专题九 计数原理与概率统计（课件）-2025届高三数学二轮复习

专题九 计数原理与概率统计 高考数学二轮复习讲练测合集 目录/CONENTS 模块考情分析 知识点讲解 高考典例分析 变式训练提升 01 02 03 04 模块考情分析 01 模块考情分析 1.分类加法计数原理与分布乘法计数原理、排列与组合、二项式定理的模块考情分析 分类加法计数原理与分布乘法计数原理、排列与组合是高考常考内容，有时单独考查，一般以小题的形式呈现，但更多地与概率知识相结合考查，一般考查两个计数原理、排列和组合在实际问题中的应用，根据实际问题正确选择两类计数原理，主要以选择题、填空题的形式呈现，难度中等，一般考查理解能力与应用能力，培养数学运算能力. 二项式定理是高考常考内容，主要考查二项展开式的通项、二项式系数、二项展开式中项的系数以及相关性质的应用等，难度为中低档，命题形式单一.主要以选择题、填空题的形式呈现，考查数学运算能力和数学抽象能力. 模块考情分析 2.随机事件与概率、事件的相互独立性和频率与概率的模块考情分析 随机事件的概率单独考查的概率较小，一般与其他知识综合考查，其中互斥事件和对立事件的概率是高考的重点考查内容，在与对立事件有关的题目中常利用“正难则反”的解题思想.以小题和解答题形式呈现，当以解答题形式呈现时，多与排列组合、分布列、期望与方差、统计等知识综合命题. 古典概型是高考的热点，常以选择题、填空题的形式呈现，主要考查古典概型，在高考中常与平面向量、集合、函数、数列、解析几何、统计等知识交汇命题，命题角度及背景新颖，考查知识全面，能力要求较高.在备考中要注意古典概型与数学文化、实际生活密切联系的问题，要加强实际应用问题的训练. 模块考情分析 3.离散型随机变量及其分布列、均值与方差的模块考情分析 离散型随机变量及其分布列、均值与方差是高考的热点，常以实际问题为背景，与计数原理、古典概型等知识相结合，考查离散型随机变量的分布列、均值和方差，要特别注意二项分布与超几何分布问题及利用期望与方差决策的问题，主要以解答题的形式呈现，难度中等，近两年难度有加大的趋势，更加重视对考生的实际应用能力的考查，要重视对实际问题背景的分析与了解，要在审题、转化、建模等问题上下功夫，重视与其他知识的综合应用. 模块考情分析 4.二项分布、超几何分布和正态分布的模块考情分析 二项分布及其应用、正态分布和超几何分布是高考的热点，主要考查：①条件概率、相互独立事件的概率的求法，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会渗透在解答题中；②独立重复试验、二项分布、超几何分布和正态分布的应用，一般以选择题、填空题和解答题的形式出现.解题时注意对相关概念的理解及相关公式的应用.主要考查考生的数据分析能力和数学运算能力. 模块考情分析 5.统计和成对数据的统计分析的模块考情分析 随机抽样的考查主要是三种抽样方法，尤其是分层抽样，一般以选择题和填空题的形式出现；对用样本估计总体的考查主要是统计图表的应用、样本的数字特征估计总体，单独命题时以小题形式出现，也常作为解答题的一问或一部分进行考查，注意以社会现实为背景，着重考查频率分布表、频率分布直方图及样本的数字特征的求解及应用的试题. 模块考情分析 5.统计和成对数据的统计分析的模块考情分析 回归分析在高考中考查较多，主要考查求回归方程、利用回归方程进行预测，一般以解答题的形式出现，难度中等，有时也以小题形式出现，考查变量的相关性；对于独立性检验，一般以解答题中的一问进行考查，多与概率知识结合命题，特别是以社会现实问题为背景的统计、统计案例与概率相结合的综合题是今后命题的重点与难点，这与新课标对数据分析核心素养的要求密切相关. 知识点讲解 02 知识点讲解 1.分层抽样 知识点讲解 本课内容 2.用样本的数字特征估计总体的数字特征 知识点讲解 本课内容 2.用样本的数字特征估计总体的数字特征 高考典例分析 本课内容 答案：C 高考典例分析 本课内容 高考典例分析 本课内容 答案：BD 高考典例分析 本课内容 知识点讲解 本课内容 3.百分位数 知识点讲解 本课内容 知识点讲解 知识点讲解 本课内容 5.古典概型的概率公式 高考典例分析 本课内容 高考典例分析 本课内容 知识点讲解 6.相互独立事件 （1）对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件. 高考典例分析 本课内容 答案：ABD 高考典例分析 本课内容 高考典例分析 本课内容 高考典例分析 本课内容 高考典例分析 本课内容 答案：（1）0.686； （2）（ⅰ）甲；（ⅱ）甲 高考典例分析 高考典例分析 本课内容 高考典例分析 本课内容 高考典例分析 本课内容 知识点讲解 本课内容 7.二项式定理 知识点讲解 8.均值与方差的性质 知识点讲解 9.条件概率及其性质 知识点讲解 10.全概率公式 11.正态分布的定义及表示 高考典例分析 本课内容 答案：BC 高考典例分析 本课内容 知识点讲解 12.回归直线方程 知识点讲解 13.独立性检验 知识点讲解 14.分类加法计数原理与分步乘法计数原理 高考典例分析 本课内容 答案：D 高考典例分析 本课内容 高考典例分析 答案：64 高考典例分析 本课内容 高考典例分析 本课内容 答案：24；112 高考典例分析 本课内容 高考典例分析 本课内容 方法总结——排列、组合的综合问题 （1）解排列、组合综合问题要从“分析”“分类”“分步”的角度入手. 分析：分析题目的条件，辨别题目的类型，如有无限制元素（或位置）、是相邻问题还是插空问题等. 分类：将较复杂的问题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决. 分步：把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决. （2）分组分配问题. 解决分组分配问题的一个基本思想就是先分组后分配，分组时应注意是否均分，只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象. 知识点讲解 15.二项分布的分布列与方差 高考典例分析 本课内容 高考典例分析 本课内容 高考典例分析 本课内容 高考典例分析 本课内容 变式训练提升 03 变式训练提升 D 变式训练提升 变式训练提升 A 变式训练提升 变式训练提升 A 变式训练提升 变式训练提升 A 变式训练提升 变式训练提升 B 变式训练提升 变式训练提升 BC 变式训练提升 变式训练提升 变式训练提升 变式训练提升 谢谢大家观看 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样. 抽样比 EMBED Equation.DSMT4 . 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数） 把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分，分界线与x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和 方差和标准差反映了数据波动程度的大小. 方差： ； 标准差： 【2024 新课标Ⅱ卷】某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位： ）并部分整理如下表所示. 亩产量 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论正确的是( ) A.100块稻田亩产量的中位数小于 B.100块稻田中亩产量低于 的稻田所占比例超过 C.100块稻田亩产量的极差介于 到 之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于 到 之间 解析：对于A，因为前3组的频率之和 ，前4组的频率之和 ，所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为 ，故A不正确； 对于B，100块稻田中亩产量低于 的稻田所占比例为 ，故B不正确； 对于C，因为 ， ，所以100块稻田亩产量的极差介于 至 之间，故C正确； 对于D，100块稻田亩产量的平均值为 ，故D不正确.故选C. 【2023 新课标Ⅰ卷】有一组样本数据 ， ，…， ，其中 是最小值， 是最大值，则( ) A. ， ， ， 的平均数等于 ， ，…， 的平均数 B. ， ， ， 的中位数等于 ， ，…， 的中位数 C. ， ， ， 的标准差不小于 ， ，…， 的标准差 D. ， ， ， 的极差不大于 ， ，…， 的极差 解析：对于选项A： ， 不确定， ， ，…， 的平均数不确定，如1，2，2，2，2，4的平均数不等于2，2，2，2的平均数，故A错误； 对于选项B：不妨设 ，则 ， ， ， 的中位数为 ， ， ， ， ， ， 的中位数为 ，故B正确； 对于选项C： ， ， ， ， ， 的波动性不小于 ， ， ， 的波动性， ， ， ， 的标准差不大于 ， ， ， ， ， 的标准差，故C错误； 对于选项D：不妨设 ，则 ， ，即 ， ， ， 的极差不大于 ， ， ， ， ， 的极差，故D正确.故选BD. （1）把100个样本数据按从小到大排序，得到第p个和第p+1个数据分别为 .可以发现，区间 内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数 ，并称此数为这组数据的第p百分位数，或p%分位数. （2）一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有 的数据大于或等于这个值. 4. 名称 定义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B） （或 ） 相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即 且 ，则称事件A与事件B相等 A=B 并事件 （和事件） 事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） （或 ） 名称 定义 符号表示 交事件 （积事件） 事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，则称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） （或 ） 互斥事件 若 为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥 对立事件 若 为不可能事件， 为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 且 （U为全集） （1）在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率都是相等的，即每个基本事件发生的概率都是 . （2）对于古典概型，任何事件的概率为 . 【2024 新课标Ⅰ卷】甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为___________. 答案： 解析：因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为3.若甲的总得分为3，则甲出卡片3，5，7时都赢，所以只有1种组合： ， ， ， .若甲的总得分为2，有以下三类情况： 第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为 ， ， ， ； 第二类，当甲出卡片3和7时赢，有 ， ， ， 或 ， ， ， 或 ， ， ， ，共3种组合； 第三类，当甲出卡片5和7时赢，有 ， ， ， 或 ， ， ， 或 ， ， ， 或 ， ， ， 或 ， ， ， 或 ， ， ， 或 ， ， ， ，共7种组合. 综上，甲的总得分不小于2共有12种组合，而所有不同的组合共有 （种），所以甲的总得分不小于2的概率 . （2）若A与B相互独立，则 ， . （3）若A与B相互独立，则A与 ， 与B， 与 也都相互独立. （4）若 ，则A与B相互独立. 【2023 新课标Ⅱ卷】在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为 .考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次，收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）( ) A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D.当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 解析：对于A选项，采用单次传输方案，依次发送1，0，1，依次收到1，0，1的概率为 ，所以A选项正确. 对于B选项，采用三次传输方案，发送1，依次收到1，0，1的概率为 ，所以B选项正确. 对于C选项，采用三次传输方案，发送1，依次收到1，1，1（即译码为1）的概率为 ；发送1，依次收到1，0，1（即译码为1），0，1，1（即译码为1），1，1，0（即译码为1）的概率为 ，于是译码为1的概率为 ，所以C选项不正确. 对于D选项，采用三次传输方案，发送0，依次收到0，0，0（即译码为0）的概率为 ；发送0，依次收到0，0，1（即译码为0），0，1，0（即译码为0），1，0，0（即译码为0）的概率为 ，于是译码为0的概率为 .采用单次传输方案，发送0，译码为0的概率为 .依题意，有 ， ，即 ， .令函数 ， ，则 在 上恒成立，所以D选项正确.故选ABD. 【2024 新课标Ⅱ卷】某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立. （1）若， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. （2）假设 . （ⅰ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ⅱ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 解析：（1）设 “甲、乙所在队进入第二阶段”，则 . 设 “乙在第二阶段至少得5分”，则 . 设 “甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”， 则 . （2）（ⅰ）设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为 ， 则 . 设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为 ， 则 . 则 ， 由 ，得 ， ， 所以 ，即 . 故应该由甲参加第一阶段比赛. （ⅱ）若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15. ， ， ， ， 所以 . 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15. 同理，可得 . ， 由 ，得 ， ， 所以 ，即 . 故应该由甲参加第一阶段比赛. 公式 叫做二项式定理.公式中右边的多项式叫做 的二项展开式，其中各项的系数 叫做二项式系数，式中的 叫做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 项. （1） . （2） . （1）一般地，设A，B为两个事件，且 ，称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率. （2）条件概率的性质： （i） ； （ii）如果B和C是两个互斥事件，则 . 一般地，设 是一组两两互斥的事件， ，且 ，则对任意的事件 ，有 ，称此公式为全概率公式. 如果对于任何实数 ，随机变量X满足 ，则称X的分布为正态分布，记作 . 【2024 新课标Ⅰ卷】随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 ，样本方差 .已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布 ，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布 ，则（若随机变量Z服从正态分布 ，则 ）( ) A. B. C. D. 解析：由题意可知， ，所以 ， ，所以 ，所以A错误，B正确. 因为 ，所以 ， ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 ，（另解： ），所以C正确，D错误.故选BC. ①最小二乘法：通过求 的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. ②回归方程：方程 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 EMBED Equation.DSMT4 的回归方程，其中 是待定参数. ，其中 称为样本点的中心. 利用独立性假设、随机变量 来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验. （1）分类加法计数原理：如果完成一件事有n类不同方案，在第一类方案中有 种不同的方法，在第二类方案中有 种不同的方法，…，在第n类方案中有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. （2）分步乘法计数原理：如果完成一件事有n类不同方案，在第一类方案中有 种不同的方法，在第二类方案中有 种不同的方法，…，在第n类方案中有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. 【2023 新课标Ⅱ卷】某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( ). A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 解析：根据分层抽样的定义知初中部共抽取 人，高中部共抽取 人，根据组合公式和分步计数原理，则不同的抽样结果共有 种.故选D. 【2023 新课标Ⅰ卷】某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有__________种（用数字作答）. 解析：法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有 种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有 种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有 种方案.综上，不同的选课方案共有 （种）. 法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有 （种）选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有 （种）选课方案.综上，不同的选课方案共有 （种）. 【2024 新课标Ⅱ卷】在如图的 的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有__________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是__________. 解析：第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法；第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共有3种不同的选法；第三步，从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数，共有2种不同的选法；第四步，从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数，只有1种选法.由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为 . 先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1，2，3，4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第4行选15，此时个位上的数字之和最大.故选中方格中的4个数之和的最大值为 . （1）二项分布的分布列：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率. 随机变量X的分布列如下： X 0 1 k n p （2）二项分布的方差：若 ，则 . 【2023 新课标Ⅰ卷】甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. （1）求第2次投篮的人是乙的概率. （2）求第i次投篮的人是甲的概率. （3）已知：若随机变量 服从两点分布，且， ，则，记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求 . 答案：（1）0.6 （2） （3） 解析：（1）记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT . （2）设第i次投篮的人是甲的概率为 ， 由题意可知， ， ， 即 ， 所以 ， 又 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， 所以 ，所以 . （3）设第i次投篮时甲投篮的次数为 ，则 的可能取值为0或1， 当 时，表示第i次投篮的人是乙，当 时，表示第i次投篮的人是甲， 所以 ， ，所以 . ， 则 ， 由（2）知， ， 所以 . 1.某学校对100名学生的身高进行统计，得到各身高段的人数并整理如下表： 身高（cm） 频数 10 20 30 25 10 5 根据表中数据，下列结论中正确的是( ) A.100名学生身高的中位数小于160cm B.100名学生中身高低于165cm的学生所占比例超过 C.100名学生身高的极差介于20cm至30cm之间 D.100名学生身高的平均值介于160cm至165cm之间 解析：100名学生身高的中位数是第50和第51名学生身高的平均值，第50名和第51名学生的身高均大于，所以100名学生身高的中位数大于160cm，故A错误； 100名学生中身高低于165cm的学生有名，所以100名学生中身高低于165cm的学生所占比例为，故B错误； 100名学生身高的极差最大为，最小为，但是“介于”不能准确表示临界值能否取到，故C错误； 100名学生身高的平均值为，故D正确.故选：D. 2. 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为( ) A. B. C.20 D.160 解析：因为 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则由二项式系数性质知：展开式共有7项，则 ，则 展开式的通项为 ， 展开式中常数项，必有 ，即 ，所以展开式中常数项为 .故选：A. 3.一次知识竞赛中，共有A，B，C，D，E五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下： A B C D E 分值 10 20 20 20 30 答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获奖.已知参赛人甲答对A题的概率为 ，答对B，C，D题的概率均为 ，答对E题的概率为 ，则甲能获奖的概率为( ) A. B. C. D. 解析：若从B，C，D中只选择了一题，则甲能获奖的概率 ；若从B，C，D中选择了两题，则甲能获奖的概率 ；若从B，C，D中选择了三题，则甲能获奖的概率 .故甲能获奖的概率 . 故选：A. 4.质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有 两个易损部位，每次打击后，A部位损坏的概率为 ，B部位损坏的概率为 ，则在第一次打击后就有部位损坏（只考虑A，B两个易损部分）的条件下，A，B两个部位都损坏的概率是( ) A. B. C. D. 解析：解题分析记事件 第一次打击后就有部位损坏，事件 A，B两个部位都损坏，则 ， ，由条件概率公式可得 .故选：A. 5.下列说法中正确的个数为_______个( ) ①对立事件一定是互斥事件； ②在经验回归直线方程 中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量 减少0.1个单位； ③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数绝对值越接近于1； ④在回归分析模型中，若相关指数 越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好. A.1 B.2 C.3 D.4 解析：对于①，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件未必是对立事件，故①正确； 对于②，根据回归直线方程中回归系数的含义可知：当解释变量x每增加一个单位时，预报变量 增加0.1个单位，故②错误； 对于③，根据相关系数的计算公式可知：两个变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1，故③正确； 对于④，根据回归分析的基本思想可知：相关指数 越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差，④错误.故选：B. 6.（多选）已知事件A，B满足 ， ，则( ) A.若 ，则 B.若A与B互斥，则 C.若 ，则A与B相互独立 D.若A与B相互独立，则 解析：对于A，由 ，得 ，A错误； 对于B，由A与B互斥，得 ，B正确； 对于C，由 ，得 ，则A与B相互独立，C正确； 对于D，由A与B相互独立，得 相互独立，则 ，D错误.故选：BC 7.某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖.每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中.甲､乙共有购物小票一张，购物金额为m元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖. （1）若 ，求这两人中奖的概率； （2）若 ，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率. 解析：（1）记1个红球为a，4个白球分别为b，c，d，e. 则从箱子中随机摸出两球，样本点有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10个样本点，其中含有红球的为： ， ， ， ，共4个样本点， 所以在一次摸奖中，中奖概率为 . 当 时，甲､乙两人只能摸奖一次，所以他们中奖的概率为 . （2）当 时，他们可以摸奖4次. 记事件第i次由甲摸奖为 ，记第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖为事件B， 则 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 $$