专题11：三角形的面积（七大考点，三大题型）-2024-2025学年五年级上册数学期末易错易混考点汇编（人教版）

人教版五年级数学上册第六单元：多边形的面积 专项突破11：三角形的面积（七大考点） （考点导图＋考点详解＋专项练习＋答案解析） 考点导图 考点详解 【考点1】三角形面积公式的推导 【方法点拨】 把三角形转化成平行四边形或长方形从而推导出三角形的面积公式。 两个完全一样的锐角三角形可以拼成一个平行四边形； 两个完全一样的钝角三角形可以拼成一个平行四边形； 两个完全一样的直角三角形可以拼成一个平行四边形或长方形。 观察拼出的图形可以发现，拼成的平行四边形的底等于三角形的底平行四边形的高等于三角形的高，平行四边形的面积是三角形面积的2倍，也就是说每个三角形的面积是由这样2个三角形拼成的平行四边形面积的一半。 三角形的面积＝底×高÷2，用a表示三角形的底，用h表示三角形的高，则三角形面积用字母表示为：S＝ah÷2 【典型例题】 判断：两个面积相等的三角形一定能拼成一个平行四边形。（ ） 【答案】× 【解析】虽然两个三角形的面积相等，但它们的形状可能并不相同。只有两个‌完全相同‌的三角形，即底边和高都相等，才能拼成一个平行四边形‌。如果两个三角形的形状不同，即使面积相等，也无法拼成一个平行四边形。 【举一反三1】 判断：（1）两个等底等高的三角形一定能拼成一个平行四边形。（ ） （2）连接平行四边形的一条对角线，所分割出来的两个三角形一定是完全一样的。（ ） 【考点2】利用公式求三角形面积（基础） 【方法点拨】 已知三角形的底和高，直接运用三角形的面积公式：三角形的面积＝底×高÷2/S＝ah÷2求出三角形的面积。 【典型例题】 求出下面三角形的面积。3dm 5.5dm （1） （2）∟ 9cm 3.5cm 6cm ∟ 【答案】（1）15.75cm² （2） 8.25dm² 【解析】已知三角形的底和高，直接运用三角形的面积公式：三角形的面积＝底×高÷2/S＝ah÷2求出三角形的面积。 【详解】（1）9×3.5÷2 （2）5.5×3÷2 ＝31.5÷2 ＝16.5÷2 ＝15.75cm² ＝8.25（dm²） 【举一反三2】 求下面三角形的面积。 （1）∟ 3cm 4cm （2）7cm ∟ 5.5cm ∟ （3）2.4㎝ 4㎝ 3㎝ 5㎝ ∟ 【考点3】三角形面积公式的逆运用（已知面积求底或高） 【方法点拨】 已知三角形的面积和底，可以逆用S＝ah÷2求三角形的高，列式为：h＝2S÷a； 已知三角形的面积和高，可以逆用S＝ah÷2求三角形的底，列式为：a＝2S÷h。 【典型例题】 求出下面三角形的底或高。 （1） （2）7.2cm ∟ ∟ 9.5㎝ ？㎝ 面积为14.25cm² ？cm 面积为21.6cm² 【答案】 （1）3㎝ （2）6㎝ 【解析】已知三角形的面积和底，可以逆用S＝ah÷2求三角形的高，列式为：h＝2S÷a； 已知三角形的面积和高，可以逆用S＝ah÷2求三角形的底，列式为：a＝2S÷h。 【详解】（1）14.25×2÷9.5 （2）21.6×2÷7.2 ＝28.5÷9.5 ＝43.2÷7.2 ＝3（㎝） ＝6（㎝） 【举一反三3】 完成表格（单位：dm） 三角形 底 18 4.8 高 3 25 面积 7.68 87.5 【考点4】抓不变量解决图形面积问题 【方法点拨】 解决这列问题要抓住题目中给出的或图中信息给出的不变量，从不变量进行分析解答。 【典型例题】∟ 如图示，一个三角形的底边长6厘米，如果将底延长1.6米，那么三角形的面积就增加2.4平方米，原来三角形的面积是多少平方米？6cm 【答案】原来三角形的面积是9cm²。1.6cm 【解析】由图可知，阴影部分的面积就是增加的2.4平方米的面积，阴影部分的三角形，底是1.6厘米。已知它的面积和底，根据h＝2S÷a可求出它的高，这个高也是原来三角形的高，再根据三角形的面积公式计算出原来三角形的面积。 【详解】2.4×2÷1.6 6×3÷2 ＝4.8÷1.6 ＝18÷2 ＝3（cm） ＝9（cm²） 答：原来三角形的面积是9cm²。 【举一反三4】 右图中阴影部分的面积是18平方厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米？B A 5cm 12cm D C 【考点5】三角形面积的实际应用问题 【方法点拨】 运用三角形的面积公式解决实际问题，解题时注意单位统一情况。 三角形面积＝底×高÷2 三角形的高＝面积×2÷底 三角形的底＝面积×2÷高 【典型例题】 一块三角形的萝卜地，它的底是80米，高是30米，如果每平方米可以种8个萝卜，那么这块菜地可以种多少个萝卜？ 【答案】这块菜地能种9600个萝卜。 【解析】先根据三角形的面积公式求出这块萝卜菜地的面积，已知每平方米可以种8个萝卜，求这块菜地一共能种多少个，用菜地的面积×每平方米种的萝卜数量，据此列式求解。 【详解】80×30÷2 ＝2400÷2 ＝1200（平方米） 1200×8＝9600（个） 答：这块菜地能种9600个萝卜。 【举一反三5】 有一个三角形桃园，底是54米，高是24米，如果平均每棵桃树占地9平方米，这个桃园一共有多少棵桃树？ 【考点6】等底等高的三角形和平行四边形问题 【方法点拨】 如果一个三角形和一个平行四边形等底等高，那么三角形的面积是平行四边形面积的一半。反之，如果一个平行四边形的面积是一个三角形面积的两倍，且它们等底，那么它们的高也相等。 【典型例题】 如图示，平行四边形的面积是20平方厘米，乙和丙的面积相等，则乙三角形的面积是多少平方厘米？甲 丙 乙 【答案】乙三角形的面积是5平方厘米。 【解析】因为甲、乙、丙三个三角形的高都等于平行四边形的高，甲三角形的底等于乙和丙之和，又因为乙和丙的面积相等，根据三角形面积＝底×高÷2和平行四边形＝底和高可知，甲的面积＝乙的面积＋丙的面积，乙三角形的面积＝平行四边形的面积÷4。 【详解】20÷4＝5（平方厘米） 答：乙三角形的面积是5平方厘米。 【举一反三6】 如图示，长方形ABCD内有等边三角形BCE，如果等边三角形BCE的面积是4平方厘米，那么长方形ABCD的面积是多少平方厘米？E A D B C 【考点7】运用分割法或剔除法解决不规则图形面积问题 【方法点拨】 求图形的面积要从多个角度观察，如果阴影部分的面积不能直接求出，可从整个图形中剔除空白部分，也可将阴影部分分割成几个基本图形求解。 【典型例题】4厘米 8厘米 图中两个正方形的边长分别是8厘米和4厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】阴影部分的面积是24平方厘米。 【解析】观察图形可知，阴影部分不规则，无法直接求，可以采用剔除法或分割法进行求解。 方法1：剔除法。先求出图中两个正方形的面积和，再从中减去空白部分两个三角形的面积，剩余的即为阴影部分的面积。 方法2：分割法。将阴影部分分割成两个可以知道底和高的三角形。如上图红色虚线所示。分别求出两个三角形的面积，上面三角形可以看成以4厘米为底，高为8厘米的三角形，下面的三角形看成以4厘米为底，4厘米为高的三角形，相加即为整个阴影部分的面积。 【详解】方法1：4×4＋8×8＝80（平方厘米） 4×（4＋8）÷2＋8×8÷2＝56（平方厘米） 80－56＝24（平方厘米） 方法2:4×4÷2＋（8－4）×8÷2＝24（平方厘米） 答：阴影部分的面积是24平方厘米。 【举一反三7】 求右图中阴影部分的面积。 8厘米 12厘米 8厘米 12厘米 专项练习 【基础篇】 1、 填空 1、两个（ ）的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的（ ），所以三角形的面积＝（ ），用字母表示是（ ）。 2、一个平行四边形与一个三角形等底等高，如果平行四边形的面积是48平方分米，那么三角形的面积是（ ）。 3、一个直角三角形的两条直角边分别长6厘米和8厘米，它的面积是（ ）。 2、 选择。 1、 三角形的底和高同时扩大到原来的2倍，它的面积就扩大到原来的（ ）倍。 A、2 B、4 C、6 D、8 2、 一个平行四边形的面积比与它等底等高的三角形的面积大28平方厘米，这个三角形的面积是（ ）平方厘米。 A、28 B、14 C、42 D、56 3、 如下图示，长方形的长均为40厘米，宽均为30厘米，A为长方形内部或边上的任意一点，有（ ）个图形的涂色部分的面积是600平方厘米。A A A A A A、2 B、3 C、4 D、5 3、 比一比，谁的面积大？（填“＞”“＜”或“＝”） 丙 甲 乙 丁 2a a 甲○乙 丙○丁 4、 根据要求计算。 1、 计算三角形的面积。 （1） （2）25分米 7分米 ∟ ∟ 3.5厘米 4.6厘米 24分米 2、 求阴影部分的面积。 （1）4厘米 6厘米 4厘米 6厘米 （2）平行四边形的面积是25.2平方厘米。 5、 解决问题。 1、一块三角形菜地的面积是0.4公顷，它的底是100米，底边上的高是多少米？ 2、一块三角形的木芯板，底是2.5米，高是1.6米，每平方米木芯板的价格是80元，买这块木芯板需要多少钱？ 3、 一块三角形广告牌，底是12米，高是2.4米，若要用油漆刷这块广告牌的正面，每平方米需要油漆0.12千克，一共要用油漆多少千克？ 4、 学校有一块三角形的花圃，底是16米，高是7.5米，如果每株花占地0.05平方米，这个花圃可以种多少株花？ 5、 原来三角形的底是5米，如果将这条底边延长1米，面积就增加1.5平方米（阴影部分如图示），原来三角形的面积是多少平方米？1m 5m 【培优篇】 1、计算下面三角形的面积，你发现了什么，请试着画出一个与他们面积相等的三角形。（单位：厘米） 3cm 3cm 7cm 3cm 2、《九章算术》方田章中有这样的论述“半广者，以盈补虚，为直田也。亦可半从以乘广。”图中F、G点均为三角形两边的中点，已知长方形DBCE的面积为120平方厘米，你能求出三角形ABC的高吗？A C E F B D G 20cm 3、下面平行四边形的面积是75平方分米，它的底平均分成了3份，求阴影部分的面积。 答案解析 【举一反三1】 【答案】（1）× （2）√ 【解析】（1）等底等高的三角形只能确定它们的面积相等，但不能确定它们的形状完全相同。只有两个形状完全一样的三角形才能拼成一个平行四边形。如果两个三角形的形状不同，即使它们等底等高，也不能拼成一个平行四边形 （2）连接平行四边形的一条对角线，所分割出来的两个三角形一定是完全一样的。‌ 【举一反三2】 【答案】（1）6cm² （2）6.75cm² （3）6cm² 【解析】已知三角形的底和高，直接运用三角形的面积公式：三角形的面积＝底×高÷2/S＝ah÷2求出三角形的面积。 【详解】（1）4×3÷2 （2）7×5.5÷2 （3）4×3÷2 或 2.4×5÷2 ＝12÷2 ＝13.5÷2 ＝12÷2 ＝12÷2 ＝6（cm²） ＝6.75（cm²） ＝6（cm²） ＝6（cm²） 【举一反三3】 【答案】27 3.2 7 【解析】已知三角形的面积和底，可以逆用S＝ah÷2求三角形的高，列式为：h＝2S÷a； 已知三角形的面积和高，可以逆用S＝ah÷2求三角形的底，列式为：a＝2S÷h。 【详解】18×3÷2＝27 7.68×2÷4.8＝3.2 87.5×2÷25＝7 【举一反三4】 【答案】三角形ABC的面积是43.2cm²。 【解析】由图可知，阴影部分的面积就是增加的18平方米的面积，阴影部分的三角形，底是5厘米。已知它的面积和底，根据h＝2S÷a可求出它的高，这个高也是原来三角形的高，再根据三角形的面积公式计算出原来三角形的面积。 【详解】18×2÷5 12×7.2÷2 ＝36÷5 ＝86.4÷2 ＝7.2（cm） ＝43.2（cm²） 答：三角形ABC的面积是43.2cm²。 【举一反三5】 【答案】这个桃园一共有72棵桃树。 【解析】先求出这块桃园的面积，已知每棵桃树的占地面积，求有多少棵桃树就看总面积中有几个一棵桃树的占地面积，用除法列式计算。 【详解】54×24÷2 ＝1296÷2 ＝648（平方米） 648÷9＝72（棵） 答：这个桃园一共有72棵桃树。 【举一反三6】 【答案】长方形ABCD的面积是8平方厘米。 【解析】等边三角形BCE与长方形ABCD是等底等高的，根据长方形的面积是与它等底等高的三角形面积的2倍，即可求出长方形ABCD的面积。 【详解】4×2＝8（平方厘米） 答：长方形ABCD的面积是8平方厘米。 【举一反三7】 【答案】阴影部分的面积是48平方厘米。 【解析】观察图形，将阴影部分分割成两个三角形，分别计算出每个三角形的面积，相加。 【详解】（12－8）×8÷2 ＝4×8÷2 ＝16（平方厘米） 8×8÷2 ＝64÷2 ＝32（平方厘米） 16＋32＝48（平方厘米） 答：阴影部分的面积是48平方厘米。 【专项练习】 【基础篇】 一、1、【答案】完全一样 一半 底×高÷2 S＝ah÷2 【解析】考察三角形面积公式的推导。 2、 【答案】24平方分米 【解析】已知一个平行四边形与一个三角形等底等高，平行四边形的面积是48平方分米。因为三角形的面积是等底等高的平行四边形面积的一半，所以三角形的面积＝平行四边形的面积÷2，即48÷2＝24（平方分米） 3、 【答案】24平方厘米 【解析】直角三角形的两条直角边就是三角形的底和高，已知三角形的底和高，直接运用三角形的面积公式：三角形的面积＝底×高÷2/S＝ah÷2求出三角形的面积。 二、1、【答案】B 【解析】三角形的面积是由它的底和高决定的，面积公式是：面积＝(底×高)÷2，三角形的底和高都扩大到了原来的2倍，假设原来的底是b，高是h，扩大后的底就是2b，高就是2h，原来的三角形面积是(b×h)÷2，扩大后的三角形面积是：(2b×2h)÷2＝2bh。比较两个面积，可以看到扩大后的面积是原来面积的多少倍：2bh÷(b×h÷2)＝4。所以，当三角形的底和高同时扩大到原来的2倍时，它的面积就扩大到原来的4倍。 2、 【答案】A 【解析】已知一个平行四边形的面积比与它等底等高的三角形的面积大28平方厘米，根据平行四边形和三角形的面积公式：平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2。 因为平行四边形和三角形是等底等高的，所以它们的底和高都是一样的。设三角形的面积为平方厘米，那么平行四边形的面积就是2平方厘米（因为三角形的面积是平行四边形面积的一半）。题目说平行四边形的面积比三角形的面积大28平方厘米，所以得2－ ＝ 28，解得 ＝ 28，所以，这个三角形的面积是28平方厘米。 3、 【答案】D 【解析】第一幅图形中阴影部分是两个三角形，它们的底是长方形的长，高的和是长方形的宽；第二幅图形中阴影部分是两个三角形，它们的底是长方形的宽，高的和是长方形的长；第三、四幅图形中阴影部分三角形的底为长方形的长、高是长方形的宽；第五幅图形中阴影部分三角形的底为长方形的宽、高是长方形的长；根据三角形的面积＝底×高÷2，分别计算出面积即可。根据题干分析可得，这五个图形中阴影部分的面积都等于这个长方形的面积的一半，即40×30÷2＝600(平方厘米)。 3、 【答案】＝ ＝ 【解析】甲乙的等底等高的两个三角形，面积相等；丙丁等高，丁的底边是丙的2倍，根据平行四边形和三角形的公式可以求得，丙丁的面积也相等。 四、1、【答案】（1）8.05平方厘米 （2）84平方分米 【解析】已知三角形的底和高，直接运用三角形的面积公式：三角形的面积＝底×高÷2/S＝ah÷2求出三角形的面积。 【详解】（1）3.5×4.6÷2 （2）7×24÷2 ＝16.1÷2 ＝168÷2 ＝8.05（平方厘米） ＝84（平方分米） 2、【答案】（1） 【解析】（1）观察图形可知，阴影部分是一个底为4厘米，高为6厘米的三角形，代入三角形面积公式求解。 （2）观察图形可知，阴影部分的三角形和外围的平行四边形的等底等高的，即三角形的面积是平行四边形面积的一半，据此求解。 【详解】（1）4×6÷2 （2）25,2÷2＝12.6（平方厘米） ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 五、1、【答案】底边上的高是80米。 【解析】已知三角形菜地的面积和底边的长度，求高，根据公式h＝2S÷a，代入求解。注意单位不统一，先统一单位再计算。 【详解】0.4公顷＝4000平方米 4000×2÷100 ＝8000÷100 ＝80（米） 答：底边上的高是80米。 2、【答案】买这块木芯板需要160元。 【解析】先求出这块木芯板的面积，再根据每平方米的价格求出总价。 【详解】2.5×1.6÷2 ＝4÷2 ＝2（平方米） 2×80＝160（元） 答：买这块木芯板需要160元。 3、【答案】一共需要1.728千克的油漆。 【解析】先求出这块三角形的广告牌的面积，再根据每平米用的油漆量求出需要的油漆量。 【详解】12×2.4÷2 ＝28.8÷2 ＝14.4（平方米） 14.4×0.12＝1.728（千克） 答：一共需要1.728千克的油漆。 4、 【答案】这个花圃可以种1200株花。 【解析】先求出三角形花圃的面积，再根据每株花占地面积求出这个花圃可以种花的数量。 【详解】16×7.5÷2 ＝120÷2 ＝60（平方米） 60÷0.05＝1200（株） 答：这个花圃可以种1200株花。 5、【答案】原来三角形的面积是7.5平方米。 【解析】由图可知，阴影部分的面积就是增加的1.5平方米的面积，阴影部分的三角形，底是1厘米。已知它的面积和底，根据h＝2S÷a可求出它的高，这个高也是原来三角形的高，再根据三角形的面积公式计算出原来三角形的面积。 【详解】1,5×2÷1 3×5÷2 ＝3÷1 ＝15÷2 ＝3（米） ＝7.5（平方米） 答：原来三角形的面积是7.5平方米。 【培优篇】 1、【答案】图1:7×3÷2＝10.5（cm²） 图2：7×3÷2＝10.5（cm²） 图3：7×3÷2＝10.5（cm²） 三个三角形的面积相等。 【解析】等底等高的三角形面积相等。图中三个三角形是等底等高的三角形，所以，它们的面积相等。作图时，注意底边要和前三个一样长，高度也要一样。 2、 【答案】三角形ABC的高为16厘米。 【解析】根据题图可知，把三角形转化为长方形后面积不变，这个长方形的长等于三角形的底，这个长方形的宽等于三角形高的一半，根据长方形的面积＝长×宽，那么宽＝面积÷长，求出长方形的宽，然后用长方形的宽乘2就是三角形的高。据此解答即可。 【详解】240÷30×2 ＝8×2 ＝16（厘米） 答：三角形ABC的高为16厘米。 3、【答案】阴影部分的面积是12.5平方分米。 【解析】观察图可以看出平行四边形沿对角线分成了两份，其中一份又平均分成了3份，据此求解。 【详解】75÷2÷3 ＝37.5÷3 ＝12.5（平方分米） 答：阴影部分的面积是12.5平方分米。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$