5.3.1正弦函数余弦函数的图象与性质（1）教学设计-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 5.3.1正弦函数、余弦函数的图象与性质（1） 教学目标 1. 通过绘制正弦函数、余弦的图象使学生进一步了解三角函数的定义：理解实数集与角的集合一一对应，角的集合与三角函数值一一对应；理解正弦函数、余弦函数的定义域、解析式. 2. 通过利用正弦线取点、连线作正弦函数在［0，2π］上的图象，继而向左右逐次平移2π个单位长度得到正弦函数在R上的图象，使学生体会正弦函数的周期性，学会从定义和解析式出发探究正弦函数的图象. 3. 通过用平移正弦函数的图象得到余弦函数的图象，使学生进一步理解正弦函数与余弦函数的关系. 4. 通过用“五点法”作正弦函数、余弦函数在一个周期内的简图，使学生掌握用“五点法”画出简单的三角函数的图象的方法. 教学内容 教学重点：正弦函数、余弦函数的图象，“五点法”的归纳与应用. 教学难点：利用单位圆中的正弦线得到正弦函数的图象. 教学过程 1、 回顾旧知 通过前几天的学习，我们知道实数集与角的集合之间可以建立一一对应的关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦（或余弦）值.由这个对应关系所确定的函数y＝sinx（或y＝cosx）称为正弦函数（或余弦函数），其定义域为R. 问题1：按照研究函数的方法，在学习了三角函数的定义之后，接下来要怎样进一步研究三角函数呢？ （1） 之前研究指数函数、对数函数的基本策略是怎样的？ （2） 绘制一个新函数图象的基本方法有哪些？ （3） 要绘制正弦函数y＝sinx，x∈R的图象，需绘制其在整个定义域上的图象吗？ 【设计意图】问题（1）引导学生对函数的研究方法进行回顾，使学生通过类比指数函数、对数函数的研究过程，明确研究三角函数的策略：定义→性质→图象→性质. 问题（2）帮助学生回顾绘新函数图象的基本方法：描点法和图象变换法，为学生本节课探究正弦函数、余弦函数的图象作好准备，这也是高中阶段探究其他函数图象的基本方法. 问题（3）使学生明确方向：研究三角函数的图象和性质，可以先探讨函数在一个周期内的图象、性质，以简化问题，再拓展到整个定义域. 以上问题对学生已有的经验进行了复习，激活了本节学习所需的基础知识的认知起点；通过对函数研究一般策略的回顾，使学生明确本节的研究方法,使学生“会学”三角函数. 2、 学习新知 问题2：对于正弦函数y＝sinx，x∈［0，2π］，可以怎样描点、画图？ （1） 如果对x在［0，2π］上随意取值，然后利用计算器计算出函数值，再在平面直角 坐标系上描点、连线. 可行吗？ （2）要绘制函数的图象，准确绘制函数图象上的每一个点是关键. 我们不妨从准确绘制正弦函数图象上的一个点出发. 对于正弦函数y＝sinx，在［0，2π］上任取一个值x0，我们可否借助正弦线确定正弦函数值sinx0，并准确画出点M (x0，sinx0) ？ （3）我们已经学会了绘制正弦函数图象上任意一点的方法，随着弧度数x0的改变，可以得到函数y＝sinx图象上的其他点.那么如何既便捷又准确地取值找点？ 可将圆O1平均分成12等份，使x0的弧度数依次取借助它们的正弦线，依次作出函数y＝sinx图象上的点，用一条光滑的曲线将这些点依次连接起来. 【设计意图】问题（1）引导学生认识到通过代数描点作函数图象并不是很精确，激发学生进一步思考作图方法. 问题（2）启发、引导学生利用正弦函数的定义、借助正弦线通过取值、描点的方法先确定正弦函数图象上的一点，为学生作正弦函数的图象搭建阶梯. 问题（3）在问题（2）的基础上，师生共同完成其他点的取点，并将点连成光滑的曲线. 以上问题由老师引导学生观察、操作、总结、表达，培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的语言描述世界. 问题3：根据y＝sinx，x∈［0，2π］的图象，你能作出正弦函数y＝sinx，x∈R的图象吗？ 由诱导公式一：sin(x+2kπ)＝sinx，k∈Z将y＝sinx在区间［0，2π］上的图象逐次向左和向右平移2π个单位长度，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象. 正弦函数y＝sinx的图象称为正弦曲线，是一条连续、光滑的波浪形曲线. 【设计意图】引导学生根据诱导公式、结合函数图象变换来得到正弦函数在R上的图象，使学生继续根据定义、结合代数式来完成正弦函数图象的绘制，并对正弦函数的周期性再次产生初步的印象. 问题4：观察正弦函数y＝sinx在区间［0，2π］上的图象，你能找到确定正弦函数图象形状的五个关键点吗？ 【设计意图】由学生观察图象总结正弦函数在［0，2π］上关键五点的坐标，使学生认识正弦曲线的特征；由老师介绍“五点法”作图，并带领学生利用“五点法”作正弦函数在［0，2π］上的简图，让学生体会到“五点法”作图的便捷实用. 问题5：怎样作余弦函数y＝cos x的图象？ （1） 能否像作正弦函数图象一样，通过平移余弦线来作余弦函数的图象？ （2）可否借助正弦 函数与余弦函数的关系，通过图象变换，将正弦函数的图象变换成余弦函数的图象？ （3）你能借助点的坐标解释这种变换吗？　 【设计意图】问题（1）学生很容易类比正弦函数曲线取点的方法提出平移余弦线取点，老师要肯定这种方法，再提出问题：有没有更加便捷的方法？ 问题（2）引导学生考虑正弦函数和余弦函数的紧密联系，启发学生利用诱导公式，通过图象变换，将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象. 问题（3）进一步引导学生形成理性思考. 以上问题以学生的学习经验和认知水平为基础，层层递进，引导学生深入思考. 余弦函数y＝cos x的图象称为余弦曲线，是一条连续、光滑的波浪形曲线. 问题6：你能由余弦曲线得出余弦函数y＝cos x，x∈［0，2π］内的关键五点并用“五点法”作出余弦函数在［0，2π］上的简图吗？ 小结：“五点法”作正弦函数、余弦函数简图的步骤： 第一步 按五个关键点列表； 第二步 描点； 第三步 将关键五点连成一条光滑的曲线. 【设计意图】类比之前“五点法”作正弦函数的简图，再次使用“五点法”作余弦函数在［0，2π］的简图，使学生掌握“五点法”并小结步骤形成方法. 3、 知识应用 例1.用“五点法”画下列函数的简图. （1）y＝1＋sin x，x∈［0，2π］； （2）y＝2cosx，x∈［0，2π］. 【设计意图】通过解决问题，对“五点法”作正弦型函数、余弦型函数简图进行简单应用，同时渗透数学化归思想.教师可引导学生认识到：化未知为已知是解决数学问题的常用方法，为后续继续深入学习正弦函数、余弦函数的性质、正弦型函数的图象和性质做准备． 4、 课堂小结 【设计意图】在充分体验的基础上，生成逻辑连贯、前后一致的知识体系，形成清晰的函数研究路线，使得研究过程中渗透的知识、方法和思想显性化、具体化、规范化. 5、 课后作业 1.必做题：用“五点法”画出下列函数的简图： 　 （1）y＝cos x－1， ； 　 （2）y＝sin x， 　； 　 （3）y＝－sin x， . 2.选做题：你能从图象变换的角度，得到上面三个函数的图象吗？ 【设计意图】作业进一步巩固了本节课知识，拓展了学生数学视野，而必做题和选做题两种设计体现了不同的人在数学上得到不同的发展的新课标教学理念. 学科网（北京）股份有限公司 $$