程 【新课导入】 [情境导入]课件展示图片 [提出问题] 在射门游戏中（如图），球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关.当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？ 学生回顾旧知：圆心角、等弧的定义，圆心角、弧、弦之间的关系. 学了这节内容,问题便会迎刃而解.板书课题：第三章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角定理 【新知探究】 （一）圆周角的概念 [课件展示] [提出问题]图中的∠ABC，∠ADC，∠AEC有什么共同特点？ [交流讨论]小组之间交流讨论.得出结论：它们的顶点都在圆上，两边分别与圆还有另一个交点. [教师总结]顶点都在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角，叫做圆周角. [教师补充]1.圆周角要具备两个特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交 . 2.圆周角可以是锐角，也可以是直角或钝角. [课件展示]随堂练习 练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由. [师生互动]教师提问，学生积极回答问题. PPT展示答案：是 不是，顶点A不在圆上 不是，边AC没有和圆相交 不是，顶点A不在圆上 是 是 [归纳总结]定义中的两个特征缺一不可——角的顶点在圆上，角的两边都与圆相交. （二）圆周角定理 [课件展示] 如图, ∠ AOB = 80°. [提出问题]（1）请你画出几个 AB所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流. （2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流. （3）在图中，改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？ [交流讨论]小组之间交流讨论.得出结论： （1）所画圆周角如图所示，∠ADB，∠ACB，∠AEB这几个圆周角相等. （2）这些圆周角都相等，且等于圆心角∠AOB的一半. 提示：以∠ACB为例，连接CO并延长交圆于点M，易得∠ACM= ∠CAO=∠AOM，∠BCM=∠CBO=∠BOM，∴∠ACB=∠AOB. （3）改变∠AOB的度数，得到的结论还成立. [归纳总结]圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. [课件展示]经典例题： 例1 已知：如图，∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角.求证：∠C= ∠AOB. [教师补充]圆周角与圆心有以下3种不同的位置关系，我们一一讨论. [交流讨论]小组之间交流讨论. [教师讲解]证明：第一种：圆心O在∠C的一条边上，如图（1）. ∵∠AOB是△AOC的外角，∴∠AOB=∠A+∠C. ∵OA=OC，∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C，即∠C=∠AOB. 第二种和第三种都可以转化为第一种再证明. 如图（2）（3），连接CO并延长交圆于点D. 同理可得∠AOD=2∠ACD，∠BOD=2∠BCD. ∴∠AOB=2∠ACB，即∠ACB=∠AOB. [归纳总结]分类讨论、转化 （三）圆周角定理的推论1 [提出问题]在前面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？ [交流讨论]小组之间交流讨论.得出结论：∠ABC=∠ADC=∠AEC. 能.证明如下：如图，作出圆心角∠AOC.根据圆周角定理，得∠ABC=∠AOC，∠ADC=∠AOC，∠AEC=∠AOC.∴∠ABC=∠ADC=∠AEC. [归纳总结]圆周角定理的推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等. [教师补充]若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论不成立，因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况下不相等. [课件展示]经典例题： 例2 如图,已知四边形ABCD的四个顶点均在☉O上,AB=BC,BD交AC于点E.求证:DB平分∠ADC. [交流讨论]小组之间交流讨论. [教师讲解]证明:∵AB=BC,∴弧AB=弧BC.∴∠ADB=∠CDB,即DB平分∠ADC. 【课堂小结】 一、圆周角的概念 顶点在圆上，两边分别与圆相交的角叫做圆周角. 二、圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 三、圆周角定理的推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等. 【课堂训练】 学生完成本课时PPT练习题，教师讲评. 【布置作业】 【板书设计】 第三章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角定理 1.圆周角的概念 2.圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 3.圆周角定理的推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等. 【教学反思】 本节课的重点是圆周角与圆心角的关系，难点是应用所学知识灵活解题．在本节课的教学中，学生对圆周角的概念和“同弧或等弧所对的圆周角相等”这一性质较容易掌握，理解起来问题也不大，而对圆周角与圆心角的关系理解起来则相对困难，因此在教学过程中要着重引导学生对这一知识的探索与理解．还有些学生在应用知识解决问题的过程中往往会忽略同弧的问题，在教学过程中要对此予以足够的强调，借助多媒体加以突出. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$