5.3.1正弦函数余弦函数的图象与性质教学设计-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

正弦函数、余弦函数的图象与性质 【教学目标】 1． 用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，通过平移，得到余弦函数的图象，用五点法作正弦函数的简图，正、余弦函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性． 2． 通过画正、余弦函数的图象，以及研究正、余弦函数的性质，培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力，培养数形结合和化归转化的数学思想方． 3． 通过本节内容的学习，使学生进一步了解从特殊到一般，从一般到特殊的辩证思想方法和分析、探索、化归的科学研究方法在解决数学问题中的应用． 【教学重点】 正弦函数的图象形状及其主要性质． 【教学难点】 利用正弦线画出函数的图象． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【核心素养】 数学抽象，直观想象，逻辑推理． 【教学过程】 1、 创设情境，引入课题 在旋转木马旋转的过程中，如果把人和人所驾的那个木马看作一个点，把木马静止时和转盘中心的连线定为参照的基础线，在木马旋转时随着人所转过的角度的变化，人的每一个位置到最初的基础线的垂直方向的位移也在变化． 引导学生将所给情境抽象成一个数学问题． 问题：如果让你用数学的眼光揭示它们之间的变化关系，可以用哪种函数来刻画？ 预案：正弦函数 问题：为什么可以是正弦函数？谁是y，谁是x？ 预案： 由三角函数的定义可知，y是人的每一个位置到最初的基础线的垂直方向的位移，x是木马旋转时随着人所转过的角度． 今天这节课我们来共同探讨正弦函数和与之相关的余弦函数的有关的问题． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣． 2、 共同探索，形成新知 1.生成图象 问题：研究一个新的函数，在现阶段，我们往往研究这个函数的那些内容？目前怎样研究？ 预案：研究函数的定义域、值域、图象、性质. 现阶段先通过解析式画出图像，再通过图像的直观，观察出函数的性质. 问题1：正弦函数的定义域和值域分别是什么？ 预案：定义域；值域： 问题2：怎样作图？ 预案：描点. 问题3：描点法的基本步骤？ 预案：列表，描点，连线 如果我们用描点法来画正弦函数图象，由于对于角的每一个取值，在计算相应的函数值时，都是利用计算器或数学用表得来的，大多数是一些近似值，不易描出对应点的准确位置，因而画出的图象不够准确，为此，我们可以考虑用其它方法来作正弦函数的图象. 下面我们介绍一种利用单位圆里的正弦线作图的方法. ⑴几何作图法（课件演示） 首先在轴上任意取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从⊙O1与轴的交点A起把圆分成12等分，过各分点作轴的垂线，可以得到相应于等角的正弦线，相应地，再把轴上0到这一段分成12等份，把角的正弦线向右平移，使它的起点与轴上的点重合. 问题4：它的终点的坐标是什么？ 预案：） 用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到了函数的图象。如图所示： 问题5：那如何得到函数在整个定义域上的图象呢？ 预案：因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数的图象与函数 的图象形状完全相同，由此，可以将的图象逐次向左和向右平移个单位得到正弦函数在上的图象. 正弦函数的图象称为正弦曲线. ⑵五点作图法 我们在实际画图时，只要描出几个关键点，能把正弦函数的大致形状描述出来，就可以近似地得到正弦函数的图象了. 问题1：要确定的图象的形状，大致需要几个关键点？它们分别是哪些？ 预案：要确定它的图象，只需五个关键点，只要描出这五个关键点，就可以把的图象大致形状确定下来，再用平滑的曲线连结，就可以得到它的大致图象. 正弦曲线的这种近似画图方法称为"五点法”. 问题2：如何得到函数的图象？ 预案：由诱导公式可知，只需将向左平移个单位即可． 问题3：要确定在上的图象的形状，需要哪几个关键点？ 预案：五个关键点 引导学生从化归的角度将余弦函数的图象转化成正弦函数的图象. 〖设计意图〗在教学过程中充分体现学生的主体作用，引导学生如何画函数的图象，为什么这样画，使学生体会到波形曲线的流畅美，激发学生学习的兴趣。 2.形成性质 下面,我们将根据正、余弦函数的定义并结合它们的图象研究这两个函数的诸多性质,首先我们来研究正弦函数的性质. 问题1：既然正弦函数是一个函数，那么我们回忆一下，以前我们研究函数都研究了函数的哪些性质呢？ 预案：要研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最大最小值、对称性等. 在研究正弦函数的性质之前,我们先介绍一个概念. 由诱导公式可知，当自变量增加或者减少时，的值就会重复出现，为了定量的描述这种变化规律，我们可以引入周期函数的概念 一般地，对于函数，如果存在非零常数，使当取定义域内每一个值时，都有定义，并且，则称这个函数为周期函数，称为为这个函数的一个周期. 对定义的理解: (1) 任意性,定义中要求对定义域内的任意一个,都满足. (2) 定义域的特点,由(1)可知,周期函数定义域有什么特点; (3) 如果是周期,那么的非零整数倍也是周期(如何推导呢) ; (4) 最小正周期.对于函数,如果存在一个最小的正数使得,则称 为函数的最小正周期,最小正周期常简称为周期(对于和,存在最小正周期吗,如果存在,是多少,如何理解?);不是所有的函数都有最小正周期 基于以上的概念,我们在研究正余弦函数性质的时候,新增一个性质,函数的周期性.那么下面我们先来研究正弦函数的以下性质:定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、对称性、最大最小值. 问题2:在具备函数图象的情况下,如何研究函数的性质? 预案：通过观察函数的图象,结合对性质的理解,得到函数的诸多性质. 如图,请同学们通过观察图象,完成正弦函数的性质的梳理. 1、 定义域: 2、 值域: 3、 奇偶性:奇函数 问题:由图可知,正弦函数的图象关于原点对称,正弦函数应该是奇函数,这是从形上观察到的,同学们还能用之前学过的知识,从代数角度确定正弦函数是奇函数吗? 预案:诱导公式,由诱导公式可知,正弦函数是奇函数. 4、 周期性:周期为,最小正周期为(由周期函数的定义可知) 5、 单调性: 我们从图像能看出来正弦函数在整个定义域内既不是增函数也不是减函数，但在某些区间上存在单调性,因为正弦函数最小正周期为，所以我们只需要知道一个周期内的单调性，然后加上周期就可以了. 由图可知, 正弦函数的增区间为, 减区间为 6、对称性: 研究正弦函数的对称性,两个角度,一个是对称轴,一个是对称中心. 我们仍然可以类比刚才求单调区间的方法,先找到一条对称轴和一个对称中心,然后在此基础上加上轴和中心的周期就可以了. 从图上可以先找到一条对称轴和一个对称中心（0,0），然后可以发现，相邻的两条对称轴距离为，相邻的两个对称中心的距离也是，所以，正弦函数的对称轴为 , 对称中心为 7、最大最小值: 对于正弦函数,当且仅当时取得最大值1, 当且仅当时取得最小值-1. 以上,我们通过观察图象,得到了正弦函数的性质,类比得到正弦函数性质的方法,以及正余弦函数图象的关系，引导同学们求得余弦函数的性质： 1、 定义域: 2、 值域: 3、 奇偶性:偶函数 4、 周期性:周期为,最小正周期为 5、 单调性:增区间为,减区间为 6、对称性: 对称轴为 , 对称中心为 7、最大最小值: 当且仅当时取得最大值1, 当且仅当时取得最小值-1. 到此 ，我们首先研究了正余弦函数的图象的画法，然后通过图象的直观探讨了函数的性质，图象与性质这一内容包含了两方面，一是图象，一是性质.一方面，需要在性质的指导下作出图象；另一方面，需要在图象的指导下研究性质 .这就体现了数与形结合的重要性.这是研究函数问题的基本方法. 〖设计意图〗数形结合贯穿始终，使学生体会到数形结合的基本思想方法． 3、 延展深化，习题巩固 下面,我们将利用正余弦函数的图象与性质解决一些函数的性质问题. 例1.判断函数的奇偶性 问题：怎么判断函数的奇偶性呢? 预案:首先要看定义域是否关于原点对称，然后再看与的关系. 分析：很显然，的定义域为全体实数 . 建议先用诱导公式化简,然后再进行判断．函数化简之后的结果为. 解: 对定义域内的任意一个 ， 所以函数为偶函数 教师强调,在判断函数的奇偶性时， 判断“定义域是否关于原点对称”是第一个步骤．定义域关于原点对称是一个函数具备奇偶性的必要非充分条件，对于可以化简的函数，先化简再判断，往往能简化解题的过程. 例2、求函数的单调递增区间． 分析: 求函数的单调增区间时，应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元的方法，化归到正、余弦函数的单调性问题．具体解答步骤如下： 解：令,那么函数的单调增区间为． 由的范围，可以得到 的范围，也就是我们所要求解的单调递增区间. 由 得 故函数的单调增区间为 问题：如果求函数的单调增区间呢？怎么办？ 预案：与刚才的题目不同之处在于如果把角看作一个整体 , 是关于 的减函数，所以如果求函数的增区间，得将放到正弦函数的减区间里，这样才能得到这个函数的递增区间. 对于求单调区间的问题，我们要关注看作整体的角的部分中的系数的符号，如果符号为正，求增区间就直接代入三角函数的增区间，解不等式得到函数的增区间，求减区间，直接带入减区间. 但如果 的系数的符号为负，则代入的时候需要反着代. 单调区间的问题和最值问题一样，我们都要采用换元的方法，利用整体代入的思想，将所求函数的问题转化为三角函数的单调区间和最值问题. 四、归纳小结，提高认识 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结． 1．小结 (1) 知识：几何法作图,五点法作图,正余弦函数的图象和性质 (2) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2．作业:教材上本节后习题   学科网（北京）股份有限公司 $$