5.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

该高中数学课件聚焦三角函数的图象与性质，系统讲解周期函数定义、正弦余弦函数的定义域、值域、周期性等核心内容，通过周期函数概念导入，结合知识辨析搭建从一般到特殊的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于知识辨析引导学生批判性思考，典例通过图象与代数推理培养数学思维，利用五点法作图和整体代换提升数学语言表达能力。学生能深化抽象概念理解，教师可借助系统案例高效开展教学。

5.3　三角函数的图象与性质 5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质 知识点 1 周期函数 必备知识 清单破 　　一般地,对于函数y=f(x),如果存在非零常数T,使得当x取定义域内每一个值时,x±T都有定 义,并且f(x±T)=f(x),则称函数y=f(x)为周期函数,T称为这个函数的一个周期. 　　如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作f(x)的 最小正周期. 　　注意:(1)如果T是函数f(x)的一个周期,那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期. (2)并非所有的周期函数都有最小正周期,如f(x)=C(C为常数,x∈R),所有的非零实数T都是它 的周期,不存在最小正周期. (3)今后本书中涉及的周期,如果不加特殊说明,一般都是指函数的最小正周期. 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 正弦函数、余弦函数的图象与性质 函数 y=sin x(x∈R) y=cos x(x∈R) 图象     五个关键点 (0,0), ,(π,0), ,(2π,0) (0,1), ,(π,-1), ,(2π,1) 定义域 R 值域 [-1,1] 周期 2kπ(k∈Z且k≠0)(最小正周期为2π) 第1讲　描述运动的基本概念 奇偶性 奇函数 偶函数 图象的 对称轴 直线x=kπ+ ,k∈Z 直线x=kπ,k∈Z 图象的对称中心 (kπ,0),k∈Z  ,k∈Z 单调递增区间  (k∈Z) [2kπ-π,2kπ](k∈Z) 单调递 减区间  (k∈Z) [2kπ,(2k+1)π](k∈Z) 最大值与 最小值 x= +2kπ,k∈Z时,ymax=1; x=- +2kπ,k∈Z时,ymin=-1 x=2kπ,k∈Z时,ymax=1; x=π+2kπ,k∈Z时,ymin=-1 第1讲　描述运动的基本概念 　　注:正弦函数y=sin x的图象称为正弦曲线,余弦函数y=cos x的图象称为余弦曲线,余弦曲 线可以看作将正弦曲线向左(或右)平移  个单位长度得到的. 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.正弦函数在第一象限内单调递增吗? 2.函数f(x)在定义域内恒有f =f (T>0),则T是函数f(x)的周期吗? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不是.事实上,“第一象限”是由所有的区间 (k∈Z)构成的,在这样若干个区间 的并集内,显然函数值不是随着x的增大而增大的. 2.不一定.从周期函数f(x+T)=f(x)的定义看,自变量x本身加的常数才是周期,所以f =f  ,故2T为函数的周期. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 正、余弦函数图象的应用 关键能力 定点破 利用正、余弦曲线解三角不等式的一般步骤 (1)作出正弦函数或余弦函数在[0,2π]或[-π,π]上的图象; (2)写出不等式在区间[0,2π]或[-π,π]上的解集; (3)根据诱导公式一写出不等式在R上的解集. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　画出正弦函数y=sin x(x∈R)的简图,并根据图象写出y≥ 时x的集合. 解析    作出y=sin x的图象及直线y= ,如图所示. 从图象可看出在区间[0,2π]内,y≥ 时x的集合为 ,所以当x∈R,y≥ 时,x的集合 为 x  +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z . 第1讲　描述运动的基本概念 形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的单调区间的求法 (1)当A>0时,把ωx+φ看作一个整体,利用y=sin x或y=cos x的单调增区间求得的x的范围即为函 数的单调增区间,利用y=sin x或y=cos x的单调减区间求得的x的范围即为函数的单调减区间. (2)当A<0时,把ωx+φ看作一个整体,利用y=sin x或y=cos x的单调增区间求得的x的范围即为函 数的单调减区间,利用y=sin x或y=cos x的单调减区间求得的x的范围即为函数的单调增区间. 注意:若ω为负,一般先把ω化为正数再求解. 定点 2 求函数的单调区间 第1讲　描述运动的基本概念 典例　求函数y=2sin ,x∈(0,π)的递增区间. 解析    函数y=2sin =-2sin , ∴函数y=2sin 的递增区间为y=2sin 的递减区间. 由 +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z,得kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. ∵x∈(0,π),∴由k=0,得 ≤x≤ , ∴函数y=2sin ,x∈(0,π)的递增区间为 . 第1讲　描述运动的基本概念 定点3　  利用单调性比较三角函数值大小的步骤 (1)依据诱导公式把三角函数化为同名函数; (2)依据诱导公式把角化到同一个单调递增(减)区间内; (3)依据三角函数的单调性比较大小. 定点 3 利用单调性比较三角函数值的大小 第1讲　描述运动的基本概念 典例　比较下列各组数的大小: (1)cos 与cos ; (2)cos 1与sin 2. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)cos =cos =cos =-cos ,cos =-cos . ∵函数y=cos x在 上单调递减,且0< < < , ∴cos >cos ,∴-cos <-cos , ∴cos <cos . (2)1∈ ,cos 1=sin , ∵ +1,2∈ ,且 +1>2,y=sin x在 上单调递减, ∴sin <sin 2,即cos 1<sin 2. 第1讲　描述运动的基本概念 与正、余弦函数有关的函数值域(最值)问题的常见类型及解法 (1)形如y=sin(ωx+φ)(ω≠0)的函数,令t=ωx+φ,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用 三角函数的单调性、有界性求出y=sin t的值域(最值). (2)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的函数,可先设t=sin x,将函数y=asin2x+bsin x+c(a≠0)化为关于 t的二次函数y=at2+bt+c(a≠0),再根据二次函数的单调性求值域(最值),注意t的取值范围. (3)形如y=asin x+b(或y=acos x+b)的含参函数求值域(最值)时,需要注意对a进行讨论. (4)求形如y= (ac≠0)的函数的值域(最值)时,可以用分离常量法求解,也可以利用正弦 函数的有界性建立关于y的不等式反解出y. 定点 4 求与正、余弦函数有关的函数的值域或最值 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)求函数f(x)= cos ,x∈ 的值域; (2)求函数y= 的值域; (3)求函数f(x)=3sin x+1-2sin2x的最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵- ≤x≤0, ∴- ≤2x+ ≤ , ∴- ≤cos ≤1, ∴-1≤ cos ≤ , 故f(x)的值域是[-1, ]. (2)解法一:y= =1+ , ∵-1≤sin x≤1,∴-3≤2sin x-1≤1, ∴ ≥2或 ≤- , ∴1+ ≥3或1+ ≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 故函数y= 的值域为 ∪[3,+∞). 解法二:原函数整理得sin x= . ∵|sin x|≤1,∴ ≤1, 解得y≤ 或y≥3, 故函数y= 的值域为 ∪[3,+∞). (3)f(x)=3sin x+1-2sin2x,令t=sin x,则t∈[-1,1], 则g(t)=-2t2+3t+1=-2 + , ∴当t= 时,g(t)max= ,即当sin x= 时,f(x)max= . 第1讲　描述运动的基本概念 $