3.4.1 圆周角定理 课件 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

第三章　圆 4 圆周角和圆心角的关系 北师大版-数学-九年级下册 第1课时 圆周角定理 学习目标 1．经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程. 2．理解圆周角的概念，圆周角定理及其推论1，并能进行简单的推理 和计算. 3．体会分类、归纳等数学思想方法，提高自己解决问题的能力. 【重点】理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用. 【难点】能运用圆周角定理及其推论1进行简单的推理和计算. 新课导入 在射门游戏中（如图），球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关.当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？ 新知探究 知识点 圆周角的概念 1 观察图中的∠ABC，∠ADC，∠AEC，可以发现，它们的顶点都在圆上，两边分别与圆还有另一个交点.像这样的角，叫做圆周角. 1.圆周角要具备两个特征： ①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交 . 2.圆周角可以是锐角，也可以是直角或钝角. 注意 问题：图中的∠ABC，∠ADC，∠AEC有什么共同特点？ 新知探究 练一练 下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由. · C O B A · C O A · C O B A B · C O A · C O B A C O B A B 是 不是，顶点A不在圆上 不是，边AC没有和圆相交 不是，顶点A不在圆上 是 是 · 新知探究 知识点 圆周角定理 2 如图, ∠ AOB = 80°. （1）请你画出几个 AB所对的圆周角，这几个 圆周角有什么关系？与同伴进行交流. （2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是 怎样发现的？与同伴进行交流. （3）在图中，改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？ ︵ 新知探究 （1）所画圆周角如图所示，∠ADB，∠ACB，∠AEB这几个圆周角相等. （2）这些圆周角都相等，且等于圆心角∠AOB的一半. 提示：以∠ACB为例，连接CO并延长交圆于点M，易得∠ACM= ∠CAO= ∠AOM，∠BCM=∠CBO= ∠BOM，∴∠ACB= ∠AOB. M （3）改变∠AOB的度数，得到的结论还成立. 新知探究 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 例 已知：如图，∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角.求证：∠C= ∠AOB. 分析：圆周角与圆心有以下3种不同的位置关系，我们一一讨论. 新知探究 证明：第一种：圆心O在∠C的一条边上，如图（1）. ∵∠AOB是△AOC的外角，∴∠AOB=∠A+∠C. ∵OA=OC，∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C，即∠C= ∠AOB. 第二种和第三种都可以转化为第一种再证明. 如图（2）（3），连接CO并延长交圆于点D. 同理可得∠AOD=2∠ACD，∠BOD=2∠BCD. ∴∠AOB=2∠ACB，即∠ACB= ∠AOB. D D 新知探究 归纳总结 分类讨论、转化 化归 化归 新知探究 知识点 圆周角定理的推论1 3 在前面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？ O ∠ABC=∠ADC=∠AEC. 能.证明如下：如图，作出圆心角∠AOC.根据圆周角定理，得∠ABC=∠AOC，∠ADC=∠AOC，∠AEC=∠AOC.∴∠ABC=∠ADC=∠AEC. 新知探究 圆周角定理的推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等. 若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论不成立， 因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况下 不相等. 注意 新知探究 例 如图,已知四边形ABCD的四个顶点均在☉O上,AB=BC,BD交AC于点E.求证:DB平分∠ADC. 证明:∵AB=BC,∴AB=BC. ∴∠ADB=∠CDB, 即DB平分∠ADC. ︵ ︵ 课堂小结 圆周角定义 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 同弧或等弧所对的圆周角相等 顶点在圆上，两边分别与圆相交的角 圆周角定理 的推论1 圆心角 类比 圆周角 课堂训练 1. 判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等. （ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等. （ ） （3）同弦所对的圆周角相等. （ ） √ × × 课堂训练 2.（2023河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C=55°，则∠AOB的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° D 课堂训练 3.（2023青海）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一点，OC⊥AB，垂足为D．若∠A= 20°，则∠ABC=（　　） A．20° B．30° C．35° D．55° C 课堂训练 4.（2023杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC =19°，则∠BAC=（　　） A．23° B．24° C．25° D．26° D 课堂训练 5.如图，A，P，B，C 是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°． 求证：△ ABC 是等边三角形. 证明：∵ A，P，B，C 是圆上的四个点， ∴∠ ABC= ∠ APC，∠CAB=∠ CPB. 又∵∠ APC= ∠ CPB=60°，∴∠ ABC= ∠ CAB=60°. ∴ AC=BC.又∵∠ABC=60°，∴△ ABC 是等边三角形. 课堂训练 6.如图，A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，求∠BAF的度数. 解：如图，连接OB. ∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，OC∥AB.又∵OA=OB=OC，∴OA=OB=AB. ∴△AOB为等边三角形.∴∠AOB=60°. ∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB. ∴∠BOF=∠AOF=30°.∴∠BAF= ∠BOF=15°. $$