精品解析：福建省泉州市丰泽区城东中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年福建省泉州市丰泽区城东中学九年级（上）期中数学试卷 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 要使二次根式有意义，则的取值可以是（ ） A. 5 B. 3 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴x的取值可以是5． 故选：A． 2. 若，则的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例性质，根据已知得到，代入所求式子求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 3. 将一元二次方程化成一般形式后二次项的系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 2、、3 B. 2、1、1 C. 2、1、 D. 2、1、3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，先把一元二次方程化为一般式，然后问题可求解． 【详解】解：∵一元二次方程可得， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，1，； 故选：C． 4. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握定义是解题的关键．根据事件的分类，结合数学知识，生活经验解答即可． 【详解】解：A、明天早上会下雨，是随机事件，不符合题意； B、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、任意一个三角形，它的内角和等于，是必然事件，符合题意； D、一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件，不符合题意； 故选∶C． 5. 如图，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例，利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：， ， 又∵，，， ， ． 故选：C． 6. 如图，在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：∵，则， 故选：A． 7. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为：( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换．根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”，即可得到答案． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得：， 故选：A． 8. 若个人参加酒会，每两个人都只碰一次杯，如果一共碰杯次，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，每两个人都只碰一次杯，是单循环，掌握一元二次方程的运用是解题的关键． 根据比赛的单循环的计算方法，列方程即可求解． 【详解】解：个人参加酒会，每两个人都只碰一次杯，如果一共碰杯次， ∴， 故选：A ． 9. 潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（ ） （结果精确到．参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 10. 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断．利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断． 【详解】解：二次函数与轴有两个交点， ，故①错误， 观察图象可知：当时，随增大而减小，故②正确， 抛物线与轴的另一个交点为在和之间， 时，，故③错误， 当时，抛物线与直线没有交点， 方程没有实数根，故④正确， 对称轴， ， ， ，故⑤正确， 故选：B． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法运算法则解题即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，在中，对称轴为，顶点坐标为．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 13. 小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了______米． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，此题关键是用同一未知数表示出上升高度和水平前进距离.根据题意设铅直距离为x，则水平距离为，根据勾股定理求出x的值，即可得到结果． 【详解】解：设垂直距离为x米，则水平距离为米， 根据题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴她实际上升了50米， 故答案为：50 14. 如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，确定阴影部分的面积在整个图形中占的比例成为解题的关键． 用阴影部分的面积除以总面积即可解答． 【详解】解：∵的方格纸的面积为，阴影部分面积为， ∴飞镖落在阴影区域的概率是． 故答案为：． 15. 如图，在中，G为的重心，连，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质和中线的性质．根据重心的性质可得，然后证明，从而得解． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点， ∵点G是的重心， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 在矩形中，，E是的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交，（或它们的延长线）于点M，N，设，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中正确的是________．（填写序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①作辅助线于点F，然后证明，从而求出，所以与的长度相等．②由①，即可得到结论正确；③经过简单的计算得到，④先判断出是等腰直角三角形，再用面积公式即可． 【详解】解：①如图， 在矩形中，，E是的中点， 作于点F，则有， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵不一定等于， ∴①错误， ②由①有， ∴， ∴②正确， ③由①得，， ∵， ∴，， ∴， ∴③正确， ④如图， ∵E是的中点， ∴， 在，， ∴， 由（1）知，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】此题是全等三角形的性质和判定题，主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，图形面积的计算锐角三角函数，解本题的关键是，难点是计算． 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先算乘法，再算加减，即可解答． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【详解】解：方法一、， 移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 方程的解为：，； 方法二、 其中，，， ， ，即， 方程的解为：，； 方法三、， 因式分解得：， 或， 方程的解为：． 19. 如图，已知，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键，已经有一角相等，只需再证一角相等即可；由等式的性质得出，即可得出结论． 【详解】略 20. 如图，已知是坐标原点，点，的坐标分别为，． （1）以点为位似中心，在轴的左侧作，使它与位似，且位似比为； （2）如果周长为，则的周长为 ； （3）若线段上有一点，请直接写出点的对应点的坐标 ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查位似图形．熟练掌握位似图形的定义和性质，是解题的关键． （1）根据位似图形的性质，画出即可； （2）根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结论； （3）根据以原点为位似中心的图形上的点的坐标规律，写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：以点为位似中心在轴的左侧将放大到原来的倍得到， ，相似比为， ，的周长比为， 的周长为， 的周长为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以的坐标， ， 故答案为：． 21. “四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校九年级计划开展“名著共读”活动． （1）若从中随机选取1本开展共读活动，抽到《西游记》的概率是____； （2）若从中随机选取2本名著开展活动，其中有一本是《西游记》的概率是多少？（用树状图或列表的方法分析过程，并求出结果） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查直接利用概率公式和画树状图法求等可能事件的概率 （1）根据题意直接利用概率公式求解即可； （2）根据题意画树状图，共有12种等可能的结果，其中满足题意的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，抽到《西游记》的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：把《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》四本书分别记为A，B，C，D，根据题意，画出如下的树状图： 由树状图可知看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等． 其中有一本是《西游记》的结果有6种， 所以其中有一本是《西游记》的概率是． 故其中有一本是《西游记》的概率是． 22. 如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P在抛物线上，且求点P的坐标； 【答案】（1）；（2）、，或，． 【解析】 【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的函数表达式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，设点P的纵坐标为m，根据三角形的面积公式结合S△AOP=4S△BOC，即可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点P的坐标. 【详解】解：（1）将，代入，得： ，解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）当时，， 解得：，， 点的坐标为， ． 设点的纵坐标为，则， ， ， ． 当时，， 解得：， 点的坐标为； 当时，， 解得：，， 点的坐标为，或，． 综上所述：点的坐标为、，或，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解含绝对值符号的一元一次方程、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）根据两三角形面积间的关系，求出点P的纵坐标. 23. 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 【答案】（1）D的长为10m；（2）当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2． 【解析】 【分析】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程求得x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长； （2）设AD=xm，利用矩形面积可得S= x（100﹣x），配方得到S=﹣（x﹣50）2+1250，根据a的取值范围和二次函数的性质分类讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣a 【详解】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m， 根据题意得x（100﹣2x）=450， 解得x1=5，x2=45， 当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去； 当x=45时，100﹣2x=10， 答：AD的长为10m； （2）设AD=xm， ∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250， 当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250； 当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣a2， 综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2． 【点睛】本题考查了一元二次方程及二次函数的应用．解决第（2）问时，要注意根据二次函数的性质并结合a的取值范围进行分类讨论，这也是本题的难点． 24. 如图，在正方形中，点E在边上，点F在边的延长线上，连接与边相交于点G，连接与对角线相交于点H，，． (1)求证：； (2)求大小； (3)求证： 【答案】（1）证明：∵正方形， ∴， 又∵， ∴四边形是， ∴， （2）； （3）∵ 由 ∴ ∴ ∴ 【解析】 【分析】（1）根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定． （2）先确定是等腰直角三角形，得出，然后通过，得出，即可求得． （3）因为是等边三角形，，，从而求得，然后通过求得，即可求得． 【详解】（1）略 （2）连接 又，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）略 【点睛】本题考查相似三角形，平行四边形的证明及性质，全等三角形以及三角函数定义，熟练掌握知识点是解题关键． 25. 【问题背景】 （1）如图1，点B，C，D在同一直线上，，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）条件下，若点C为的中点，求证：； 【拓展运用】 （3）如图2，在中，，点O是的内心，若，，则的长为______． 【答案】（1）证明：∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵C为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴，即． （3）10 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和可证，再由，即可证明结论； （2）由（1），可得，再由C为的中点，可得，从而证明，即可证明结论； （3）过点O作交于点E，交于点F，∵点O是的内心，，可证、、是等腰直角三角形，可求，，根据证明和，可求，，从而求出，，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：如图，过点O作交于点E，交于点F， ∵点O是的内心，， ， ， 、、是等腰直角三角形， ， ， ， ∵点O是的内心， 、分别平分、， ， ， 又， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、内切圆的性质、等腰三角形的性质、角平分线的判定和性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福建省泉州市丰泽区城东中学九年级（上）期中数学试卷 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 要使二次根式有意义，则的取值可以是（ ） A. 5 B. 3 C. 0 D. 2. 若，则的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 3. 将一元二次方程化成一般形式后二次项的系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 2、、3 B. 2、1、1 C. 2、1、 D. 2、1、3 4. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 5. 如图，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为：( ) A. B. C. D. 8. 若个人参加酒会，每两个人都只碰一次杯，如果一共碰杯次，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 9. 潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（ ） （结果精确到．参考数据：） A. B. C. D. 10. 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 计算的结果是________． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 13. 小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了______米． 14. 如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为_____． 15. 如图，在中，G为的重心，连，则______． 16. 在矩形中，，E是的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交，（或它们的延长线）于点M，N，设，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中正确的是________．（填写序号） 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，已知，求证：． 20. 如图，已知是坐标原点，点，的坐标分别为，． （1）以点为位似中心，在轴的左侧作，使它与位似，且位似比为； （2）如果周长为，则的周长为 ； （3）若线段上有一点，请直接写出点的对应点的坐标 ． 21. “四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校九年级计划开展“名著共读”活动． （1）若从中随机选取1本开展共读活动，抽到《西游记》的概率是____； （2）若从中随机选取2本名著开展活动，其中有一本是《西游记》的概率是多少？（用树状图或列表的方法分析过程，并求出结果） 22. 如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P在抛物线上，且求点P的坐标； 23. 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 24. 如图，在正方形中，点E在边上，点F在边的延长线上，连接与边相交于点G，连接与对角线相交于点H，，． (1)求证：； (2)求大小； (3)求证： 25. 【问题背景】 （1）如图1，点B，C，D在同一直线上，，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）条件下，若点C为的中点，求证：； 【拓展运用】 （3）如图2，在中，，点O是的内心，若，，则的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $