4.2.2 等差数列的前n项和 第1课时课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

教学目标 获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力. 知识与技能： 过程与方法： 经历公式的推导过程，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。 情感态度与价值观： 1.掌握等差数列前n项和公式； 2.能较熟练运用等差前n项和公式求和. 2 一般地，我们称a1+a2+…+an为数列{an}的前n项和，常用Sn表示，即Sn=a1+a2+…+an. 练习：试求下列数列的前100项和. （1）2，2，2，2，…… （2）－1，1，－1，1，…… 数列的前n项和 2.Sn与an的关系： S100 = 200 S100 = 0 温故知新： 复习回顾 1. 等差数列定义： 2. 等差数列通项公式： (2) an＝am＋(n－m)d . (3) an＝pn＋q (p、q是常数) (1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1). an－an－1 ＝d (n≥2) 或 an+1－an ＝d. 3. 几种计算公差d的方法: 4. 等差中项 5. 等差数列的性质 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈n*)，则am＋an＝ap＋aq. 下面，我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题。 温故知新： 等差数列的性质 ①② ③ ④ 1.等差数列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝(　 ) A.64　　 B.30 C.31　　 D.15 学以致用： D 温故知新： 情境导入 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝. 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 1+2+3+···+100 = ？ 1+2+3+4+…+100= 高斯，不要动来动去的! 高斯，你再不停下来，我可不客气啦！！ xixi 高斯，你这么有空，罚你在放学前算完这个加法！！！ 小case啦！ heihei…看你还嚣张 5050 ?!! 好好学习 天天向上 情景引入 问题一: Sn = 1＋2＋3＋… ＋99＋100 = ? 1+100 =101 2+99 =101 3+98 =101 50+51 =101 … Sn= 50×101 = 5050 ＋ 50个等式 高斯(Gauss, 1777.4.-1855.2) 德国著名数学家，有“数学王子”之称。 S=1 + 2 + 3 + … + 98+ 99+100 S=100+99+98+ … + 3 + 2 + 1 倒序相加法 101 2 S ＝ 100 ×(1+100) 高斯求和法 机智的高斯 新课讲授 高斯的算法： 这里用到了数列的性质： 若m+n=p+q,则am+ an=ap+ aq. 不同数的求和 相同数的求和 转化 问题1 你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗?你能从中得到求数列的前n项和的方法吗? 新课讲授 问题2 你能用高斯的方法求1+2+…+100+101吗？ 思路4（拿出中间项，再首尾配对） 原式=(1+101)+ (2+100)+ (3+99)+… + (50+52)+51 思路1（拿出末项，再首尾配对） 原式=(1+2+3+… + 100)+101 思路3（先凑成偶数项，再配对） 原式=(1+2+3+… + 101+102)-102 思路3（先凑成偶数项，再配对） 原式=0+1+2+3+… + 100+101 结论：当n为奇数时，“首尾配对”不太方便 Sn=1+2+3+……+n =（1+2+3+……+n-1）+n = Sn -1+n = +n = 需要对项数的奇偶进行分类讨论. 当n为奇数时， 当n为偶数时， Sn= 对于任意正整数n，都有1+2+3+……+n= 不分类讨论能不能得到最终的结论呢？ 问题3 你能用高斯的方法计算1＋2＋3＋… ＋n吗？ 新课讲授 问题4 我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦. 能否设法避免分类讨论? ① ② 倒序相加求和法 对齐相加(其中第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序） 新课讲授 问题5 那么，对于一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？ ① ② 左右两边分别相加 n个 这就是等差数列前n项和的公式！ 概念生成 等差数列前n项和公式 如果等差数列{an}的首项a1, 公差为d, 那么该等差数列的前n项和公式为 (1) 把等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d带入上式，得 (2) 追问 等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1, d, n, an, Sn”五个量,已知几个量就可以确定其他量？ 知三求二！ n a1 an 公式的几何解释 类比梯形面积公式记忆 分割成一个平行四边形 及一个三角形 n a1 an=a1+(n－1)d a1 (n-1)d 公式的几何解释 深化概念 (1) (2) 深化概念 问题6 不从公式(1)出发，你能用其他方法得到公式(2)吗？ (1) (2) 解： 结论： 说明：当 an= c，Sn = n c ； 典例分析 [例1] 已知数列{an}是等差数列. 解： 典例分析 [例2] 已知一个等 差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗? 法1： 追问 Sn=？ 典例分析 [例2] 已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗? 法2： ① ② ②ￚ①得 结论： 一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定。 学以致用 教材P22 根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn . (1) a1＝5, an＝95, n＝10; (2) a1＝100, d＝－2, n＝50; (3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32. 课本P22 学以致用 教材P22 根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn . (1) a1＝5, an＝95, n＝10; (2) a1＝100, d＝－2, n＝50; (3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32. 课本P22 学以致用 教材P22 2. 等差数列－1, －3, －5, ‧‧‧的前多少项的 和是－100 ? 课本P23 3. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，求S16 . 课本P23 4. 在等差数列{an}中，若S15＝5(a2+a6+ak)，求k. 学以致用 教材P22 课本P23 5. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261. 求此数列中间一项的值以及项数. 课本P23 能力提升 题型一 求等差数列的前n项和 例题 1. 在等差数列{an}中，若其前n项和为Sn ，已知a4+a5+a6=15 ，则S9=( @5@ ) A. B. C. D. C [解析] 由等差数列的性质可得 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 能力提升 题型一 求等差数列的前n项和 例题 3. 已知等差数列{an}满足a3+a2=8，a4+a3=12，则数列{an}列的前 n 项和 _____． <m></m> [解析] 设等差数列的公差为 <m></m> ， 因为等差数列 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> ，所以 <m></m> ，得 <m></m> ， 则数列 <m></m> 的前 <m>n</m> 项和 <m></m> ． 方法总结 求等差数列的前n项和的常用方法 能力提升 （1）求出四个基本量 <m></m> , <m>n</m> , <m></m> , <m></m> 中的任意三个，可灵活使用两个公式求和； （2）利用等差中项的性质直接求出 <m></m> ，再利用公式求和. 能力提升 题型二 已知等差数列的前n项和求其他基本量 例题 4.已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ， 为常数，则下列等于 的是( @9@ ) A. B. C. D. C [解析] 由 <m></m> ， <m></m> 为常数， 得 <m></m> ， 所以 <m></m> . 能力提升 题型二 已知等差数列的前n项和求其他基本量 例题 5.已知等差数列 的前 n 项和为 , ，若 ，且 ，则 的值为 ( @11@ ) A. B. C. D. B [解析] ∵等差数列 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，故选B. 解题感悟 等差数列的基本量有 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m>n</m> ， <m></m> ，知道其中任何三个量，都可以求出其余的两个量，即“知三求二”，这里主要运用了方程的思想解决问题. 已知量 首项、末项、项数 首项、公差、项数 a1、 an 、 n a1 、d 、 n 选用公式 等差数列的前n项和公式 1.推导等差数列前 n项和公式的方法：倒序相加法. 2.公式中五个量a1, d, an, n, sn,, (知三求二), 已知其中三个量，可以求其余两个. 课堂小结： 37 an=a1+(n-1)d 对于Sn、an 、a1、n、d 五个量，“知三求二”. 核心素养： 倒序相加法 掌握与应用 知识打包 存放备用 （一种方法） （两个公式） （三个条件） 逻辑推理、数学建模、数学运算。 $$