精品解析：河南省郑州市2023-2024学年下学期八年级数学期中综合素质评价试卷

河南省郑州市2023−2024学年第二学期八年级数学 期中综合素质评价 限时：120分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为（ ） A. 且 B. C. D. 且 2. 成立的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 在算式的中填上运算符号，使结果最大，则这个运算符号是（ ） A. 加号 B. 减号 C. 乘号 D. 除号 4. 若最简二次根式与二次根式可以合并，则的值为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 5. 如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是（ ） A. 为矩形两条对角线的交点 B. C. D. 6. 如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD，BD=BC，∠C=60°，如果△DBC的周长为m，则AD的长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 计算的结果为（ ） A. B. C. 1 D. 3 9. 对于有理数、，定义的含义为：当时，，例如：.已知，，且和为两个连续正整数，则的立方根为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上一点，且，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 12. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 写出一个能与合并的最简二次根式：____________． 14. 如图，正方形ABCD中，AB=，延长BC至E，使BE=BD，则BDE的面积为_________． 15. 已知、为实数，且，则______． 16. 观察下列等式： 第1个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， … 按上述规律，计算___________． 17. 如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______． 18. 如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若∠ABC＝120°，AB＝4，则PE﹣PF＝_____． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）． 20. 已知实数，满足，求的值． 21. 如图，点，点B在y轴上，将沿x轴负方向平移，平移后的图形为，且点C的坐标为，且． （1）求线段的长． （2）当点P在上运动时，请问之间有何数量关系？请说明理由． 22. 如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 23. 如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接． （1）求证：． （2）若正方形的边长为8，为的中点，求的长． 24. 我们规定：若，则称与是关于1的平衡数． （1）若3与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数，求，的值． （2）若，当，为何值时，与是关于1的平衡数？并说明理由． 25. 如图，已知正方形的边长为1，是对角线上任意一点，为上的点，且，，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若点在线段上移动，其他条件不变，设，，求关于的表达式，并写出自变量的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省郑州市2023−2024学年第二学期八年级数学 期中综合素质评价 限时：120分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据代数式在实数范围内有意义得到且，求出结果即可． 【详解】解：代数式在实数范围内有意义， 且， 且， 故选：A． 2. 成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件可得出， 解一元一次不等式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 解得∶， 故选：B. 3. 在算式的中填上运算符号，使结果最大，则这个运算符号是（ ） A. 加号 B. 减号 C. 乘号 D. 除号 【答案】D 【解析】 【分析】分别把加、减、乘、除四个符号填入括号，计算出结果即可．本题考查的是二次根式的运算及实数的大小比较，根据题意得出填入加、减、乘、除四个符号的得数是解答此题的关键． 【详解】解：当填入加号时：； 当填入减号时：； 当填入乘号时：； 当填入除号时：． ， 使结果最大，则这个运算符号是除号． 故选：D． 4. 若最简二次根式与二次根式可以合并，则的值为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，熟悉掌握此概念是解题的关键． 化简后，建立关于的等式运算即可． 【详解】解：∵，且可以它此合并， ∴和是同类二次根式， ∴， 解得：； 故选：B． 5. 如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是（ ） A. 为矩形两条对角线的交点 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 由矩形的性质得出 ，再由平行线的性质得出，，然后由全等三角形的判定逐一判定即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ， ∴，， A、∵O为矩形两条对角线的交点， ∴， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； B、在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； D、∵， ∴， 两三角形中缺少对应边相等，所以不能判定， 故此选项符合题意； 故选：D． 6. 如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD，BD=BC，∠C=60°，如果△DBC的周长为m，则AD的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作DE⊥BC于E，证出四边形ABED是矩形，得出AD=BE，再证明△BCD是等边三角形，得出BC=BD=CD，BE=BC，即可得出结果． 【详解】作DE⊥BC于E，如图所示： ∵AB⊥BC，AB⊥AD， ∴四边形ABED是矩形， ∴AD=BE， ∵BD=BC，∠C=60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BC=BD=CD，BE=BC， ∵△DBC的周长为m， ∴BC=， ∴AD=BE=； 故选B． 【点睛】考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 8. 计算的结果为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，积的乘方的逆用，平方差公式，将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算和平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 9. 对于有理数、，定义的含义为：当时，，例如：.已知，，且和为两个连续正整数，则的立方根为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据min{a，b}的含义得到：a＜＜b，由a和b为两个连续正整数求得它们的值，然后代入求值． 【详解】解：∵，， ∴a＜＜b， ∵5＜＜6，且a和b为两个连续正整数， ∴a=5，b=6， ∴ab-（）2=5×6-31=-1， ∴ab-（）2的立方根为-1． 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的应用，立方根，实数的运算，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 10. 如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ，，， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ∵， ∴， ． 故选：B． 11. 如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上一点，且，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取AC的中点M，连接EM设由中位线性质可得再根据，可得出从而得到FC的长，即可得到的结果． 【详解】解：如图所示：取AC的中点M，连接EM，DM ，设 ∵点是中点， ∴EM是的中位线， 四边形是菱形， ，∠AMD=90°， ， ∴DM=， ∴AM= 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键． 12. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，等角对等边，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，等角对等边，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键． 如图，作于，于，则四边形是矩形，证明四边形是正方形，则，，证明，则，可判断①的正误；证明，可判断②的正误；由，可得，可判断③的正误；由题意知，当时，，此时，可判断④的正误． 【详解】解：如图，作于，于，则四边形是矩形， ∵正方形， ∴， ∴，即， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∴四边形是正方形，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴，②正确，故符合要求； ∴， ∴，即，③正确，故符合要求； 由题意知，当时，，此时，④不一定成立，故不符合要求； 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 写出一个能与合并的最简二次根式：____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，正确理解其概念是解题的关键． 同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式；根据定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴能与其合并的最简二次根式可以是． 故答案为：（答案不唯一） ． 14. 如图，正方形ABCD中，AB=，延长BC至E，使BE=BD，则BDE的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出BD＝，进而根据BE＝BD，再计算出△BDE的面积即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝， ∴BD＝BE＝， ∴△BDE的面积＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形面积的计算，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 15. 已知、为实数，且，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】二次根式的被开方数是非负数，据此可得的值，进而得出的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：和都有意义， ， 解得：， 则， 或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 16. 观察下列等式： 第1个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， … 按上述规律，计算___________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据题意，可得：，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， … 第个等式：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 17. 如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 18. 如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若∠ABC＝120°，AB＝4，则PE﹣PF＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质与勾股定理得到，则，再由，，则即可得到答案． 【详解】解：连接BD交AC于O，如图： ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=4， ∴，AC⊥BD， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质的知识，求出AC，将PE-PF转换为是关键． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是： （1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可； （2）先计算二次根式的乘法，然后根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可； （3）先根据平方差公式、完全平方公式展开，然后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 20. 已知实数，满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识，先由二次根式有意义的条件、分式有意义的条件求出的值，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：，且， ， 解得：或， ，即， ， ， ． 21. 如图，点，点B在y轴上，将沿x轴负方向平移，平移后的图形为，且点C的坐标为，且． （1）求线段的长． （2）当点P在上运动时，请问之间有何数量关系？请说明理由． 【答案】（1）4；（2）∠CBP+∠PAD=∠BPA 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质得到a，b的值，可得点C坐标，从而可得点D坐标，即可得到AD； （2）利用平行线的性质分析得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴b=2，a=-3， ∴点C的坐标为：（-3，2）， ∴点D的坐标为：（-3，0）， ∴线段AD=1-（-3）=4； （2）如图，过点P作PN∥CB， ∴∠CBP=∠BPN， 又∵BC∥AE， ∴PN∥AE， ∴∠EAP=∠APN， ∴∠CBP+∠EAP=∠BPN+∠APN=∠APB． 【点睛】此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，正确应用平行线的性质是解题关键． 22. 如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形中，点、、、分别是各边的中点， ，， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，证明四边形是平行四边形，再利用三角形中位线定理得到，，利用矩形的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）利用三角形中位线定理和菱形性质得到，利用lx 面积公式得到，再利用完全平方公式结合勾股定理进行变形求解即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形中，点、、、分别是各边的中点， ，， 矩形的周长为22， ， 四边形是菱形， 即， 四边形的面积为10， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，矩形的性质和判定，三角形中位线定理，菱形的性质和判定，菱形面积公式，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握相关性质是解题的关键． 23. 如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接． （1）求证：． （2）若正方形的边长为8，为的中点，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质求出，，然后证明即可得； （2）过点O作于点H，连接，由正方形的边长为8且E为的中点可得，，根据勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点O作于点H，连接， ∵正方形的边长为8， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． 24. 我们规定：若，则称与是关于1的平衡数． （1）若3与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数，求，的值． （2）若，当，为何值时，与是关于1的平衡数？并说明理由． 【答案】（1）, （2），时，与是关于1的平衡数，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； （2）对式子进行化简，得到、的关系，再联立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：，， 解得，． 故答案为，． 【小问2详解】 解： 与是关于1的平衡数， ． ． 将②代入①，， ， 整理得． ， 代入②得，． 综上，当，时，与是关于1的平衡数． 25. 如图，已知正方形的边长为1，是对角线上任意一点，为上的点，且，，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若点在线段上移动，其他条件不变，设，，求关于的表达式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得出，由角平分线的性质可得出，再由垂直的定义即可得出 ，进而可得出四边形是正方形． （2）作于点，根据勾股定理求出，得出是等腰直角三角形．进而可得出，．再证明四边形为矩形， 进而可得出．，再证明，由全等三角形的性质可得出，再由正方形的性质得出 ，代入即可得出答案． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形，为其对角线， ，平分． 又，， ，． 四边形是正方形． 【小问2详解】 解：作于点， 则， 四边形是边长为1的正方形， ，，． ， ∴是等腰直角三角形． ∵， ，． ∵， ∴， 又∵， ， ∴四边形为矩形， ．， ∴， ． 在和中， ． ， 由（1）四边形是正方形． ∴， ∴， 即， 整理得， 其中自变量的取值范围为． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $