精品解析：四川省绵阳中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

绵阳中学高2022级高三上期第三学月月考 数学试题 命题人：李五强 审题人：游婷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 故. 故选：B. 2. 已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，结合充分性、必要性、纯虚数的定义进行判断即可. 【详解】当，均为纯虚数时，设，，则有， 当时，显然，但是，都不是纯虚数”， 因此“，均为纯虚数”是“为实数”的充分不必要条件， 故选：A 3. 已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基底的定义，结合共面向量定理进行求解即可. 【详解】若共面，由共面向量定理知，存在实数x，y，使得， 即． 因为，，不共面，所以，，， 解得，，，即当时，， 此时不能作为基底，所以若能作为基底， 则实数满足的条件是． 故选：B. 4 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用两角和的正弦、余弦公式化简可得，再根据二倍角余弦公式求解. 【详解】由，可得， 即，即得， . 故选：B. 5. 设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】对于A中，由，只有当与相交时才能得到，所以A错误； 对于B中，由，，可得，又由，所以，所以B错误； 对于C中，若，，所以，又，所以，所以C正确； 对于D中，由，，则或， 当时，由，则或与异面； 当时，由，则或与相交，所以D错误． 故选：C 6. 已知体积为 的球与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为 . 则该正四棱锥体积值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正四棱锥的内切球的半径为，为底面中心，取的中点，设点在侧面上的投影为点，则点在上，利用求出球心到四棱锥顶点的距离，再由棱锥的体积公式计算可得答案. 【详解】设正四棱锥的内切球的半径为，为底面中心， 由体积为得， 连接，平面，球心在上，， 取的中点，连接，设点在侧面上的投影为点， 则点在上，且，， 球心到四棱锥顶点的距离为， 所以，，解得， 所以. 故选：A. 7. 函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用参变分类可得和的图象有两个交点，结合导数讨论后者的性质后可得参数的取值范围. 【详解】由得， 则问题转化为和的图象有两个交点， 而， 令，解得，令，解得， 故在上单调递增， 在单调递减，则， 当时， 的图象有两个交点； 当时， 的图象有两个交点； 大致图象如右所示： 结合图象可知，的取值范围是， 故选：D 8. 斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定条件结合对数的性质将化为，结合，得到，根据递增，得到也是递增数列，得，即可求解. 【详解】由题知是的正整数解， 故，取指数得， 同除得，，故， 即，根据是递增数列可以得到也是递增数列， 于是原不等式转化为. 由斐波那契数列可得，，，， 可以得到满足要求的的最大值为，故A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于利用对数的运算将， 转化为，结合的表达式得到， 从而求解的最大值. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：利用基本不等式运算求解即可. 【详解】对于选项A：例如，则，可得， 所以的最小值不为4，故A错误； 对于选项B：因为， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故C正确； 对于选项D：因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（ ） 参考公式：， A. 当时， B. 当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强 C. ，时，成对样本数据的相关系数满足 D. ，时，成对样本数据的线性回归方程满足 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相关系数的正负、绝对值大小与变量相关性之间关系可知AB正误；根据，，代入相关系数和最小二乘法公式中，可知CD正误. 【详解】对于A，当时，变量和变量正相关，则，A正确； 对于B，当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当，时，对应的样本数据的线性相关程度更强，B错误； 对于C，当，时，不变且， ，C正确； 对于D，当，时，不变且， ，D正确. 故选：ACD. 11. 对任意，，函数，都满足，则（ ） A. B. C. 的极小值点为 D. 是奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】赋值法即可判断选项A，根据题意，不妨设，求出，即可判断选项BD，结合导数即可判断选项C. 【详解】A中，令，，则有 ，故A正确； B中，因为， 所以， 对任意，均成立， 设， 则有，， 令，则，解得，故B错误； C中，由B选项的分析，，所以， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，故C正确； D中，由上述知，， 所以不一定是奇函数，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为______. 【答案】 【解析】 【分析】表示出投影向量，即可求得，进而利用求得结果. 【详解】由题知，在上的投影向量为， 即，则，， 所以. 故答案为： 13. 已知正实数满足，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】对等式两边取对数后构造关于的方程，求出其解后可求的值. 【详解】因为，易知且，故， 故，即， 故， 故答案为：. 14. 在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O，称为密克点.在梯形ABCD中，，，M为CD的中点，动点P在BC边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q（异于点P），则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】延长，交于点E得为正三角形，且得、、的外接圆有唯一公共点为密克点Q，接着由题给条件推出是直角三角形，进而得其外接圆半径，再在中由余弦定理求出即可得的最小值. 【详解】延长，交于点E，则由题可知为正三角形， 由题设结论，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q， 故点Q在的外接圆上，如上图， 又由题，, 所以，故， 所以是直角三角形，故其外接圆半径， 在中，由余弦定理， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题得关键是正确作出辅助线，从而创造密克环境找到并明确点位置，从而结合已知条件得出是直角三角形且其外接圆半径以及是点B与外接圆上的点的距离，于是求出即可求出. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知递增数列和分别为等差数列和等比数列，且，，， （1）求数列和的通项公式； （2）若，证明：. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用基本量法可求数列的通项； （2）根据不等式的性质可得，累乘后可证原不等式. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中， 由题意得：，所以， 所以（舍）或，代入原方程后可得， 于是得到数列的通项公式为，数列的通项公式为. 【小问2详解】 由题可得， 由于时，， 则（当且仅当时取等号）， 所以， 则（当且仅当时取等号）. 所以. 16. 已知函数，在锐角中，内角对边分别为，且. （1）求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式可得，即可根据三角函数的性质求解， （2）根据余弦定理可得，，即可代入得，利用二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由可得， 由得，故或， 解得或，， 结合为锐角，故 【小问2详解】 ， 由于为锐角三角形，由余弦定理可得，即， 故， 令，则对称轴为， 故当时，取最小值，， 故 17. 已知函数， （1）已知函数的图象与函数的图象关于直线 对称，试求； （2）证明； （3）设是的根，则证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线. 【答案】（1）. （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，得，再利用换元法求； （2）分区间讨论各因式的符号或利用导数证明； （3）取曲线 上的一点 ，设在处的切线即是 在处的切线，证明直线的斜率等于在处的切线斜率和在处的切线斜率即可. 小问1详解】 因为的图象与的图象关于直线 对称，所以 . 又因为 ， 所以， 令，则 ， 所以， 因此. 【小问2详解】 证明： 解法1：当 时，且 ，此时 ； 当时，且，此时 ， 故综上. 解法2：，令，在上恒成立， 故在上单调递增，即在上单调递增， 因此当时，； 当； 因此在上单调递减，在 上单调递增， 故. 【小问3详解】 证明：不妨取曲线 上的一点 ，设在处的切线即是 在处的切线， 则 ，得 ，则 的坐标 ， 由于，所以， 则有， 综上可知，直线的斜率等于在处的切线斜率和在处的切线斜率， 所以直线AB既是曲线在点处的切线也是曲线的切线. 18. 如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，是与的交点，. （1）记圆柱的体积为，四棱锥的体积为 ，求 ； （2）设点在线段上，且存在一个正整数，使得，若已知平面与平面的夹角的正弦值为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆柱以及棱锥的体积公式，即可求得答案. （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用空间角的向量求法，结合平面与平面的夹角的正弦值，即可求得答案. 【小问1详解】 在底面中，因为 是底面直径，所以 ， 又 ，故 ≌， 所以. 因为是圆柱的母线，所以面，所以 ， , 因此； 【小问2详解】 以为坐标原点，以为轴正方向，在底面内过点C作平面的垂直线为y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以 ≌， 故 ， 所以，， 因此，， 因为 ，所以 ， 则 设平面和平面的法向量分别为， 则有:，， 取， 设平面与平面的夹角为 ，则 所以有：， 整理得，（无解，舍）， 由于k为正整数，解得. 19. 已知有限集，若，则称为“完全集”. （1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由； （2）若集合为“完全集”，且，均大于，证明：，中至少有一个大于； （3）若为“完全集”，且，求. 【答案】（1）是，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由“完全集”的定义判断即可； （2）由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设，得到，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 由， ， 所以， 故集合是“完全集”. 【小问2详解】 由题设，令， 则，是方程两个不同的正实数根， 所以或（舍），即， 又，，若，都不大于2，则，矛盾， 所以，至少有一个大于2. 【小问3详解】 不妨令，则， 所以， 当，即，故，显然无解，不满足； 当，即，只能有，，， 故存在一个“完全集”； 当，， 即， 又， 且， 此时，显然有矛盾， 所以时不存在“完全集”； 综上，. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳中学高2022级高三上期第三学月月考 数学试题 命题人：李五强 审题人：游婷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 已知体积为 的球与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为 . 则该正四棱锥体积值是（ ） A. B. C. D. 7. 函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列函数中最小值为4是（ ） A. B. C. D. 10. 已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（ ） 参考公式：， A. 当时， B. 当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强 C. ，时，成对样本数据的相关系数满足 D. ，时，成对样本数据的线性回归方程满足 11. 对任意，，函数，都满足，则（ ） A. B. C. 的极小值点为 D. 是奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为______. 13. 已知正实数满足，则______. 14. 在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O，称为密克点.在梯形ABCD中，，，M为CD的中点，动点P在BC边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q（异于点P），则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知递增数列和分别等差数列和等比数列，且，，， （1）求数列和的通项公式； （2）若，证明：. 16. 已知函数，在锐角中，内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，求的取值范围. 17. 已知函数， （1）已知函数的图象与函数的图象关于直线 对称，试求； （2）证明； （3）设是的根，则证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线. 18. 如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，是与的交点，. （1）记圆柱的体积为，四棱锥的体积为 ，求 ； （2）设点在线段上，且存在一个正整数，使得，若已知平面与平面的夹角的正弦值为，求的值. 19. 已知有限集，若，则称为“完全集”. （1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由； （2）若集合为“完全集”，且，均大于，证明：，中至少有一个大于； （3）若为“完全集”，且，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $