复习06 概率统计的综合（七大题型）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

复习06 概率统计的综合 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1频率分布直方图的数字特征】 【题型2总体百分位数的估计】 【题型3互斥事件与对立事件的判断】 【题型4“放回”与“不放回”的概率问题】 【题型5“正难则反”思想】 【题型6相互独立事件的判断】 【题型7相互独立事件的概率】 知识点 1 ：数字特征 ①众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 ②极差、方差和标准差 极差：即一组数据中最大值与最小值的差． 方差：. 标准差：. 注：方差和标准差反映了数据波动程度的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． ③性质 （1）若的平均数为，那么的平均数为. （2）数据与数据的方差相等，即数据经过平移后方差不变． （3）若的方差为s2，那么的方差为. 知识点 2 ：百分位数 1.定义：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． 2.计算一组几个数据第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据； 第2步，计算. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 3.四分位数 即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数． 其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等． 知识点 3 ：相互独立 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. （1）如果与相互独立,则与，与，与也相互独立. （2）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 难点 1 ：“放回”与“不放回”问题 抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响．另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取． 难点 2 ：“正难则反”思想，利用对立事件求概率 在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式求得或采用正难则反的原则，转化为其对立事件，再用公式求得． 题型归纳 【题型1频率分布直方图的数字特征】 例1．众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（    ） A． B． C． D． 例2．某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图．则下列结论错误的是（   ） A．估计数学成绩的众数为75 B． C．估计数学成绩的75百分位数约为85 D．估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50 变式1-1．在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下.某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数； (2)求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数. 变式1-2．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中x的值； (2)设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量小于6吨的人数； (3)由频率分布直方图估计该市居民月均用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）． 变式1-3．100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．回答下列问题： (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这次考试的平均数、众数和中位数（结果保留一位小数）． 【题型2总体百分位数的估计】 例3．样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（    ） A．16 B．19 C．20 D．22 例4．我国是世界上严重缺水的国家，某区为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率直方图. (1)求直方图中的值； (2)设该区有70万居民，估计全区居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； (3)若该区政府希望使的居民每月的用水量不超过标准吨，估计的值，说明理由. 变式2-1．某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数与极差之和是 ． 变式2-2．已知数据的极差为6，且分位数为，则 . 变式2-3．某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到频率分布直方图如图所示. (1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率（写出计算过程）； (2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数（写出计算过程）； (3)估计测评成绩的分位数.（写出计算过程） 【题型3互斥事件与对立事件】 例5．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．“至少一个白球”与“至少一个黄球” B．“恰有一个白球”与“恰有两个白球” C．“至多一个白球”与“至多一个黄球” D．“至少一个黄球”与“都是黄球” 例6．已知随机事件中，与相互独立，与对立，且，，则 . 变式3-1．（多选）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”.下列结论判断正确的是（    ） A．与互斥 B． C． D．为对立事件 变式3-2．（多选）据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，则下列说法正确的是（   ） A．和是互斥事件但不是对立事件 B．和是互斥事件也是对立事件 C． D． 变式3-3．设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型4“放回”与“不放回”的概率问题】 例7．一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（   ） A． B． C． D． 例8．从2名男生（记为和）和3名女生（记为和）组成的总体中，任意依次抽取2名学生. (1)不放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. (2)有放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. 变式4-1．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为 . 变式4-2．现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式4-3．—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 【题型5“正难则反”思想】 例9．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（    ） A． B． C． D． 例10．柜子里有3双不同的鞋，分别用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每双鞋的左脚，，，表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么 (1)写出试验的样本空间； (2)求下列事件的概率： ①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋. (3)求取出的鞋不成双的概率. 变式5-1．2022年11月8日至13日第十四届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举行．歼-20､运-20和空警-500､轰-6K､红-9B等主战装备集中亮相，运油-20､歼-16､攻击-2无人机首次振翅中国航展，空军八一飞行表演队和空军航空大学“红鹰”飞行表演队劲舞长空，中国航展成为中国航空航天产业发展和国防实力最重要的展示平台，更是展示中国力量，彰显中国价值，弘扬中国精神的一个窗口，国产某型防空导弹的单发命中率为90%，为了确保对敌机的摧毁效果，实战中往往采取双发齐射的方式，则双发齐射的命中率为 ． 变式5-2．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为． （1）求1张奖券中奖的概率； （2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 变式5-3．第十五届中国国际航空航天博览会将于2024年11月在珠海国际航展中心组织，某城市为了了解居民对航空航天知识的认知程度，针对不同社区不同年龄和不同职业的人举办了一次“航空航天”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，估计这人年龄的第85百分位数； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航空航天”的宣传使者.若有甲（年龄31），乙（年龄34），丙（年龄42）三人已确定入选宣传使者，现计划从第三组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙、丙三人中至少有一人被选上的概率. 【题型6相互独立事件的判断】 例11．一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件，事件，若事件满足，，则满足条件的事件的个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．24 例12．已知甲、乙两个班级的女生人数占本班人数的比例分别为和，现从每个班各选一名同学，记事件“从甲班选择的是女生”，事件“两名同学中至少有一名是男生”，事件“从两个班选到的学生性别不同”，则（    ） A．事件和相互独立 B．事件和相互独立 C．事件和相互独立 D．事件和相互独立 变式6-1．（多选）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“两次掷出的点数之和是”，事件B表示“第二次掷出的点数是偶数”，表示“两次掷出的点数相同”，表示“至少出现一个奇数点”，则（    ） A．A与互斥 B．A与相互独立 C．与对立 D．与相互独立 变式6-2．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥，与相互对立 B． C．但不满足两两独立 D．且两两相互独立 变式6-3．（多选）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取一个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是8”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（   ） A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 【题型7相互独立事件的概率】 例13．甲、乙两个小朋友各有一个不透明的袋子，甲小朋友的袋子中装有3个白球和2个黄球，乙小朋友的袋子中装有2个白球和3个黄球，甲、乙两个小朋友分别从自己的袋子中摸出一个球，若两个球的颜色相同，则甲小朋友获胜，被两个小朋友摸出的两个小球放入甲小朋友的袋子中，否则乙小朋友获胜，被两个小朋友摸出的两个小球放入乙小朋友的袋子中．两个小朋友在摸球时互不影响．根据上述规则，在第二次摸球时，乙小朋友获胜的概率为 ． 例14．某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)求频率分布直方图中a的值．若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数. (2)用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数. (3)若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率． 变式7-1．在某次学科知识竞赛的初赛中，共有两道试题，两道题都答对者才能进入决赛．现有甲、乙、丙三名学生去参加初赛，他们答对第一题的概率分别是，，，答对第二题的概率分别是，，．已知甲和丙都答对第一题的概率为，且他们三人是否答对各道题之间是互不影响的． (1)求甲进入决赛的概率； (2)求甲、乙、丙这三名学生中恰有两人进入决赛的概率． 变式7-2．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为． (1)求的值； (2)求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率； (3)若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率． 变式7-3．某中学举办科学竞技活动，报名参加科学竞技活动的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，设有三门考试科目且每门是否通过相互独立，至少有两门通过，则认为是笔试合格.若笔试不合格，则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.面试合格者代表年级组参加全校的决赛.现有某年级甲、乙两名学生报名参加本次竞技活动，假设笔试中甲每门合格的概率均为，乙每门合格的概率分别是，，，甲、乙面试合格的概率分别是，. (1)求甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率； (2)求甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率. 过关检测 一、单选题 1．某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，每组数据以组中值（组中值＝（区间上限＋区间下限）/2）计算），下列说法正确的是（    ）    A．直方图中的值为0.035 B．估计全校学生的平均成绩为83分 C．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分 D．在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人 2．杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（    ） A． B． C． D． 3．已知事件A，B互斥，A，B都不发生的概率为，且，则（   ） A． B． C． D． 4．在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别是，则下列说法正确的是（　　） A．与是互斥事件，也是对立事件 B． 与是互斥事件，也是对立事件 C． 与是互斥事件，但不是对立事件 D．与是互斥事件，也是对立事件 5．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为、、，且.记该棋手连胜两盘的概率为，则（    ） A．与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，最大 6．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是，设该组数据的平均数为，第百分位数为，则有（    ）． A．， B．， C．， D．， 7．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 8．金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（   ） A．A与C是对立事件 B．C与D相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D不互斥 二、多选题 9．某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成，，，，这五组），则下列结论正确的是（    ） A．直方图中 B．此次比赛得分及格的共有60人 C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在，的概率为0.75 D．这100名参赛者得分的第80百分位数为75 10．某展会安排了分别标有序号为“1号”、“2号”、“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为、，则（    ） A． B． C． D． 11．设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若相互独立，则 三、填空题 12．甲､乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束.已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了，此局比赛结束时，两人的得分总和为24的概率为 . 13．九官格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 14．一次考试后，学校将全体考生的成绩分数绘制成频率分布直方图（如下图），并按照等级划分表（如下表）对考生作出评价，若甲考生的等级为“A”，则估计甲的分数为 ．（写出满足条件的一个整数值即可） 等级 划分范围（分数由高到低） A+ 前20%（包括20%） A 前20%~35%（包括35%） B+ 前35%~65%（包括65%） B 前65%~85%（包括85%） C+ 前85%~95%（包括95%） C 最后5% 四、解答题 15．某市文旅局为激发夜间文旅市场的活力，共设置夜市摊点500个，为调查这些夜市摊点的服务情况，该文旅局随机抽取了100个夜市摊点进行评分，评分越高，服务越好，满分为100分．将分数以20为组距分为5组：、、、、，得到100个夜市摊点得分的频率分布直方图，如图，已知组的频数比组多8． (1)求直方图中和的值； (2)为进一步提升夜市经济消费品质，提高服务质量，该文旅局准备对剩下的所有夜市摊点进行评分，并制定一个评分分数，给达到这个分数的摊位颁发“服务优秀”荣誉证书．若该文旅局希望使得恰有50%的摊位获得荣誉证书，求应该制定的评分分数． 16．甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响. (1)求甲在一局中得2分的概率； (2)求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率； 17．某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛．已知甲、乙、丙、丁4名同学所在小组的赛程如表．规定：每场比赛获胜的同学得3分，输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励．若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为．假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为．丁同学的水平较弱，面对任意一名同学时自己胜、负、平的概率都分别为．每场比赛结果相互独立． 第一轮 甲—乙 丙—丁 第二轮 甲—丙 乙—丁 第三轮 甲—丁 乙—丙 (1)求丁同学的总分为5分的概率； (2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率． 18．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间）画出频率分布直方图如图所示.      (1)求频率分布直方图中的值； (2)政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户居民月用电量标准，用电量不超过的部分按照平价收费，超出部分按照议价收费，若使85%居民用户的电费支出不受影响，应确定值为多少? 19．某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为. (1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设，且每局比赛相互独立. （i）求乙连胜两局获得最终胜利的概率； （ii）求比赛结束时乙获胜的概率； (2)若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习06 概率统计的综合 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1频率分布直方图的数字特征】 【题型2总体百分位数的估计】 【题型3互斥事件与对立事件的判断】 【题型4“放回”与“不放回”的概率问题】 【题型5“正难则反”思想】 【题型6相互独立事件的判断】 【题型7相互独立事件的概率】 知识点 1 ：数字特征 ①众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 ②极差、方差和标准差 极差：即一组数据中最大值与最小值的差． 方差：. 标准差：. 注：方差和标准差反映了数据波动程度的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． ③性质 （1）若的平均数为，那么的平均数为. （2）数据与数据的方差相等，即数据经过平移后方差不变． （3）若的方差为s2，那么的方差为. 知识点 2 ：百分位数 1.定义：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． 2.计算一组几个数据第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据； 第2步，计算. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 3.四分位数 即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数． 其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等． 知识点 3 ：相互独立 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. （1）如果与相互独立,则与，与，与也相互独立. （2）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 难点 1 ：“放回”与“不放回”问题 抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响．另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取． 难点 2 ：“正难则反”思想，利用对立事件求概率 在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式求得或采用正难则反的原则，转化为其对立事件，再用公式求得． 题型归纳 【题型1频率分布直方图的数字特征】 例1．众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】观察频率分布直方图，发现是属于右边“拖尾”，所以平均数大于中位数为， 由于第一个小矩形面积为， 前2个小矩形面积之和为， 所以中位数位于之间，故可得，解得， 由频率分布直方图可知众数， 故， 故选：D. 例2．某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图．则下列结论错误的是（   ） A．估计数学成绩的众数为75 B． C．估计数学成绩的75百分位数约为85 D．估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50 【答案】B 【详解】估计数学成绩的众数为（分），A选项正确. 根据题意可得，∴， B选项错误. ∵前四组的频率依次为0.1，0.15，0.35，0.3， ∴估计数学成绩的75百分位数约为（分），C选项正确. ∵成绩在80分及以上的学生的两组的频率之比为， ∴估计成绩在80分及以上的学生的平均分为，D选项正确． 故选：B． 变式1-1．在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下.某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数； (2)求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数. 【答案】(1)4 (2)；平均数为71；中位数为 【详解】（1）从图中可知组距为，则的频率分别为， 从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时， 成绩不高于50分的人数为（人）. （2）由图可知，解得. 使用组中值与频率可估计平均数为 . 因为且， 所以中位数在内， 设估计的中位数为，则，得. 变式1-2．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中x的值； (2)设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量小于6吨的人数； (3)由频率分布直方图估计该市居民月均用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）． 【答案】(1) (2)万 (3)吨 【详解】（1）由频率分布直方图可得， 解得， 故直方图中x的值为. （2）由频率分布直方图可得， 月均用水量小于6吨的频率为：， 所以估计全市50万居民中月均用水量小于6吨的人数为：（万）； （3）该市居民用水的平均数估计为： ； 估计该市居民月均用水的平均数吨. 变式1-3．100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．回答下列问题： (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计这次考试的平均数、众数和中位数（结果保留一位小数）． 【答案】(1) (2)中位数：，众数：75，平均数： 【详解】（1）由频率分布直方图知组距为10，频率总和为1， 所以有，解得． （2）前两个小矩形面积为，第三个小矩形的面积为， 中位数要平分直方图的面积， ． 众数：75 平均数： 【题型2总体百分位数的估计】 例3．样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（    ） A．16 B．19 C．20 D．22 【答案】C 【详解】共有10个数，，故从小到大排列，选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即20为第70百分位数. 故选：C. 例4．我国是世界上严重缺水的国家，某区为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率直方图. (1)求直方图中的值； (2)设该区有70万居民，估计全区居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； (3)若该区政府希望使的居民每月的用水量不超过标准吨，估计的值，说明理由. 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析. 【详解】（1）由频率直方图可知，月均用水量在的频率为. 同理在的频率分别为， ， 由， 解得 （2）由（1）知，该区100位居民月均用水量不低于3吨的频率为. 由以上样本的频率分布，可以估计70万居民中月均用水量不低于3吨的人数为； （3）因为前6组的频率之和为， 前5组的频率之和为 所以，由，解得， 因此，估计月均用水量标准为2.8吨时，82%的居民每月的用水量不超过标准. 变式2-1．某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数与极差之和是 ． 【答案】125 【详解】将7个数据从小到大排列为70，73，85，90，95，97，98， 因为，所以这7人成绩的上四分位数是97，极差为， 故上四分位数与极差之和是． 故答案为：125 变式2-2．已知数据的极差为6，且分位数为，则 . 【答案】5 【详解】因为，所以. 当时，数据的分位数为4，由，得，不符合题意，舍去. 当时，数据的分位数为，由，得（负根舍去），符合题意.故. 故答案为：5. 变式2-3．某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到频率分布直方图如图所示. (1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率（写出计算过程）； (2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数（写出计算过程）； (3)估计测评成绩的分位数.（写出计算过程） 【答案】(1) (2)25人 (3) 【详解】（1）由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：， 则分数小于60的频率为：，故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为. （2）由频率分布直方图可得分数不小于50的频率为：， 则分数在区间内的人数为：人. 则总体中分数在区间内的人数为：人. （3）由频率分布直方图可得分数小于70的频率为0.4，分数小于80的频率为0.8，则测评成绩的75%分位数落在区间上，则测评成绩的75%分位数为. 【题型3互斥事件与对立事件】 例5．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．“至少一个白球”与“至少一个黄球” B．“恰有一个白球”与“恰有两个白球” C．“至多一个白球”与“至多一个黄球” D．“至少一个黄球”与“都是黄球” 【答案】B 【详解】从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球， 共有三种结果：两白球，一白一黄，两黄球， 这三个事件是互斥事件.所以B是正确的； 由于至少一个白球，包含事件有两白球和一白一黄， 而至少一个黄球包含两黄球和一白一黄， 当取到一白一黄时，此时这两个事件同时发生，故A错误； 由于至多一个白球，包含事件有一白一黄和两黄球， 而至多一个黄球包含一黄一白和两白球， 所以当取到一白一黄时，此时两个事件同时发生，故C错误； 由于至少一个黄球，包含事件一白一黄和两黄球， 而都是黄球显然也是两黄球，故D错误； 故选：B. 例6．已知随机事件中，与相互独立，与对立，且，，则 . 【答案】/ 【详解】由与为对立事件，则， 又与相互独立，则， 所以. 故答案为：. 变式3-1．（多选）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”.下列结论判断正确的是（    ） A．与互斥 B． C． D．为对立事件 【答案】ABC 【详解】对于A：由题意与不可能同时发生，它们互斥，A正确； 对于B：中点数为1或2，中点数为3，4，5或6，因此是必然事件，但它们不可能同时发生，因此为不可能事件，B正确； 对于C：发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此，C正确； 对于D：与不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误； 故选：ABC. 变式3-2．（多选）据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，则下列说法正确的是（   ） A．和是互斥事件但不是对立事件 B．和是互斥事件也是对立事件 C． D． 【答案】BD 【详解】事件“选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”、“选择历史学科”、“选择地理学科”， 所以事件“选择政治学科”，包含于事件，故事件、可以同时发生，不是互斥事件，A错； 事件“选择一门理科学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生， 且必有一个事件发生，故和是互斥事件也是对立事件，B对； 由题意可知，，所以，C错； 事件事件“选择生物学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生， 故和是互斥事件，所以，D对. 故选：BD. 变式3-3．设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 又 所以. 故. 故选：D. 【题型4“放回”与“不放回”的概率问题】 例7．一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第二次摸出的球是红球的事件有两种情况： 第一次摸到黑球，第二次摸到红球的概率为， 第一次摸到红球，第二次摸到红球的概率为， 所以第二次摸出的球是红球的概率为. 故选：A. 例8．从2名男生（记为和）和3名女生（记为和）组成的总体中，任意依次抽取2名学生. (1)不放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. (2)有放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）从5名学生中，不放回地任意依次抽取2名学生的所有可能结果为： ， 共20种结果. 设事件为抽到的2人为1名男生和1名女生，则事件发生的所有可能结果为： ，共12种结果. 由古典概型的概率计算公式得：， 即不放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为. （2）有放回简单随机抽样抽取2名学生的所有可能结果为： ，共25种结果. 设事件为抽到的2人为1名男生和1名女生，则事件发生的所有可能结果为： ，共12种结果. 由古典概型的概率计算公式得：， 即有放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为. 变式4-1．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为 . 【答案】/ 【详解】从5张卡片中无放回随机抽取2张共有种情况； 抽到的2张卡片上的数字之和是偶数需满足两张同是偶数或同是奇数， 同为偶数共有种情况，同为奇数共有种情况； 因此所求概率为. 故答案为：. 变式4-2．现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】第个盒子中第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片的概率为； 第一次和第二次都取到兔形图案的卡片的概率为， 所以第二次取到的卡片为兔形图案的概率， 解得. 故选：A. 变式4-3．—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2， 则任意摸出2个球的样本空间有：红1红2，红1红3，红1白1，红1白2，红2红3，红2白1，红2白2，红3白1，红3白2，白1白2共10个样本点， 其中2球均为白球事件的样本点只有1个，因此2个球都是白球概率为； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，列表如图所示： 第2次摸球第1次摸球 红1 红2 红3 白1 白2 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，红3） （红1，白1） （红1，白2） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，红3） （红2，白1） （红2，白2） 红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，红3） （红3，白1） （红3，白2） 白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，红3） （白1,白1） （白1,白2） 白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，红3） （白2,白1） （白2,白2） 所以搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球事件的样本空间共有25个样本点，它们出现的可能性相同， 其中满足事件“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”的样本点有12个，所以. 【题型5“正难则反”思想】 例9．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为将一颗质地均匀的骰子先后抛掷一次，出现一次6点向上的概率为， 所以先后抛掷3次，没有出现一次6点向上的概率为， 所以少出现一次6点向上的概率为. 故选：C. 例10．柜子里有3双不同的鞋，分别用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每双鞋的左脚，，，表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么 (1)写出试验的样本空间； (2)求下列事件的概率： ①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋. (3)求取出的鞋不成双的概率. 【答案】(1)见解析 (2), (3) 【详解】（1）该试验的样本空间可表示为,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,； （2）记：“取出的鞋都是一只脚的” ,，,，,，,，,，,， ， ； 记“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”， , , ,，,，,，,， ， ， （3）记“取出的鞋不成双”， 由（1）得， ，,，,，， ， ； 变式5-1．2022年11月8日至13日第十四届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举行．歼-20､运-20和空警-500､轰-6K､红-9B等主战装备集中亮相，运油-20､歼-16､攻击-2无人机首次振翅中国航展，空军八一飞行表演队和空军航空大学“红鹰”飞行表演队劲舞长空，中国航展成为中国航空航天产业发展和国防实力最重要的展示平台，更是展示中国力量，彰显中国价值，弘扬中国精神的一个窗口，国产某型防空导弹的单发命中率为90%，为了确保对敌机的摧毁效果，实战中往往采取双发齐射的方式，则双发齐射的命中率为 ． 【答案】/0.99 【详解】由题意得，防空导弹单发命中率为0.9， 设事件为发射一枚防空导弹后命中敌机，则，， 设事件为采取双发齐射后命中敌机， 则， 故答案为：0.99． 变式5-2．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为． （1）求1张奖券中奖的概率； （2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖, 设“1张奖券中奖”为事件,则, 因为、、两两互斥,所以 故1张奖券中奖的概率为 （2）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件,则事件与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件, 所以, 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,考查古典概型,考查利用对立事件求概率 变式5-3．第十五届中国国际航空航天博览会将于2024年11月在珠海国际航展中心组织，某城市为了了解居民对航空航天知识的认知程度，针对不同社区不同年龄和不同职业的人举办了一次“航空航天”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，估计这人年龄的第85百分位数； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航空航天”的宣传使者.若有甲（年龄31），乙（年龄34），丙（年龄42）三人已确定入选宣传使者，现计划从第三组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙、丙三人中至少有一人被选上的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由频率分布直方图得：年龄在的频率分别为， 由各组频率知第百分位数， 由，解得， 所以第85百分位数为. （2）由第三组、第五组的频率可知第三组抽取人，第五组抽取人， 不妨设除甲、乙、丙外的五人为，于是从第三组和第五组被抽到的使者中抽取2人的所有情况为： 甲，甲，甲，甲，甲，甲乙，甲丙，乙, 乙, 乙, 乙，乙，乙丙，丙, 丙, 丙, 丙，丙，，共28种， 其中甲、乙、丙都没抽到的有，共10种， 所以甲､乙、丙三人至少有一人被选上的概率为：. 【题型6相互独立事件的判断】 例11．一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件，事件，若事件满足，，则满足条件的事件的个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．24 【答案】C 【详解】样本空间，这是一个古典概型，可得，， 即，，从而且. 由可得事件；又因为，所以1或2. (1)若，则，即，， 此时不满足； (2)若，则，且，又因为， 所以或，即或3； ①若，，此时或或或 ，也就是从事件中的四个样本点中选3个，再加入6这一个样本 点，即有个满足条件的事件； ②若，，同理有个满足条件的事件； ③若，，此时或或或， 即从事件的四个样本点中选1个，再加入5，6，7这三个样本点，即有个满足条件的事件； ④若，，同理有个满足条件的事件； 综上所述，满足条件的事件共计个. 故选：C. 例12．已知甲、乙两个班级的女生人数占本班人数的比例分别为和，现从每个班各选一名同学，记事件“从甲班选择的是女生”，事件“两名同学中至少有一名是男生”，事件“从两个班选到的学生性别不同”，则（    ） A．事件和相互独立 B．事件和相互独立 C．事件和相互独立 D．事件和相互独立 【答案】C 【详解】由题意可得，，， ，， ，， 因为，则事件和不相互独立，A错误； 因为，则事件和不相互独立，B错误； 因为，则事件和相互独立，C正确； 因为，则事件和不相互独立，D错误． 故选：C. 变式6-1．（多选）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“两次掷出的点数之和是”，事件B表示“第二次掷出的点数是偶数”，表示“两次掷出的点数相同”，表示“至少出现一个奇数点”，则（    ） A．A与互斥 B．A与相互独立 C．与对立 D．与相互独立 【答案】ABD 【详解】试验的样本空间，，，. 事件，. 对于A，A与没有公共的基本事件，A与互斥，正确； 对于B，与相互独立，B正确； 对于C，显然，与可以同时发生，C错误； 对于D，与相互独立，D正确. 故选：ABD. 变式6-2．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥，与相互对立 B． C．但不满足两两独立 D．且两两相互独立 【答案】C 【详解】因为事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：. 因为事件，都包含样本点2,3，所以，不互斥，故A错误； 因为所含的样本点为：，所以，故B错误； 因为所含的样本点为：，所以，又，所以. 又事件所含的样本点为：，所以，又， 所以，所以事件不独立，即两两独立错误，所以C正确，D错误. 故选：C 变式6-3．（多选）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取一个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是8”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（   ） A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】ABD 【详解】依题意从中有放回地随机取两次球，则可能结果有： ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共个结果. 事件包含的基本事件有：，，，，，共个； 事件包含的基本事件有：，，，，，共个； 事件包含的基本事件有：共个； 事件包含的基本事件有：，，，，，共个； 对于A：显然事件与事件不可能同时发生，所以与互斥，故A正确； 对于B：事件与事件不可能同时发生，所以与互斥，故B正确； 对于C：因为，，， 所以与不独立，故C错误； 对于D：因为，，， 所以与相互独立，故D正确. 故选：ABD 【题型7相互独立事件的概率】 例13．甲、乙两个小朋友各有一个不透明的袋子，甲小朋友的袋子中装有3个白球和2个黄球，乙小朋友的袋子中装有2个白球和3个黄球，甲、乙两个小朋友分别从自己的袋子中摸出一个球，若两个球的颜色相同，则甲小朋友获胜，被两个小朋友摸出的两个小球放入甲小朋友的袋子中，否则乙小朋友获胜，被两个小朋友摸出的两个小球放入乙小朋友的袋子中．两个小朋友在摸球时互不影响．根据上述规则，在第二次摸球时，乙小朋友获胜的概率为 ． 【答案】 【详解】分两类讨论： （1）第一次摸球甲小朋友获胜，第二次摸球乙小朋友获胜： ①第一次摸球，两个小朋友摸出的球均为白球，则第二次摸球，乙小朋友获胜的概率； ②第一次摸球，两个小朋友摸的球均为黄球，则第二次摸球，乙小朋友获胜的概率； （2）第一次摸球乙小朋友获胜，第二次摸球乙小朋友获胜： ①第一次摸球，甲小朋友摸到白球、乙小朋友摸到黄球，则第二次摸球，乙小朋友获胜的概率； ②第一次摸球，甲小朋友摸到黄球、乙小朋友摸到白球，则第二次摸球，乙小朋友获胜的概率． 综上所述，在第二次摸球时，乙小朋友获胜的概率． 故答案为：. 例14．某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)求频率分布直方图中a的值．若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数. (2)用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数. (3)若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率． 【答案】(1)，12人中成绩不低于90分的人数为1； (2)平均数约为分，中位数约为分； (3). 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得. 的频率为，的频率为， 的频率为，按分层抽样方法抽取12人的成绩， 则12人中成绩不低于90分的人数为. （2）该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数为： . 的频率为， 的频率为， 设中位数为,则， 则，解得， 故该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数约为分，中位数约为分. （3）设“至少有一位同学复赛获一等奖”， 则, 故至少有一位同学复赛获一等奖的概率为. 变式7-1．在某次学科知识竞赛的初赛中，共有两道试题，两道题都答对者才能进入决赛．现有甲、乙、丙三名学生去参加初赛，他们答对第一题的概率分别是，，，答对第二题的概率分别是，，．已知甲和丙都答对第一题的概率为，且他们三人是否答对各道题之间是互不影响的． (1)求甲进入决赛的概率； (2)求甲、乙、丙这三名学生中恰有两人进入决赛的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题知：甲和丙都答对第一题的概率为，则； 记“甲进入决赛”为事件，由题知：； （2）记“乙进入决赛”为事件，记“丙进入决赛”为事件， 由题知：；； 则甲、乙、丙三位学生中恰有两人进入决赛的概率为 . 变式7-2．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为． (1)求的值； (2)求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率； (3)若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设分别表示甲两轮猜对0个，1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对0个，1个，2个成语的事件， 则 设“‘星队’在两轮活动中猜对了所有成语” ，解得 （2）由（1）知， 设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与与分别相互独立， 则 所以两轮活动‘星队’猜对3个成语的概率为. （3）“‘星队’的甲、乙两人中恰有一人获得此称号”， 则 所以“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率. 变式7-3．某中学举办科学竞技活动，报名参加科学竞技活动的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，设有三门考试科目且每门是否通过相互独立，至少有两门通过，则认为是笔试合格.若笔试不合格，则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.面试合格者代表年级组参加全校的决赛.现有某年级甲、乙两名学生报名参加本次竞技活动，假设笔试中甲每门合格的概率均为，乙每门合格的概率分别是，，，甲、乙面试合格的概率分别是，. (1)求甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率； (2)求甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率为： ； （2）由题意乙能够代表年级组参加全校的决赛的概率为： ， 所以甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率为： . 过关检测 一、单选题 1．某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，每组数据以组中值（组中值＝（区间上限＋区间下限）/2）计算），下列说法正确的是（    ）    A．直方图中的值为0.035 B．估计全校学生的平均成绩为83分 C．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分 D．在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人 【答案】C 【详解】根据学生的成绩都在50分至100分之间的频率和为1可得，解得，所以A错； 对于B：估计全校学生的平均成绩为分，故B错误； 对于C：全校学生成绩的样本数据的分位数约为分，故C正确． 对于D：在被抽取的学生中，成绩在区间，的学生数为人，故D错误； 故选：C 2．杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为， 代表依次摸出的卡片，， 则基本事件分别为：， 其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：， 所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片， 则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是. 故选：B. 3．已知事件A，B互斥，A，B都不发生的概率为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为事件A，B互斥，A，B都不发生的概率为， 所以， 而，解得， 所以， 故选：C. 4．在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别是，则下列说法正确的是（　　） A．与是互斥事件，也是对立事件 B． 与是互斥事件，也是对立事件 C． 与是互斥事件，但不是对立事件 D．与是互斥事件，也是对立事件 【答案】D 【详解】A中，因为彼此互斥，故与是互斥事件， 而，故与不是对立事件，故A错误； B中，因为彼此互斥，故与是互斥事件， 而，故与不是对立事件，故B错误； C中，因为彼此互斥，故与是互斥事件， 而，故与是对立事件，故C错误； D中，因为彼此互斥，故与互斥事件， 而，故与是对立事件，故D正确； 故选：D. 5．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为、、，且.记该棋手连胜两盘的概率为，则（    ） A．与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，最大 【答案】B 【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为， 则； 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 则； 因为， 则 即， 则该棋手在第二盘与甲比赛，最大，故B判断正确；ACD判断错误. 故选：B. 6．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是，设该组数据的平均数为，第百分位数为，则有（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】把该组数据按从小到大排序，可得， 故平均数， 因为，所以第50百分位数，故D正确. 故选：D． 7．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，故，， 因为与为互斥事件，故， 又， 所以有， 故，故. 故选：A. 8．金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（   ） A．A与C是对立事件 B．C与D相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D不互斥 【答案】C 【详解】设跳高、跳远、100米跑和200米跑分别为1，2，3，4，则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑中选择两个项目参加的情况有： （1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213）， （1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314）， （2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224）， （1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36种， 其中A有24种情况，B有6种情况，C有6种情况，D有9种情况，则，，，. 由可得A与C不是对立事件，选项A错误. ，C与D不相互独立，选项B错误. ，A与D相互独立，选项C正确. 由B与D不可能同时发生可知B与D互斥，选项D错误. 故选：C. 二、多选题 9．某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成，，，，这五组），则下列结论正确的是（    ） A．直方图中 B．此次比赛得分及格的共有60人 C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在，的概率为0.75 D．这100名参赛者得分的第80百分位数为75 【答案】ABD 【详解】对于A，由得，故A正确； 对于B，此次比赛得分及格的共有人，故B正确； 对于C，以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人， 其得分在的概率为，故C错误； 对于D，因为， 所以第80百分位数在内，可得这100名参赛者得分的第80百分位数为，故D正确. 故选：ABD. 10．某展会安排了分别标有序号为“1号”、“2号”、“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】按照发车的序号，列举基本事件如下： ，共6种， 方案一坐到“3号”车，包含的基本事件有：，共3种， 所以方案一坐到“3号”车的概率. 方案二坐到“3号”车，包含的基本事件有：，共2种， 所以方案二坐到“3号”车的概率. 所以、、，BCD选项正确，A选项错误. 故选：BCD. 11．设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若相互独立，则 【答案】AC 【详解】对于A，若，则，A正确； 对于B，若，则事件互斥， 所以，B错误； C选项，因为，所以，则相互独立，C正确； D选项，若相互独立，则相互独立，且， 所以，D错误． 故选：AC． 三、填空题 12．甲､乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束.已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了，此局比赛结束时，两人的得分总和为24的概率为 . 【答案】 【详解】因为比赛结束时，两人的得分总和为24，其中且两人的得分的差的绝对值为2， 若甲赢得比赛，则最后两局比赛甲胜，第21球和第22球甲乙一胜一负， 所以事件甲赢得比赛的概率为， 同理乙赢得比赛的概率为， 所以. 故答案为： 13．九官格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 【答案】 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a b c d e 2 1 6 3 8 2 1 8 3 6 6 1 2 3 8 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2 共有12种等可能的结果，其中的结果有10种， 所以的概率为. 故答案为：. 14．一次考试后，学校将全体考生的成绩分数绘制成频率分布直方图（如下图），并按照等级划分表（如下表）对考生作出评价，若甲考生的等级为“A”，则估计甲的分数为 ．（写出满足条件的一个整数值即可） 等级 划分范围（分数由高到低） A+ 前20%（包括20%） A 前20%~35%（包括35%） B+ 前35%~65%（包括65%） B 前65%~85%（包括85%） C+ 前85%~95%（包括95%） C 最后5% 【答案】100（答案不唯一，任选其一） 【详解】利用频率分布直方图可得，解得， 成绩在区间内的人数占，在内的人数占， 设成绩排在前位的分数线为，则，解得； 设成绩排在前位的分数线为，则，解得； 因此考生的等级为“A”的分数区间为，又因为分数取整数， 所以可得甲的分数所有可能取值为. 故答案为：100（答案不唯一） 四、解答题 15．某市文旅局为激发夜间文旅市场的活力，共设置夜市摊点500个，为调查这些夜市摊点的服务情况，该文旅局随机抽取了100个夜市摊点进行评分，评分越高，服务越好，满分为100分．将分数以20为组距分为5组：、、、、，得到100个夜市摊点得分的频率分布直方图，如图，已知组的频数比组多8． (1)求直方图中和的值； (2)为进一步提升夜市经济消费品质，提高服务质量，该文旅局准备对剩下的所有夜市摊点进行评分，并制定一个评分分数，给达到这个分数的摊位颁发“服务优秀”荣誉证书．若该文旅局希望使得恰有50%的摊位获得荣誉证书，求应该制定的评分分数． 【答案】(1)，； (2)72分. 【详解】（1）依题意，， 所以，. （2）设应该制定的评分分数为分，则在频率分布直方图中，直线右边小矩形的面积和为0.5， 而的小矩形面积是， 则在内，于是，解得， 所以应该制定的评分分数为72分. 16．甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响. (1)求甲在一局中得2分的概率； (2)求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，画出树状图，如图：    所以每局中共有种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）： （剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、 （石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、 （布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、 一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率. （2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种： ①第一局甲得2分，第二局甲得1分： 则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分； 由（1）中树状图可知满足情况有： 第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、 第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头） 此时概率为种情况， ②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分， 则乙第一局得1分，第二局得负1分；则丙第一局得1分，第二局得负1分； 由（1）中树状图可知满足情况有： 第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头） 第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、 此时概率为， 综上所述：游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率. 17．某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛．已知甲、乙、丙、丁4名同学所在小组的赛程如表．规定：每场比赛获胜的同学得3分，输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励．若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为．假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为．丁同学的水平较弱，面对任意一名同学时自己胜、负、平的概率都分别为．每场比赛结果相互独立． 第一轮 甲—乙 丙—丁 第二轮 甲—丙 乙—丁 第三轮 甲—丁 乙—丙 (1)求丁同学的总分为5分的概率； (2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平， 记第轮比赛丁同学胜、平的事件分别为，， 丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为， 则， 即丁同学的总分为5分的概率为． （2）由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局， 则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜， 故丁同学的总分为7分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得0分、0分、1分， 若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名． ①若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何， 甲同学的总分为6分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率． ②若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙2名同学平局， 第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为4分，排第二名， 可以获得奖励，此时的概率． ③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜， 第三轮比赛中当乙、丙2名同学平局时，甲同学的总分为4分，排第二名， 可以获得奖励，此时的概率 第三轮比赛中当乙、丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为4分， 需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励， 此时的概率． 综上，甲同学能获得奖励的概率 18．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间）画出频率分布直方图如图所示.      (1)求频率分布直方图中的值； (2)政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户居民月用电量标准，用电量不超过的部分按照平价收费，超出部分按照议价收费，若使85%居民用户的电费支出不受影响，应确定值为多少? 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由频率分布直方图的性质可知每组小矩形的面积之和为1， 可得：， 解得； （2）由题意知，要使得85%居民用户的电费支出不受影响， 即85%的居民每月的用电量不超过标准度，也即为求该直方图85%分位数. 因为前4个分组频率之和为0.12+0.18+0.3+0.22=0.82， 所以85%分位数在第五组，则有： ， 解得. 19．某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为. (1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设，且每局比赛相互独立. （i）求乙连胜两局获得最终胜利的概率； （ii）求比赛结束时乙获胜的概率； (2)若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲 【详解】（1）（i）. （ii） ， （2）设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，为“第一局乙对甲最终乙获胜”， 第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜； 第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜； 第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜， 故； 同理可得； ， 由于，故， 所以，故乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$