5.3.1正弦函数余弦函数的图象与性质(2)教学设计-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

课程基本信息

学科

数学

年级

高一

学期

秋季

课题

5.3.1正弦函数、余弦函数的图象与性质（2）

教学目标

1.使学生体会从定义出发、根据解析式，结合函数图象进一步研究函数性质的函数研究策略；

2.使学生了解正弦函数、余弦函数的周期性、最值与值域、奇偶性、单调性，并能够利用函数的性质解决一些简单的问题；

3.渗透数形结合、转换与化归的数学思想，培养学生的探究精神以及分析解决问题的能力.

教学内容

教学重点：正弦函数、余弦函数的图像与性质.

教学难点：正弦函数、余弦函数的性质的简单应用以及化归与转化思想方法的应用.

教学过程

一、复习引入

问题1：我们将正弦函数在［0，2π］的图象向左、右逐次平移2π个单位长度得到了它在R上的图象，所以每隔2π的整数倍个单位，正弦函数图象重复出现.你能用定义和数学表达式解释这种周而复始的现象吗？为了定量地描述这种变化规律，我们引入周期性的概念.

二、新知学习

1.周期性

一般地，对于函数y＝f(x),如果存在非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，x±T都有意义，并且f(x±T)＝ f(x) ，则称函数y＝f(x)为周期函数，T称为这个函数的得一个周期.

问题1：根据周期函数的定义，正弦函数是周期函数吗？

最小正周期常简称为周期，今后我们提到三角函数的周期时一般指最小正周期.周期函数不一定有最小正周期.

追问：余弦函数是周期函数吗？如果是，它的最小正周期是多少？

问题2：类比以前研究幂函数、指数函数、对数函数性质的过程，接下来我们还要研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？

【设计意图】由学生已有的知识出发经过类比，自主探究产生新知,提高学生的归纳总结

能力和表达能力,培养探究精神及分析解决问题的能力.

2.值域与最值

问题3：你能根据定义和图象求出正弦函数的值域与最值吗？

正弦函数的值域为[-1,1],对正弦函数y＝sinx，当且仅当时取最大值1，当且仅当时取最小值-1.

追问：类似地，你能自己完成余弦函数的值域与最值的探究吗？

3.奇偶性

问题4：观察正弦函数的图象可以看到：正弦曲线关于原点O对称，正弦函数应该是奇函数，你能利用诱导公式对以上推测进行代数证明吗？

4.对称性

问题5：观察图象，你能发现正弦函数还具有哪些对称性吗？

y＝sinx在函数的最大值、最小值处轴对称，对称轴为     

y＝sinx在图象与x轴的交点处中心对称，对称中心为         

5.单调性    

问题6：要研究正弦函数的单调性，选择哪个周期区间较合理？

由于正弦函数 y＝sin x 的周期是 2π，因此在闭区间上都是增函数，函数值从－1增大到1，在闭区间上都是减函数，函数值从1减小到－1.