3.3 垂径定理 教案 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

第三章 圆 *3.3 垂径定理 一、教学目标 1．会运用圆的对称性探究垂径定理，证明垂径定理. 2．掌握垂径定理及其推论，能利用垂径定理及其推论进行相关的计算和证明. 3．在经历探索与证明垂径定理的过程中，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法. 二、教学重难点 重点：理解垂径定理及其推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题. 难点：利用垂径定理及其推论解决实际问题. 三、教学过程 【新课导入】 [情境导入]课件展示图片 [提出问题]你知道赵州桥吗?它是1400多年前我国隋朝建造的石拱桥，它的主桥是圆弧形,它的跨度(即弧所对的弦长)为37.4m, 拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出桥拱所在圆的半径吗？ 学生回顾旧知：上节课学习的圆的对称性，圆心角、弧、弦之间的关系. 学了这节内容,问题便会迎刃而解.板书课题：第三章 圆 *3.3 垂径定理 【新知探究】 （一）垂径定理及其推论 [提出问题]如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄AB，垂足为M. （1）此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. [交流讨论]小组之间交流讨论.得出结论： （1）此图是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线. （2）AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.理由：将图形沿CD折叠后这些量可以完全重合. [提出问题]能不能用所学过的知识证明你的结论？ [课件展示]典型例题： 例1 已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M. 求证：AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD. [交流讨论]学生思考问题，小组之间交流讨论. [教师讲解]证明：连接OA，OB，则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.∴弧AC=弧BC. ∵∠AOD=180°-∠AOC，∠BOD=180°-∠BOC， ∴∠AOD=∠BOD.∴弧AD=弧BD. [归纳总结]垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 用几何语言表述为：∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ∴ AM=BM，弧AC=弧BC,弧AD=弧BD.(结论) [教师总结]垂径定理的几个基本图形： [课件展示]随堂练习 练一练：判断下列图形，能否使用垂径定理？ [师生互动]教师提问，学生积极回答问题. PPT展示答案：× √ × [归纳总结]定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦. [提出问题]如图，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M. （1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. [交流讨论]小组之间交流讨论.得出结论： 此图是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线. 直径CD⊥AB，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.理由：连接OA，OB，易证△OAM≌△OBM，即可得出上述结论. [归纳总结]垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 用几何语言表述为：∵CD是直径，AE=BE，（条件） ∴ AB⊥CD，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.（结论） [提出问题]思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. [交流讨论]小组之间交流讨论.得出结论： 不能.如图.（圆的两条直径是互相平分的） [归纳总结]根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备 （1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（不是直径）； （4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论. （二）垂径定理的应用 [课件展示]典型例题： 例2 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD所在圆的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. [交流讨论]学生思考问题，小组之间交流讨论. [教师讲解]解：连接OC.设弯路的半径为Rm，则OF=（R-90）m. ∵OE⊥CD，∴CF=CD=×600=300（m）. 在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC²=CF²+OF²， 即R²=300²+（R-90）².解这个方程，得R=545. 所以，这段弯路的半径为545m. [提出问题]试一试： 根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗? [交流讨论]学生思考问题，小组之间交流讨论. [教师讲解]解：∵OD⊥AB，∴AD=AB=×37.4=18.7（m）. 在Rt△ODA中，OD=（R-7.2）m，OA=Rm， ∴R²=（R-7.2）²+18.7².解得R≈27.9. 因此，桥拱所在圆的半径约为27.9m. [教师补充]涉及垂径定理时辅助线的添加方法： 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 弓形中重要数量关系： 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：d+h=r，r²=d²+. 【课堂小结】 一、垂径定理及其推论 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 2.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 3.知二推三：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧. 4.两条辅助线：连半径，作弦心距.构造 Rt△ 利用勾股定理计算或建立方程. 二、垂径定理的应用 【课堂训练】 学生完成本课时PPT练习题，教师讲评. 【布置作业】 【板书设计】 第三章 圆 *3.3 垂径定理 1.垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 2.垂径定理的应用 【教学反思】 垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及的条件结论比较多，学生容易搞混淆，本节课采取了讲练结合、动手操作的教学方法，课前布置所有同学制作一张圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形，并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，收到了很好的教学效果. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$