三角函数期末专题复习训练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高一数学期末专题复习 ------三角函数专题 一、单项选择题 1．已知，则是（   ） A．奇函数且最小正周期为 B．偶函数且最小正周期为 C．奇函数且最小正周期为 D．偶函数且最小正周期为 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．要得到的图象，只需把图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 4．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（    ） ①关于点对称； ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．函数在区间的大致图像为（    ） A． B． C． D． 6．已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的最小正周期为，若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．已知函数，下列命题正确的有（    ） A．由可得是的整数倍 B．的表达式可改写成 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 10．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则下列描述中正确的是（    ）． A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的最小正周期为2 C．函数的单调增区间为， D．函数的图象没有对称轴 11．已知函数，部分图象如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 三、填空题 12．已知函数，若关于x的方程在内有唯一实根，则实数t的取值范围是 . 13．已知函数，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为 . 14．若函数满足，则 . 四、解答题 15．已知函数的图象关于直线对称．其最小正周期与函数相同． (1)求的对称中心， (2)若函数在上恰有8个零点，求的最小值； (3)设函数，证明：有且只有一个零点，且． 16．已知函数，，的图象过点，且关于直线对称.若对于任意的，存在，使得. (1)求的解析式； (2)求实数的取值范围． 17．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式与单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和. 18．已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1. （1）求f(x)在[0，π]上的单调递减区间； （2）若f(α)＝，α∈，求sin 2α的值． 19．如图是一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h． （1）求h与θ间关系的函数解析式； （2）设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车离地面8米时用的最少时间是多少？ 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A B B A B C BD ABD 题号 11 答案 ABC 1．A 【分析】利用三角降幂公式和诱导公式将函数化简为，即可判断奇偶性和周期性. 【详解】因， 故为奇函数，且最小正周期为. 故选：A. 2．A 【分析】先用诱导公式将转化为，再用辅助角公式，最后两边平方即可得出结果. 【详解】因为， 所以， 所以，即， 所以，即， 两边同时平方整理得，所以． 故选：A 3．A 【分析】根据诱导公式可得，再根据三角函数的伸缩变换求解即可. 【详解】因为， 所以要得到的图象， 只需把图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变. 故选：A. 4．B 【分析】先根据函数的图象得出函数的解析式，再应用代入检验得出对称性判断①②，再根据单调性判断③，计算值域判断④. 【详解】由函数图象可知， ， 由图象可知，即 当时，，不关于点对称,①错误； 为，关于直线对称,②正确； 当时，单调递减，③正确； 当时，，，④错误. 故选：B. 5．B 【分析】利用函数的奇偶性排除AC，利用特殊点法排除D，从而得解. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，排除AC， 又，排除D. 故选：B. 6．A 【分析】将看成整体角，求出其范围，利用函数在上单调递增得不等式，求出，再根据缩小范围为；接着根据对任意，都有，结合正弦函数的图象得不等式，求得，由，缩小范围为，最后求交即得. 【详解】由，得，依题意， ，解得（*）. 又又，则，故由（*）得，时，即①. 由，得，因对任意，都有， 则，解得， 因为，故时，即②. 综合①，②，可得的取值范围为. 故选：A. 7．B 【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式化简，即可利用整体法求解值域. 【详解】 由于，则，所以， 所以函数的值域为. 故选：B 8．C 【解析】由三角恒等变换化简解析式，结合周期求出解析式，由得出，，从而结合求出且，再由余弦函数的性质得出的最大值、的最小值，从而得出的最大值. 【详解】函数的最小正周期为 若，则 故且 故的最大值为，的最小值为 即的最大值为，的最小值为 则的最大值为 故选：C． 9．BD 【分析】首先将函数化简，再根据三角函数的图象和性质，分别进行求解判断即可． 【详解】因为， 所以. A项，由，即， 函数的最小正周期，则是的整数倍， 不一定是的整数倍，故A错误； B项， ，故B正确； C项，当时，， 即函数关于不对称，故C错误； D项，当时，， 即当时，取到最小值， 则的图象关于直线对称，故D正确. 故选：BD． 10．ABD 【分析】根据图象的平移变换可得，根据正切函数的对称中心可求A，根据周期公式可求B，利用正切函数的单调性可求C，根据正切函数不是轴对称图形可求D. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数， 然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数， 令解得，当时， 所以函数的图象关于点成中心对称，A正确； 函数的最小正周期为，B正确； 令解得， 所以函数的单调增区间为，，C错误； 正切函数不是轴对称图形，D正确， 故选:ABD. 11．ABC 【分析】根据函数的部分图象求出函数解析式，然后根据正弦函数的性质一一判断． 【详解】解:由函数的图象可得，由，求得． 再根据五点法作图可得，又，求得， ∴函数， 当时，，不是最值，故A不成立； 当时，，不等于零，故B不成立； 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故C不成立； 当时，， ∵，， 故方程在上有两个不相等的实数根时，则的取值范围是，故D成立． 故选:ABC. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解答的关键是由函数的部分图象求出函数解析式，属于基础题． 12． 【分析】根据方程的根可得函数的零点为，且，即可根据得求解. 【详解】令，得或，解得，且， 所以较小的实数根为，， 因为，所以， 若关于x的方程在内有唯一实根，则， 即实数t的取值范围是. 故答案为： 13． 【分析】根据正弦函数的对称轴及零点，结合函数在给定区间上一个极大值求解. 【详解】由， 所以函数关于直线对称，于是有， 由， 于是解得. 令，所以， 令时，；令时，. 因为在区间上有且只有一个极大值点， 所以（为函数的最小正周期）. 因为，所以有， 即， 当时，，所以， 此时有两个极大值点，不符合题意； 当时，，此时， 此时有一个极大值点，符合题意. 故答案为： 14．3 【分析】根据对称性可得关于对称，即可得，可得，进而可求解. 【详解】因为函数满足，故函数关于对称， 所以，且，即，则. 又，故当时，.故. 故答案为：3 15．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据正切函数图像特征得出函数的周期，进而根据正弦型函数对称性求解即可. （2）根据正弦型函数图象结构特征进行推理即可. （3）将函数零点问题转化成方程问题，然后对进行合理地分类讨论. 【详解】（1）因为函数的周期为，所以由题，所以， 又由图象关于直线对称，所以，即，所以， 所以，令，， 所以的对称中心为. （2）当时，令，解得， 所以由图象特征可知， 若函数在上恰有8个零点，的最小值应为： 首尾均应是零点， 则的最小值为， （3）由（1）可得，定义域为， ①当时，函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在定理，使得， 故在上有且只有一个零点. ②当时，因为单调递增，单调递减， ，，所以， 所以在上不存在零点； ③当时, 因为单调递增，，因为             所以，所以在上不存在零点； 综上：有且只有一个零点，且. 因为， 所以， 所以， 在上单调递减， ，所以. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握三角函数型函数的图像特征，运用数形结合思想方法是灵活解决本题的关键. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据已知列方程组求解可得； （2）将问题转化为在给定区间上，分别求出函数最小值，然后解不等式可得. 【详解】（1）因为的图象过点，且关于直线对称， 所以…①，， 所以，因为， 所以，代入①得 所以. （2）当时，， 所以， 所以 所以， 在上递减， 所以， 因为对于任意的，存在，使得， 所以，即， 解得， 所以实数m的取值范围为. 17．(1)，递减区间为， (2) 【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解； （2）利用图象变换法则求得g(x)的函数表达式，解方程求得g(x)的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得. 【详解】（1）由题意， 图象的相邻两对称轴间的距离为， 的最小正周期为，即可得， 又为奇函数，则，， 又，，故， 令，得 函数的递减区间为， （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 又，则或， 即或. 令，当时，， 画出的图象如图所示： 有两个根,关于对称，即, 有, 在上有两个不同的根，,； 又的根为， 所以方程在内所有根的和为. 18．（1）；（2）. 【分析】（1）由辅助角公式化简函数f(x)，再根据正弦函数的单调性建立不等式＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解之可得答案. （2）由（1）求得sin＝－，再由角的范围求得cos，观察角之间的关系凑角sin 2α＝sin，再运用正弦的和角公式可得答案. 【详解】（1）f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin＋1，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 又∵x∈[0，π]，∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为. （2）由（1）知f(x)＝sin＋1， 又∵f(α)＝，∴sin＝－， ∵α∈，∴2α－∈， ∵sin＝－＜0， ∴cos＝－＝－. ∴sin 2α＝sin＝sincos＋cossin＝－×＋×＝. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，同角三角函数间的关系，以及正弦的和角公式，属于中档题. 19．（1）h＝5.6+4.8sin（θ）；（2）h＝5.6+4.8sin；20秒． 【分析】（1）以圆心O为原点建立直角坐标系，结合题意，求得点坐标，即可求得函数解析式； （2）根据（1）中所求函数解析式，求得与之间的关系式，根据函数值即可求得自变量. 【详解】（1）以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则以Ox为始边，OB为终边的角为θ， 故点B的坐标为（4.8cos（θ），4.8sin（θ））， ∴h＝5.6+4.8sin（θ）． （2）点A在圆上转动的角速度是，故t秒转过的弧度数为t， ∴h＝5.6+4.8sin，t∈[0，+∞）． 当h＝8m． 由h＝5.6+4.8sin8， 得sin得， 即， ∴t＝20， ∴缆车离地面8米时用的最少时间是20秒． 【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题，属综合基础题. 答案第6页，共13页 答案第7页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$