广西南宁高新技术产业开发区桂鼎学校2024-2025学年高三上学期市摸底考试数学热身练试题

弟 1页/（共 4页） 弟 2页/（共 4页） 姓 名 ： 班 级 ： 考 号 ： 考 场 ： 座 号 ： 密 封 线 内 不 要 答 题 南宁桂鼎学校 2025 届高三年级市摸底考热身练 数学 命题人：钟晓君 审题人：高三数学组 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的， 请把正确的选项填图在答题卡相应的位置上） 1．已知复数 z满足 1 iz   ，则 z （ ） A． 1 B．1 C． 2 D．2 2．下列命题中真命题的个数是（ ） ① 2R, 0x x   ； ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； ③∃xϵ{x|x是无理数}， x是无理数． A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知向量a  ，b  满足 2 2a b    ，且 ( )b b a     ，则 b a    （ ） A．1 B．2 C． 2 D． 3 4．某实验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田（种植环境相同）连续5次的产量如下： 甲 /kg 260 250 210 250 280 乙 /kg 220 260 230 250 290 则下列结论错误的是（ ） A．甲种水稻产量的众数为250 B．乙种水稻产的极差为70 C．甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数 D．甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差 5．如图，在圆 2 2 4x y  上任取一点 P，过点 P作 x轴的垂线段 PD，D为垂足，当点 P在圆上运动时，线段 PD的中点 M的轨迹方程为（ ） A． 2 2 1 4 x y  B． 2 2 1 4 2 x y   C． 2 2 1 4 3 x y   D． 2 2 1 2 x y  6．已知函数   2cos 1f x x  ， , 2 6 x       的图象与直线 y t 有两个交点，则 t的最大值为（ ） A．1 B．2 C． 3 1 2  D． 3 1 7．在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，已知 AB⊥AC，AA1＝BC＝5．M是 BC中点，则直线 A1M与平面 ABC所成 角的正切值为（ ） A． 1 2 B．2 C． 1 3 D．3 8．若 4a b c   ，3 2 0a b c   ，则 ab的最大值为（ ） A． 1 6 B． 3 6 C． 1 3 D． 3 3 二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分） 9．已知函数   π3sin 2 1 4 f x x       ,下列结论中正确的是（ ） A．函数  f x 的周期是 π B．函数  f x 的图象关于直线 π 8 x  对称 C．函数  f x 的最小值是 2 D．函数  f x 的图象关于点 7π ,08      对称 10．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 F，C上一点 P到 F 和到 y轴的距离分别为 12和 10，且点 P位于 第一象限，以线段 PF为直径的圆记为，则下列说法正确的是（ ） A． 4p  B．C的准线方程为 = 2y  C．圆的标准方程为 2 2( 6) ( 2 5) 36x y    D．若过点 (0,2 5)，且与直线 (OP O为坐标原点）平行的直线 l与圆相交于 A，B两点，则 | | 4 5AB  11．已知函数   3 23 4f x x x   ，则（ ） A．  f x 的极小值为 2 B．  f x 有三个零点 C．点  1,2 是曲线  y f x 的对称中心 D．直线 3 5y x   是曲线  y f x 的切线 第 3页/共 4页 第 4页/共 4页 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ，若 5 9 14a a  ， 2 3a   ，则 8S  ． 13．某商场在过道上设有两排座位（每排 4座）供顾客休息，小明、小红等四位同学去商场购物后坐在座位上 休息，已知该时段座位上空无一人，则不同的坐法有 种；若小明和小红坐在同一排，且每排都要有人坐， 则不同的坐法有 种.（用数字作答） 14．已知角α终边上一点  4 3P , ，求 sin(π )cos(3π ) tancos( )sin( π )          的值 ． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤） 15（13分）．已知 , ,a b c分别为锐角∆ABC三个内角 , ,A B C 的对边，且 2 2 cosb c a C  . (1)求A； (2)若 3a  ，求∆ABC周长取值范围. 16．（15分）已知函数   ex x af x  ， Ra ． (1)若  0 4f   ，求 a的值； (2)当 0a  时，求曲线  y f x 在点   0, 0f 处的切线方程； (3)若  f x 在 2x  时取得极值，求 a的值. 17．（15分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为菱形， PCD△ 是边长为 2的正三角形， 60BCD  ． (1)求证： PB CD ； (2)若平面 PCD 平面 ABCD，求平面 APD与平面 PCD夹角的余弦值． 18．（17分）某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有 A、B两类关键元素含量指标需要检 测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若 A元素指标达标的概率为 3 4 ，B元素指标达标的概率为 8 9 ，按质 量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品． (1)一个食品经过检测，AB两类元素至少一类元素含量指标达标的概率； (2)任意依次抽取该种食品 4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及 ( )E  ． 19．（17分）已知在正项数列 na 中， 1 2a  ，点  1,n n nA a a  在双曲线 2 2 1y x  上.在数列 nb 中，点  , nnb T 在直线 1 1 2 y x   上，其中 nT 是数列 nb 的前 n项和. (1)求数列 na 的通项公式并求出其前 n项和 nS ； (2)求证：数列 nb 是等比数列.