5.2.1任意角三角函数的定义教学设计-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

任意角三角函数的定义 【教学目标】 1. 了解任意角三角函数定义形成的过程，掌握任意角三角函数的定义，能够根据其定义求某一角度的三角函数值； 2. 在探究三角函数概念形成的过程中，体会三角函数对于描述周期运动、建立三角函数模型的过程； 3. 在探究过程中，体会知识的产生与发展，体会知识与知识之间的联系，培养学生对于数学的兴趣。 【教学重点】 任意角三角函数的概念，运用定义求三角函数值 【教学难点】 体会任意三角函数与锐角三角函数的联系与区别 【教学方法】 情景教学法、问题驱动教学法、小组讨论法 【教学手段】 教学课件、多媒体、板书 【核心素养】 数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算 【教学过程】 1、 创设情境，引入课题 前面我们学习了角的概念的推广，我们知道，角的大小可以为任意大小，那么任意大小的角的三角函数值会有怎样的特征呢？这节课我们要研究的内容是：任意角的三角函数。 初中阶段，我们是如何定义锐角三角函数的呢？如图，在中，的正弦、余弦、正切值如何表示？ 若将放在平面直角坐标系中，则我们有OP所在直线，为终边所在的直线，点P为角的终边上的一点，点P有其相应的坐标（x,y），设，类比锐角三角函数，我们有这样的表达方式： 其中， 2、 归纳探索，形成概念 若在终边OP上再任取一点P撇，函数值会如何？ 请问，你能发现什么规律？ 对于某一确定的角，在其终边上任取一点，都可以借助这点的坐标来表示该角的函数值，点的位置不会影响函数值，函数值为定值。 我们学习了角的扩充，那么，不同大小的角，其三角函数值会有怎样的变化吗？观察图中，请你猜测，如何求该角的三角函数值？ 角的大小不同，函数值自然也会有区别，我们可以借助不同点的坐标的正负和大小定义任意角的三角函数。 因此，我们有如下定义： 我们由几个特殊角发现，任意角的正弦值和余弦值都是可以存在的，但是，当角度为或时，其横坐标为0，此时，根据正切定义，角的正切无意义。推广的更多的角度，当角度为时，正切值无意义。 由此我们完善了三角函数的定义域： 这就是任意角三角函数的定义，我们类比初中的锐角三角函数的定义，推广到高中的任意角的三角函数，确定了可以借助点的坐标来刻画角的三角函数值，实现了知识从初中到高中的连贯性和升华。 3、 掌握证法，适当延展 下面我们进行实战操作，请看这样的例题 我们刚刚学习了利用点的坐标表示三角函数值，这是从代数的角度给三角函数的一种解释。那么从几何的角度，三角函数值有没有相应的图形可以表示呢？答案是肯定的。 我们知道，对于某一确定的角，在其终边上任取一点，都可以借助这点的坐标来表示该角的函数值，点的位置不会影响函数值，函数值为定值。那么，有没有一些较为特殊的位置可以帮助我们，简化计算，简化函数值呢？我们可以借助单位圆定义三角函数值，设角的终边和单位圆的交点为点P（x,y）,则有 所以， 因此，如图所示，可以借助于线段来表示三角函数值：线段OD表示余弦值，线段DP表示正弦值。 我们规定：过点A（1,0）做单位圆的切线，这条切线垂直于x轴，设该切线与角的终边或其反向延长线相较于点T。则线段AT表示该角的正切值。 是否可以用线段完全表示三角函数值呢？根据定义我们知道，不同大小的角度，不同位置的终边所对应的角有不同的坐标，也就意味着函数值有正有负，如何让线段也带有符号呢？我们规定，用有向线段，表示三角函数值，与x轴或者y轴的正方向同向，则为正值，反之，函数值为负值。如下图： 角的终边与单位圆的交点在第二象限，因此横坐标为负，纵坐标为正，两坐标比值为负。因此，图中有向线段DP表示正弦值，方向与y轴正方向相同，函数值为正；有向线段OD表示余弦值，方向与x轴正方向相反，函数值为负；有向线段AT表示正切值，方向与y轴正方向相反，函数值为负。 根据以上，你会借助三角函数线表示三角函数值了吗？请你标出终边落在第三、四象限的角的三角函数线，并用不同颜色笔标注出来。 因此，我们有三角函数线： 例3：请你根据三角函数线，判断各个象限的三角函数值的符号 四、归纳小结，提高认识 1、本节课你获得了哪些新知识？ 2、你认为新知识与旧知识之间的联系与区别是什么？ 3、你认为我们可以借助新知识解决哪些问题？ 本节课我们借助了点的坐标以及单位圆，从代数的角度，建立了一般三角函数的概念，同时，也从几何的角度，借助三角函数线，定义三角函数值，更加直观明确。 我们知道，在初中的时候，学习的角的范围有限，因此我们只学习了锐角三角函数，而在今天，我们将角扩充到了任意角，知识自然也因此而拓展和迁移，我们利用新的背景，新的方法，定义了任意角的三角函数，知识更加充实，体系更加完整，这就是我们学习知识的过程，不断地扩充和发展。 在学习的过程中，我们类比了初中学习锐角三角函数的内容，加以扩充；我们借助图形帮助我们更加直观的理解基本概念，使用了数形结合的数学方法；我们由特殊角，特殊象限的特征，归纳总结出三角函数的定义以及三角函数线的定义；当然，我们运用定义，计算一些角的三角函数值，不但锻炼了我们转化的能力，还提高了运算能力。 三角函数是一类最典型的周期函数，生活中有很多实例也与之相关，例如，摩天轮，水车，钟摆等等。我们今后还会借助着学习的知识，解决相关的实际问题，实现数学来源于生活，也应用于生活。 学科网（北京）股份有限公司 $$