27.2相似三角形第3课时 相似三角形的判定（3）课件2023—2024学年人教版数学九年级下册

27.2.1 相似三角形的判定 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似 1 目录 01 目标导学 02 引入新课 03 新知探究 04 典例精讲 05 针对训练 06 课堂小结 2 教学目标 1 2 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理. 3 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算. 3 导入新课 观察直角三角尺，其内外轮廓构成的两个三角形是否相似？你是怎么判定的？ 4 探究新知 回忆：目前我们知道有哪些判定相似三角形的方法? 5 导入新课 A B D E C C A B A' B' C' 6 探究新知 知识点1：两角分别相等的两个三角形相似 画一画：先任意画一个△ABC，再画 △A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，观察，△A′B′C′与△ABC相似吗？ C A B A' B' C' 7 探究新知 量一量：度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值．你有什么发现？ 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 证一证： 试证明 △ABC∽△A′B′C′. 8 探究新知 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′的延长线）上截取 A′D = AB，过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E， 则有 △A′DE∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′． ∵∠B =∠B′， ∴∠A′DE =∠B． 又∵ A′D = AB，∠A =∠A′， ∴△A′DE ≌△ABC（ASA）． ∴△ABC∽△A′B′C′． C A A' B B' C' D E 9 探究新知 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似 C A B A' B' C' 符号语言： ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 10 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为 D. 求 AD 的长. D A B C E 解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA = 90 ° . 又∠C = 90 °，∠A = ∠A， ∴ △AED ∽ △ABC. 典例精讲 11 ∴ ∴ D A B C E 由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 两组直角边成比例的两个直角三角形相似. 典例精讲 12 1.如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A = 40°，∠B = 80°，∠E = 80°，∠F = 60°．求证：△ABC∽△DEF． 针对训练 证明：在△ABC 中，∵∠A = 40°，∠B = 80°， ∴∠C = 180°－∠A－∠B = 60°． 在△DEF 中，∵∠E = 80°，∠F = 60°， ∴∠B =∠E，∠C =∠F． ∴△ABC∽△DEF． A C B F E D 13 2. 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB = PC · PD． 证明：连接 AC，DB． ∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角， ∴ ∠A = _______． 同理 ∠C = _______， ∴ △PAC ∽ △PDB. ∴__________， 即 PA · PB = PC · PD. ∠D ∠B O D C B A P 针对训练 14 思考： 对于两个直角三角形，我们可以用 “HL”判定它们全等．那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 两组直角边成比例的两个直角三角形相似. 探究新知 15 探究新知 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C = 90°， ∠C′ = 90°， ． 求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. C A A' B B' C' 知识点2：两角分别相等的两个三角形相似 16 ∴ ∴ C' ∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. 证明：设 = k ，则 AB = kA′B′，AC = kA′C′. 由勾股定理，得 探究新知 C A A' B B' C' 17 探究新知 归纳： C A A' B B' C' 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似 18 典例精讲 例 2 .如图，已知∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB = 时，△ABC 与 △ACD 相似． 【分析】观察得到 AB 和 AC 分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论． C A B D 2 解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ， 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： (1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时， AC : AD = AB : AC， 即 : 2 =AB : ， 解得 AB = 3； ∴ 19 ②含分母型：分母≠0 ③0指数幂型： ④复合型：应取各个部分字母取值范围的公共部分. (2) 当 Rt△ABC ∽ Rt△CAD 时， AC : CD ＝ AB : AC，即 : = AB : ， 解得 AB = ． ∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似． C A B D 2 典例精讲 20 针对训练 1. 如图，在△PAB中，C，D为AB边上的两个动点，PC ＝PD. （1）若PC＝CD，∠APB＝120°，则△APC与△PBD相∠BPD.∴△APC∽△PBD.⁠ 21 针对训练 解：△APC∽△PBD.理由： ∵PC＝PD＝CD， ∴△PCD为等边三角形. ∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°. ∴∠ACP＝∠BDP＝120°. ∵∠A＋∠APC＝60°，∠APC＋∠BPD＝∠APB－ ∠CPD＝120°－60°＝60°， ∴∠A＝∠BPD.∴△APC∽△PBD. 22 针对训练 90 解：理由：如图，∵PD⊥AB， ∴∠APB＝∠ADP＝∠PDB＝90°. ∴∠APD＋∠DPB＝90°，∠B＋∠DPB＝90°. ∴∠APD＝∠B.∴△APC∽△PBD. （2）若PC⊥AB（即C，D重合），则∠APB＝⁠ ⁠° 时，△APC∽△PBD，请说明理由. 解：理由：如图，∵PD⊥AB，⁠ ∴∠APB＝∠ADP＝∠PDB＝90°.⁠ ∴∠APD＋∠DPB＝90°，∠B＋∠DPB＝90°.⁠ ∴∠APD＝∠B.∴△APC∽△PBD.⁠ 23 针对训练 2.【一线三等角】如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一 点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD. （1）若AP＝3，求BD的长； 24 （1）解：∵AB＝9，AP＝3， ∴BP＝AB－AP＝9－3＝6. ∵∠A＝∠CPD，∠ACP＋∠A＝∠BPD＋∠CPD， ∴∠ACP＝∠BPD. ∵∠A＝∠B，∴△ACP∽△BPD. ∴＝.∴＝.∴BD＝. 针对训练 25 （2）证明：∵CP平分∠ACD，∴∠PCD＝∠ACP.⁠ ∵∠ACP＝∠BPD，∴∠PCD＝∠BPD.⁠ ∵∠CPD＝∠B，∴△CPD∽△PBD.⁠ ∴＝.∴PD2＝CD·BD.⁠ （2）证明：∵CP平分∠ACD，∴∠PCD＝∠ACP. ∵∠ACP＝∠BPD，∴∠PCD＝∠BPD. ∵∠CPD＝∠B，∴△CPD∽△PBD. ∴＝.∴PD2＝CD·BD. （2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD·BD. 针对训练 26 归纳总结 判定两三角形相似的思路： (1)平行于三角形一边的直线，找两个三角形； (2)已知一角对应相等，找另一角对应相等，或夹这个角的两边成比例； (3)已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边成比例； (4)已知等腰三角形，找顶角相等，或底角相等，或底、腰对应成比例． (5)已知直角三角形，找一组锐角相等，或两直角边对应成比例，或斜边、一直角边对应成比例． 27 3.（2023·泸州中考）如图，AB是☉O的直径，AB＝ 2，☉O的弦CD⊥AB于点E，CD＝6.过点C作☉O的 切线交AB的延长线于点F，连接BC. （1）求证：CB平分∠DCF； 针对训练 28 针对训练 （1）证明：如图，连接OC.⁠ ⁠ ∵CF是☉O的切线，点C是切点，⁠ ∴OC⊥CF，即∠OCF＝90°.⁠ ∴∠OCB＋∠BCF＝90°.⁠ （1）证明：如图，连接OC. ∵CF是☉O的切线，点C是切点， ∴OC⊥CF，即∠OCF＝90°. ∴∠OCB＋∠BCF＝90°. 29 针对训练 （1）证明：如图，连接OC.⁠ ∵CD⊥AB，AB是直径，∴∠BEC＝90°.⁠ ∴∠BCE＋∠OBC＝90°.⁠ ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC.⁠ ∴∠BCE＝∠BCF，即CB平分∠DCF.⁠ ∵CD⊥AB，AB是直径，∴∠BEC＝90°. ∴∠BCE＋∠OBC＝90°. ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC. ∴∠BCE＝∠BCF，即CB平分∠DCF. 30 针对训练 （1）证明：如图，连接OC.⁠ （2）G为上一点，连接CG交AB于点H，若CH＝ 3GH，求BH的长. （2）解：如图，连接OG，过点G作GM⊥AB于点M. ∵AB是☉O的直径，CD⊥AB， ∴CE＝CD＝3，OC＝OG＝AB＝. ∴OE＝＝1. 31 针对训练 （1）证明：如图，连接OC.⁠ ∵GM⊥AB，CD⊥AB，∴CE∥GM. ∴△GMH∽△CEH.∴＝＝. ∵CH＝3GH，∴＝＝.∴GM＝1. 设MH＝x，则HE＝3x， ∴OH＝3x－1，OM＝4x－1. 32 针对训练 （1）证明：如图，连接OC.⁠ 解得x＝1（负值舍去），⁠ ∴BH＝OH＋OB＝3×1－1＋＝2＋.⁠ 在Rt△OGM中，OM2＋GM2＝OG2， ∴（4x－1）2＋12＝（）2. 解得x＝1（负值舍去）， ∴BH＝OH＋OB＝3×1－1＋＝2＋. 33 课堂小结 （1）证明：如图，连接OC.⁠ 34 判定三角形相似的思路 一般△ 见平行 出 相 似 一角等 看 另一角 看夹此角的两边 两边成比例 看 夹角 直角△ 看一锐角 看两边 等腰△ 看一角 看两边 $$